~2026-43247-8: Überflüssiger Beistrich

2026-03-24T12:19:14Z

Überflüssiger Beistrich

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Ein '''oszillierendes Integral''' ist ein mathematischer Begriff aus der [[Analysis]], insbesondere aus der [[Fourier-Analysis]] und der Theorie [[Partielle Differentialgleichung|partieller Differentialgleichungen]]. Er bezeichnet Integralausdrücke, deren Integrand eine stark oszillierende [[Exponentialfunktion]] enthält. Solche [[Integralrechnung|Integrale]] treten beispielsweise in der Darstellung von Lösungen partieller Differentialgleichungen, in der Fourier-Analysis sowie in der Theorie der [[Fourier-Integraloperator|Fourier-Integraloperatoren]] auf.

Häufig konvergieren Integrale mit stark oszillierenden Integranden im klassischen Sinn nicht. Durch geeignete Regularisierungsverfahren lassen sie sich jedoch dennoch sinnvoll definieren, etwa als [[Distribution (Mathematik)|Distributionen]] oder als [[Grenzwert (Folge)|Grenzwerte]] regulierter Integrale. Auf diese Weise können Integralausdrücke der Form

:<math>\int e^{i\varphi(x,\xi)} a(x,\xi)d\xi</math>

interpretiert werden, wobei <math>\varphi</math> eine sogenannte '''Phasenfunktion''' und <math>a</math> eine Amplitude ist.

Der Begriff des oszillierenden Integrals spielt eine zentrale Rolle in der Theorie der Fourier-Integraloperatoren sowie in asymptotischen Methoden wie der [[Methode der stationären Phase]].

== Phasenfunktion ==

=== Definition ===
Sei <math>X\subset \mathbb{R}^n</math> eine offene Menge. Eine [[glatte Funktion]] <math>\phi \in C^\infty(X \times \R^n\backslash \{0\})</math> heißt Phasenfunktion, falls für alle <math>(x,\xi) \in X \times \R^n \backslash \{0\}</math>
* der Imaginärteil nichtnegativ ist, das heißt
::<math>\operatorname{Im}\phi(x,\xi) \geq 0</math>.
* die Funktion [[Homogene Funktion|homogen]] in der zweiten Variablen ist, das heißt
::<math> \phi(x,\lambda \xi) = \lambda \phi(x,\xi)</math> für alle <math>\lambda > 0</math>.
* das Differential nicht verschwindet, das heißt
::<math> \frac{\mathrm{d} \phi(x,\xi)}{\mathrm{d}(x,\xi)} \neq 0</math>.

=== Beispiel ===
* Die Abbildungen <math>(x,\xi) \mapsto \pm \langle x,\xi \rangle</math>, wobei <math>\langle\cdot , \cdot \rangle</math> das [[Standardskalarprodukt]] bezeichnet, sind Phasenfunktionen, welche bei der [[Kontinuierliche Fourier-Transformation|Fourier-Transformation]] und ihrer Rücktransformation auftreten.

== Motivation ==
In vielen Bereichen der Analysis treten Integrale der Form
:<math>\int_{\mathbb{R}^n} e^{i\varphi(x,\xi)} a(x,\xi)\,\mathrm d\xi</math>
auf, wobei <math>\varphi</math> eine sogenannte Phasenfunktion und <math>a</math> eine Amplitude ist. Solche Integrale erscheinen beispielsweise bei der [[Fourier-Transformation]], bei [[Integraloperator|Integraloperatoren]] in der Theorie partieller Differentialgleichungen sowie in der [[Mikrolokale Analysis|mikrolokalen Analysis]].

Aufgrund der stark oszillierenden Exponentialfunktion konvergieren diese Integrale häufig nicht im klassischen Sinn. Dennoch besitzen sie oft eine wohldefinierte Bedeutung, etwa als Distribution oder als Grenzwert regulierter Integrale. Um solche Ausdrücke systematisch behandeln zu können, führt man den Begriff des oszillierenden Integrals ein.

== Fortsetzungssätze ==
=== Fourier-Transformation auf ''L''<sup>2</sup> ===
Die [[Fourier-Transformation]] kann auf dem [[Schwartz-Raum]] <math>\mathcal{S}(\R^n)</math> durch den [[Integraloperator]]
:<math>I_{-tx}(f)(t) = \mathcal{F}(f)(t) = \frac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{n}{2}}} \int_{\R^n} e^{-\mathrm{i} t x} f(x) \,\mathrm{d} x</math>
definiert werden. Mittels eines Dichtheitsargument kann man diesen Operator auf <math>L^2</math> fortsetzen, jedoch konvergiert das Fourier-Integral nicht für jede <math>L^2</math>-Funktion. Der Operator muss also anders dargestellt werden.

