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2026-02-26T10:26:52Z

Oszillatoren in der Elektronik, BKL-Aufgelöst, Wikilink fixes

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Ein '''Oszillator''' (von {{LaS|oscillare|de=schaukeln}}) ist ein ''schwingungsfähiges System''.<ref>{{Internetquelle|werk=[[LEIFIphysik]]|url=https://www.leifiphysik.de/mechanik/mechanische-schwingungen/grundwissen/grundbegriffe-zu-periodischen-bewegungen-und-schwingungen|zugriff=2020-06-24|titel=Mechanische Schwingungen}}</ref> Dies bedeutet, dass es eine üblicherweise zeitliche [[Schwingung|Oszillation]] seiner [[Zustandsgröße]]n ermöglicht. Oszillation bedeutet, dass eine fortwährende Veränderung zwischen zwei Zuständen, oder um einen zentralen Punkt stattfindet, der meist der [[Ruhelage]] des Systems entspricht.<ref>{{Webarchiv|url=http://www.oxforddictionaries.com/definition/english/oscillate |wayback=20150107002844 |text=oscillate: definition of oscillate in Oxford dictionary (British & World English) }}</ref>

Wenn sich das Verhalten des Oszillators mit [[Differentialgleichungen]] beschreiben lässt, ist es mathematisch gesehen ein [[Dynamisches System]]. Ein solches System bezeichnet man dann als Oszillator, wenn es einen [[Stabilitätstheorie|stabilen]] [[Grenzzyklus]] besitzt.<ref name="scholar">{{Literatur|Autor=Jeff Moehlis et al.|Jahr=2006|Sammelwerk=Scholarpedia|Titel=Periodic Orbit|DOI=10.4249/scholarpedia.1358}}</ref><ref name="schmidt">{{Literatur|Titel=Synchronization of Oscillators and Global Output Regulation for Rigid Body Systems|Autor=Gerd Simon Schmidt|Verlag=Logos Verlag Berlin|Jahr=2014|ISBN=3832537902|Seiten=11-16|Online={{Google Buch|BuchID=yWPeBgAAQBAJ|Seite=11}}}}</ref> Einen Zustand, bei dem ein Grenzzyklus erreicht ist, nennt man [[Einschwingvorgang|eingeschwungener Zustand]]. In einem solchen Zustand ist die Schwingung des Oszillators notwendigerweise [[Periodischer Orbit|periodisch]].

Oszillatoren findet man überwiegend in der [[Elektrotechnik]] bzw. [[Elektronik]] und der [[Mechanik]]. Jedoch sind Systeme mit periodischem Verhalten auch aus anderen Bereichen technischen [[Zeitsystem]]en, in der [[Chemie]], in der [[Biologie]] und in der [[Soziologische Systemtheorie|Soziologie]]<ref>Niklas Luhmann, Organisation und Entscheidung (Opladen [u. a.]: Westdt. Verl., 2000). S. 224</ref> bekannt.

Schwingungen mechanischer oder elektrischer Systeme sind ohne zusätzliche Maßnahmen stets [[Dämpfung|gedämpft]]. Das bedeutet, dass die [[Amplitude]] der Schwingung mit der Zeit abnimmt, wenn aktiv keine [[Energie]] von außen zugefügt wird. Ein Oszillator besitzt daher immer eine Einrichtung zur Zuführung von Energie. Dies kann beispielsweise durch mechanische Kraft, wie bei einem [[Uhrwerk]], oder durch elektrische Spannung geschehen.
[[Datei:Unruh-Spirale-Schwingsystem.tif|mini|hochkant=1.25|[[Unruh (Uhr)|Unruh]] einer Uhr, die zusammen mit [[Anker (Uhr)|Anker]] und [[Steigrad]] einen Oszillator bildet]]
[[Datei:32768 Hz quartz crystal resonator.jpg|mini|[[Uhrenquarz]], der mit einem Verstärker zusammen einen [[Quarzoszillator]] bildet]]

