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2026-01-26T01:21:01Z

Beispiele unendlicher p-Gruppen: Prüfergruppe

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{{DISPLAYTITLE:p-Gruppe}}
Für eine [[Primzahl]] <math>p</math><ref><math>p</math> steht in diesem Artikel immer für eine Primzahl</ref> ist eine '''<math>p</math>-Gruppe''' in der [[Gruppentheorie]] eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], in der die [[Ordnung eines Gruppenelementes|Ordnung]] jedes Elements eine Potenz von <math>p</math> ist. Das heißt, für jedes Element <math>g</math> der Gruppe gibt es eine [[natürliche Zahl]] <math>n</math>, so dass <math>g</math> [[Potenz (Mathematik)|hoch]] <math>p^n</math> gleich dem [[neutrales Element|neutralen Element]] der Gruppe ist.<ref>Hungerford S. 93</ref>

Die [[Sylow-Sätze]] ermöglichen es, <math>p</math>-Untergruppen von endlichen Gruppen mit [[Kombinatorik|kombinatorischen]] Methoden aufzufinden. Besonders wichtig sind dabei die maximalen <math>p</math>-Untergruppen, die '''<math>p</math>-Sylowgruppen''', einer endlichen Gruppe.

== Definitionen und Eigenschaften ==

* Eine Untergruppe <math>H</math> einer Gruppe <math>G</math> heißt <math>p</math>-Untergruppe, wenn sie eine <math>p</math>-Gruppe ist.
* Eine <math>p</math>-Untergruppe <math>H</math> einer Gruppe <math>G</math> heißt <math>p</math>-Sylowuntergruppe oder <math>p</math>-Sylowgruppe von <math>G</math>, wenn sie maximale <math>p</math>-Untergruppe von <math>G</math> ist. Das heißt, für jede <math>p</math>-Untergruppe <math>U</math> von <math>G</math> folgt aus <math>H \subseteq U</math>, dass <math>H=U</math> gilt. (Dabei steht <math>p</math> hier für eine feste Primzahl.)

* <math>p</math>-Gruppen sind spezielle [[Torsionsuntergruppe|Torsionsgruppen]] (dies sind Gruppen, in denen jedes Element endliche Ordnung hat).

== Spezielle ''p''-Gruppen ==
=== Endliche ''p''-Gruppen ===

* Ist <math>G</math> eine endliche Gruppe, dann ist sie genau dann eine <math>p</math>-Gruppe, wenn ihre [[Gruppenordnung|Ordnung]] eine Potenz von <math>p</math> ist.
* Das [[Zentrum (Algebra)|Zentrum]] einer endlichen nichttrivialen <math>p</math>-Gruppe ist selbst eine nichttriviale <math>p</math>-Gruppe. Das zeigt man mit der [[Bahnformel]] für die [[Konjugation (Gruppentheorie)|Konjugation]].<ref> Hungerford S. 94</ref>
* Im Spezialfall einer Gruppe der Ordnung <math>p^2</math> kann man sogar noch mehr sagen: In diesem Fall ist die Gruppe entweder zu der zyklischen Gruppe <math>C_{p^2}</math> oder zum direkten Produkt <math>C_p\times C_p</math> isomorph. Insbesondere ist die Gruppe also abelsch.
* Jede endliche <math>p</math>-Gruppe ist [[Nilpotente Gruppe|nilpotent]]<ref>Hungerford 7.1</ref> und damit auch [[auflösbare Gruppe|auflösbar]].
* Eine nichttriviale endliche <math>p</math>-Gruppe ist genau dann [[Endliche einfache Gruppe|einfach]], hat also nur die trivialen [[Normalteiler]], wenn sie <math>p</math> Elemente hat und damit isomorph zu <math>C_p</math> ist.
* <math>p</math>-Gruppen derselben Ordnung müssen nicht [[Isomorphismus|isomorph]] sein, z. B. sind die [[zyklische Gruppe]] <math>C_4</math> und die [[Kleinsche Vierergruppe]] beides 2-Gruppen der Ordnung 4, aber nicht zueinander isomorph. Eine <math>p</math>-Gruppe muss auch nicht [[abelsche Gruppe|abelsch]] sein, z. B. ist die [[Diedergruppe]] <math>D_8</math> eine nichtabelsche 2-Gruppe.
* Es gibt bis auf Isomorphie genau fünf Gruppen der Ordnung <math>p^3</math>. Davon sind drei abelsch.
* Es gibt bis auf Isomorphie genau P(n) abelsche Gruppen der Ordnung <math>p^n</math>. Dabei ist P die [[Partitionsfunktion]].
* Hat eine endliche Gruppe <math>G</math> die Gruppenordnung <math>|G|=p^r \cdot m\; \left( r, m\in\mathbb{N} \setminus\lbrace 0 \rbrace\right)</math> und ist dabei <math>m</math> teilerfremd zu <math>p,</math> dann enthält <math>G</math> für jede Zahl <math>s\in\lbrace 0,1,\ldots r\rbrace</math> eine <math>p</math>-Untergruppe <math>H</math> mit <math>p^s</math> Elementen. Für <math>s=r</math> ist <math>H</math> eine <math>p</math>-Sylow-Untergruppe. Falls <math>s<r</math> ist, dann ist <math>H</math> ein Normalteiler in einer <math>p</math>-Untergruppe mit der Gruppenordnung <math>p^{s+1}</math> von <math>G</math>.<ref>Hungerford S. 95, dies ist eine Verschärfung des 1. Sylow-Satzes.</ref> Ist in der beschriebenen Situation <math>H<G</math> eine ''p''-Sylow-Untergruppe, dann gilt <math>N_G(N_G(H))=N_G(H)</math>, wobei <math>N_G</math> einer Untergruppe ihren [[Normalisator]] zuordnet.<ref>Hungerford zählt auch diese kombinatorische Folgerung aus der Bahnformel zu den Sylow-Sätzen.</ref>