=== Raum der Symbolklassen ===
Mit <math>\mathcal{D}'(X)</math> wird der Raum der [[Distribution (Mathematik)|Distributionen]] auf <math>X</math> und mit <math>S^m_{\rho,\delta}(X \times \R^n)</math> der Raum der [[Symbolklasse]]n bezeichnet. Sei <math>\phi</math> eine Phasenfunktion und sei <math>0 < \rho \leq 1</math>, <math>0 \leq \delta < 1</math>. Dann gibt es genau eine Möglichkeit eine Abbildung
:<math>I_\phi : S^\infty_{\rho,\delta}(X \times \R^n) = \bigcup_{m \in \R} S^m_{\rho,\delta}(X \times \R^n) \to \mathcal{D}'(X)</math>
zu definieren, so dass für <math>a \in S^m_{\rho,\delta}(X \times \R^n),\ m < - n</math> das Integral
:<math>I_\phi(a)(x) = \int_{\R^n} e^{i\phi(x,\xi)} a(x,\xi) \mathrm{d}\xi</math>
existiert und die Abbildung <math>I_\phi : S^\infty_{\rho,\delta}(X \times \R^n) \to \mathcal{D}'(X)</math> stetig ist.

== Definition ==
Die beiden oben erwähnten Fortsetzungssätze zeigen, dass es wünschenswert ist, einen Integralbegriff zu haben, so dass man auch die Fortsetzungen in der Integralschreibweise ausdrücken kann. Dafür kann das im Folgenden definierte oszillierende Integral verwendet werden.

=== Oszillierendes Integral ===
Sei <math>\chi \in C^{\infty}_c(\R^n)</math> eine [[Abschneidefunktion]] mit <math>\chi(\xi) = 1</math> für <math>|\xi| \leq 1</math> und <math>\chi(\xi) = 0</math> für <math>|\xi| \geq 2</math>. Außerdem sei <math>\phi \colon \R^n \times \R^N \to \R</math> eine Phasenfunktion und <math>a \in S^m(\R^n \times \R^N)</math> eine [[Symbolklasse]]. Nun setzt man
:<math>I_\phi(a)(x) := \int_{\R^N} e^{i\phi(x,\xi)} a(x,\xi) \mathrm{d}\xi := \lim_{j \to \infty} \int_{\R^N} \chi\left(\tfrac{\xi}{j}\right) e^{i\phi(x,\xi)} a(x,\xi) \mathrm{d}\xi\,</math>
wobei der Grenzwert im Sinne von [[Distribution (Mathematik)|Distributionen]] zu verstehen ist. Das heißt, der [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] ist durch
:<math>\langle I_\phi(a), u \rangle = \lim_{j \to \infty} \int_{\R^N} \int_{\R^n} \chi\left(\tfrac{\xi}{j}\right) e^{i\phi(x,\xi)} a(x,\xi) u(x)\mathrm{d}x \mathrm{d}\xi</math>
für alle [[Testfunktion]]en <math>u \in \mathcal{D}(\R^n) \cong C_c^\infty(\R^n)</math> erklärt. Der Integralausdruck <math>I_\phi</math> heißt oszillierendes Integral.

=== Oszillierender Integraloperator ===
Sei <math>\phi \colon \R^n \times \R^N \to \R</math>wieder eine Phasenfunktion und <math>a \in S^m(\R^n \times \R^N)</math> eine [[Symbolklasse]]. Die Abbildung
:<math>u \mapsto T_\lambda(u)(x) := I_\phi(au)(x) = \int_{\R^N} e^{i \lambda \phi(x,\xi)} a(x,\xi) u(\xi) \mathrm{d}\xi</math>
ist ein oszillierender [[Integraloperator]].

== Beschränktheit auf ''L''<sup>2</sup> ==
Lars Hörmander zeigte, dass oszillierende Integraloperatoren unter gewissen Voraussetzungen [[Beschränkter Operator|beschränkte Operatoren]] auf dem Raum der [[quadratintegrierbar|quadratintegrierbaren Funktionen]] <math>L^2(\R^n)</math> sind.<ref>L. Hörmander: ''Fourier integral operators'', Acta Math. '''127''' (1971), 79–183. {{doi|10.1007/BF02392052}}</ref>

Sei <math>\phi</math> eine Phasenfunktion und die Symbolklasse <math>a \colon \R^n \times \R^N \to \R</math> sei eine [[glatte Funktion]] mit kompaktem Träger. Dann existiert eine Konstante <math>C</math>, so dass
:<math>\|T_\lambda (u)\|_{L^2(\R^n)} \leq C \lambda^{-\frac{n}{2}} \|u\|_{L^2(\R^n)}</math>
gilt,<ref>Elias Stein, ''Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals''. Princeton University Press, 1993. ISBN 0-691-03216-5, S. 377.</ref> was bedeutet, dass der [[Linearer Operator|lineare Operator]] <math>T_\lambda</math> auf <math>L^2</math> beschränkt, also stetig, ist. Außerdem folgt aus dem [[Satz von Banach-Steinhaus]], dass die Familie <math>(T_\lambda)_\lambda</math> von Operatoren [[Gleichmäßige Beschränktheit|gleichmäßig beschränkt]] ist.