== Mathematische Definition ==
[[Datei:VanDerPolPhaseSpace.png|mini|Phasenraum des [[Van-der-Pol-System|Van-der-Pol-Oszillator]]s mit Trajektorien (blaue Linien). Zustände, die in der Nähe des Grenzzyklus starten (dünne Linien) nähern sich für ''t''→∞ dem Grenzzyklus (fette Linie).]]
Betrachte ein System von [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlichen Differentialgleichungen]]
:<math>\frac{\mathrm d x}{\mathrm d t}=f(x), \quad x\in\mathbb{R}^n,\quad n\geq 2</math>
oder
:<math>\frac{\mathrm d x}{\mathrm d t}=f(x,t), \quad x\in\mathbb{R}^n,\quad n\geq 1</math>
mit einer [[Glatte Funktion|glatten Funktion]] <math>f\colon\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}\to \mathbb{R}^n</math>. Die Größe <math>x</math> ist der [[Zustand (Physik)|Zustand]] eines physikalischen Systems. Die Menge aller Zustände wird Zustands- oder [[Phasenraum]] genannt. Die Eingangsgröße <math>t\in \mathbb{R}</math> kann als Zeit betrachtet werden<ref name="scholar"/> oder verallgemeinert auch aus <math>\mathbb{R}^p</math><ref name="schmidt"/> gewählt werden. Eine Lösung oder Trajektorie <math>x_0(t)</math> ist periodisch, wenn eine Konstante <math>T>0</math> existiert, sodass gilt
:<math>x_0(t)=x_0(t+T)</math>.
Die Konstante <math>T</math> ist die [[Periode (Physik)|Periode]], der [[Kehrwert]] <math>1/T</math> die [[Frequenz]] der Schwingung. Die Menge der Zustände (bzw. des [[Fluss (Mathematik)|Flusses]]) einer solchen Lösung ist ein [[periodischer Orbit]], auch Orbital oder Grenzzyklus genannt. Das betrachtete System heißt Oszillator, wenn für <math>t=0</math> ein ''asymptotisch orbital-stabiler'' Orbit existiert.<ref name="schmidt"/><ref name="neural">{{Literatur|Titel=Neural Modeling and Neural Networks|Herausgeber=F. Ventriglia|Verlag=Elsevier|Jahr=2013|ISBN=1483287904|Seiten=80|Online={{Google Buch|BuchID=ySbvAgAAQBAJ|Seite=80}}}}</ref> Das bedeutet, dass eine Trajektorie, die hinreichend nah an dem periodischen Orbit liegt, für alle <math>t>0</math> auch hinreichend nah bleibt, oder präziser folgende Bedingungen erfüllt:<ref name="neural"/>
* Für jeden Wert <math>\varepsilon>0</math> existiert ein <math>\delta>0</math>, sodass für <math>|x(0)-x_0(0)|<\delta</math> gilt, dass <math>|x(t)-x_0(t)|<\varepsilon</math> für alle <math>t>0</math>.
* Es existiert ein asymptotischer [[Phasenversatz]] <math>\phi</math>, sodass gilt <math>\lim_{t\to \infty}\left|x(t)-x_0(t+\phi)\right|\to 0</math>.

== Oszillatoren in der Physik ==
[[Datei:Morse-potential.svg|mini|Das [[Morse-Potential]] (blaue Linie) zur Modellierung eines zweiatomigen [[Molekül]]s lässt sich für kleine Energien durch einen Harmonischen Oszillator (grüne Linie) nähern. Die waagerechten dünnen Linien kennzeichnen die [[Energieniveau]]s ν = 0…6 des quantenmechanischen Oszillators]]
Asymptotische Stabilität bedeutet attraktiv und [[Ljapunow-Stabilität|Ljapunow-stabil]]. Ersteres gilt für Systeme, deren Energie sich einem Grenzwert annähert, letzteres für Systeme, deren Energie [[Erhaltungssatz|erhalten]] ist. Energieerhaltung bedeutet, dass bei einer Bewegung entlang eines geschlossenen Weges keine [[Arbeit (Physik)|Arbeit]] verrichtet wird. Diese Systeme nennt man [[Konservative Kraft|konservativ]]. Wie sich beispielsweise an dem Modell des [[Dynamisches Billard|dynamischen Billards]] sehen lässt, besitzen nicht alle konservativen Systeme einen stabilen periodischen Orbit und sind somit ein Oszillator.