=== Elementar abelsche Gruppe ===
Eine beliebige Gruppe heißt '''elementar abelsche Gruppe''', wenn jedes Gruppenelement (außer dem neutralen Element) die Ordnung ''p'' hat (''p'' Primzahl) und ihre Verknüpfung [[Kommutativgesetz|kommutativ]]<ref>Für endliche Gruppen folgt die Kommutativität aus der ersten Forderung, dass alle Elemente <math>g^p=e</math> erfüllen, für unendliche Gruppen wird sie zusätzlich gefordert. Siehe Hungerford </ref> ist. Elementar abelsche Gruppen sind also spezielle abelsche ''p''-Gruppen. Der Begriff wird meistens für endliche Gruppen gebraucht.
* Eine endliche Gruppe ''G'' ist genau dann elementar abelsch, wenn eine Primzahl ''p'' existiert, so dass ''G'' ein endliches (inneres) [[direktes Produkt]] von zyklischen Untergruppen der Ordnung ''p'' ist.
Eine beliebige, auch unendliche Gruppe ist genau dann elementar abelsch, wenn eine Primzahl ''p'' existiert, so dass
* jede ihrer endlich erzeugbaren Untergruppen ein endliches (inneres) direktes Produkt von zyklischen Untergruppen der Ordnung ''p'' ist oder
* sie als Gruppe isomorph zu einem <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math>-[[Vektorraum]] <math>(V,+)</math> über dem [[Restklassenkörper]] <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math> ist.
Ein endliches direktes Produkt kann hier auch „leer“ sein oder nur einen Faktor haben. Die triviale, einelementige Gruppe ist also ebenfalls elementar abelsch und dies bezüglich jeder Primzahl. Eine nichttriviale zyklische Gruppe ist genau dann elementar abelsch, wenn sie isomorph zu einem endlichen [[Primkörper]] (als additive Gruppe) ist.

Aus den genannten Darstellungen wird offensichtlich:
* Jede Untergruppe und jede [[Faktorgruppe]] einer elementar abelschen Gruppe ist elementar abelsch.

== Beispiele und Gegenbeispiele==

=== Endliche Gruppen ===
* Die [[zyklische Gruppe]] <math>C_p</math> ist eine abelsche ''p''-Gruppe und sogar elementar abelsch.
* Das direkte Produkt <math>C_p\times C_p</math> ist eine elementar abelsche ''p''-Gruppe.
* Die zyklische Gruppe <math>C_{p^2}</math> ist eine abelsche ''p''-Gruppe, die nicht elementar abelsch ist.
* Die [[Diedergruppe]] <math>D_8</math> und die [[Quaternionengruppe]] <math>Q_8</math> sind nicht abelsche 2-Gruppen.
* Keine ''p''-Gruppe und damit auch nicht elementar abelsch ist z. B. die zyklische Gruppe <math>C_6\cong C_2\times C_3</math>, da sie Elemente der Ordnung 6 enthält und 6 keine [[Primzahlpotenz]] ist.
* Ebenso ist die [[symmetrische Gruppe]] <math>S_3</math> keine ''p''-Gruppe, da sie Elemente der Ordnung 2 und Elemente der Ordnung 3 enthält, und diese Ordnungen nicht Potenzen derselben Primzahl sind.

=== Beispiele unendlicher ''p''-Gruppen ===
* Betrachte die Menge aller [[rationale Zahlen|rationalen Zahlen]], deren Nenner 1 oder eine Potenz der Primzahl ''p'' ist. Mit der Addition dieser Zahlen [[Kongruenz (Zahlentheorie)|modulo]] 1 erhalten wir eine unendliche abelsche ''p''-Gruppe. Jede Gruppe, die hierzu isomorph ist, heißt <math>p^\infty</math>-Gruppe oder [[Prüfergruppe]]. Gruppen dieses Typs sind wichtig bei der Klassifikation unendlicher abelscher Gruppen.
:* Die <math>p^\infty</math>-Gruppe ist auch isomorph zur multiplikativen Gruppe derjenigen komplexen [[Einheitswurzel]]n, deren Ordnung eine ''p''-Potenz ist. Diese Gruppe ist eine abelsche ''p''-Gruppe aber nicht elementar abelsch.
* Der rationale [[Funktionenkörper]] <math>\mathbb{Z}/5\mathbb{Z} (t)</math> in einer Variablen ist (als Gruppe mit der Addition) eine unendliche elementar abelsche 5-Gruppe.

== Literatur ==
* Thomas W. Hungerford: ''Algebra'' (= ''Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9, Kapitel I Groups, 5–7.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Endliche Gruppe]]

P-Gruppe - Versionsgeschichte

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