== Beispiele ==
=== Fourier-Transformation ===
{{Hauptartikel|Fourier-Transformation}}

Sei <math>a \colon \R^n \times \R^n \to \R</math> eine glatte Funktion mit kompaktem Träger und mit <math>a(0,0) = \tfrac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{n}{2}}}</math> und sei <math>\phi(x,\xi) = -\langle x, \xi \rangle</math> die Phasenfunktion. Durch Reskalieren kann man den oszillierenden Integraloperator
:<math>T_\lambda(u)(x) = I_\phi(au)(x) = \int_{\R^n} e^{- i \lambda \langle x, \xi \rangle} a(x,\xi) u(\xi) \mathrm{d}\xi</math>
in
:<math>\tilde{T}_\lambda(u)(x) = \int_{\R^n} e^{-i\langle x, \xi \rangle} a\left(\frac{x}{\sqrt{\lambda}},\frac{\xi}{\sqrt{\lambda}}\right) u(\xi) \mathrm{d}\xi</math>
transformieren. Diese Familie von Operatoren ist [[Gleichmäßige Beschränktheit|gleichmäßig beschränkt]] auf <math>L^2</math> und für <math>\lambda \to \infty</math> erhält man die Fourier-Transformation
:<math>\tilde{T}_\infty(u)(x) = \mathcal{F}(u)(x) = \frac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{n}{2}}} \int_{\R^n} e^{-\mathrm{i} x \xi} u(\xi) \,\mathrm{d} \xi</math>.

=== Pseudodifferentialoperator ===
{{Hauptartikel|Pseudodifferentialoperator}}

Mit Hilfe des oszillierenden Integrals definiert man einen speziellen stetigen und linearen Operator

:<math>T \colon \mathcal{S}(\R^n) \to \mathcal{S}(\R^n)</math>

auf den [[Schwartz-Raum]], welcher durch

:<math style="margin-left:2em">\begin{align}T(u)(x) = I_{\langle x,\xi\rangle}(a\, \mathcal{F}(u))(x)
&= \int_{\R^n} e^{i\langle x,\xi\rangle} a(x,\xi) \mathcal{F}(u)(\xi) \mathrm{d} \xi\\
&= \int_{\R^n}e^{i\langle x,\xi\rangle} a(x,\xi) \int_{\R^n} e^{-i \langle y, \xi \rangle} u(y) \mathrm{d} y\, \mathrm{d} \xi \\
&= \int_{\R^n} \int_{\R^n} e^{i\langle x - y ,\xi\rangle} a(x,\xi) u(y) \mathrm{d} y\, \mathrm{d} \xi
\end{align}</math>

gegeben ist. Die Funktion <math>a \in S^m(\R^n \times \R^n)</math> ist eine [[Symbolklasse|Symbolfunktion]] und der Operator <math>T</math> heißt [[Pseudodifferentialoperator]]. Es ist eine Verallgemeinerung eines [[Differentialoperator]]s. Der [[Integralkern]] dieses Operators lautet

:<math>K(x,y) := \int_{\R^n} e^{i\langle x-y,\xi\rangle} a(x,\xi) \mathrm{d} \xi</math>

und ist ein typischer [[Schwartz-Kern]].

== Literatur ==
* [[Lars Hörmander]]: ''The Analysis of Linear Partial Differential Operators.'' Band 1: ''Distribution Theory and Fourier Analysis.'' Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (''Grundlehren der mathematischen Wissenschaften'' 256).
* [[Elias M. Stein]]: ''Harmonic Analysis. Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals.'' Princeton University Press, Princeton NJ 1993, ISBN 0-691-03216-5 (''Princeton mathematical Series'' 43 = ''Monographs in harmonic Analysis'' 3).
* Alain Grigis, Johannes Sjöstrand: ''Microlocal analysis for differential operators. An introduction.'' Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1994, ISBN 0-521-44986-3 (''London Mathematical Society lecture note series'' 196).

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Integralbegriff]]
[[Kategorie:Distributionentheorie]]

Oszillierendes Integral - Versionsgeschichte

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