Aufgrund der Energieerhaltung lässt sich das Kraftfeld eines konservativen Systems durch ein [[Potential (Physik)|Potential]] beschreiben. Jedem periodischen Orbit lässt sich somit eine Energie zuordnen. Dieses Modell lässt sich für ein [[Elektrische Ladung|elektrisch geladenes]] [[Teilchen]] verwenden, das sich in einem [[elektrisches Potential|elektrischen Potential]] bewegt. In der [[Quantenmechanik]] lassen sich mit diesem Modell z. B. [[Atomorbital]]e berechnen. Klassisch ist der Zustand <math>x=(q,p)</math> des Oszillators durch [[Auslenkung]] <math>q</math> des Teilchens aus der Ruhelage und seiner [[Geschwindigkeit]] bzw. seinen [[Impuls]] <math>p</math> bestimmt.

Bei genauer Betrachtung sind praktisch alle realen Oszillatoren [[anharmonischer Oszillator|anharmonisch]]. Sie lassen sich jedoch häufig näherungsweise mit dem Modell eines [[Harmonischer Oszillator|harmonischen Oszillators]] beschreiben:

:<math>\begin{align}
\frac{\mathrm d q}{\mathrm d t}&=p\\
\frac{\mathrm d p}{\mathrm d t}&=-\omega^2 q\\
\end{align}</math>

Hierbei ist die Teilchenmasse [[Entdimensionalisierung|entdimensionalisiert]] 1 gewählt, sodass
*<math>\omega /(2\pi)</math> die Frequenz,
*<math>\langle p^2\rangle=\omega^2\langle q^2\rangle</math> die [[Gesamtenergie]]
eines Orbits ist. Die Klammern <math>\langle\;\rangle</math> stehen für den zeitlichen [[Arithmetisches Mittel|Mittelwert]] bzw. quantenmechanischen [[Erwartungswert]]. Die Gesamtenergie folgt aus dem [[Äquipartitionstheorem]] oder [[Virialsatz]] für beliebige Oszillatoren. Quantenmechanisch sind für die Gesamtenergie nur [[Energieniveau]]s <math>\hbar\omega(\nu+\tfrac{1}{2})</math> mit <math>\nu=0,1,\dotsc</math> erlaubt. Hierbei ist <math>\hbar=\tfrac h {2\pi}</math> die [[ reduzierte Planck-Konstante]].

== Oszillatoren in der Elektronik ==
{{siehe auch|Oszillatorschaltung}}
Ein Oszillator in der Elektronik erzeugt ungedämpfte meist sinusförmige elektrische Schwingungen. Er arbeitet an Gleichspannung und erzeugt Wechselspannung und kann aus einem einzelnen selbstschwingenden Bauteil oder aus mehreren Bauteilen bestehen, die zu einer Oszillatorschaltung zusammengefügt werden. Diese Bauteile müssen damit eine Verstärkung > 1 haben (Ausgangsamplitude größer als Eingangsamplitude) und verstärken die Amplitude des Schwingungssignals, bis eine physikalische Begrenzung eintritt. Dies führt letztendlich zu einem stabilen Ausgangssignal.

Anforderungen an Oszillatoren sind Konstanz des Ausgangssignals in [[Frequenz]] und Amplitude und eine geringe Temperaturabhängigkeit. Manche Oszillatoren dienen der Erzeugung von Wechselspannung oder der [[Wechselrichter|Spannungswandlung]] mit hohem [[Wirkungsgrad]] (zum Beispiel [[Magnetron]], [[Royer-Oszillator]]).

Ein Oszillator enthält immer frequenzbestimmende Bauteile, eine Begrenzung der Amplitude und einen [[Elektrischer Widerstand#Negativer differentieller Widerstand|negativen differenziellen Widerstand]]. Dieser wird entweder durch einen rückgekoppelten [[Verstärker (Elektrotechnik)|Verstärker]] oder durch ein Bauelement mit [[Elektrischer Widerstand#Negativer differentieller Widerstand|negativem differenziellen Widerstand]] wie beispielsweise eine [[Tunneldiode]] oder [[Lambda-Diode]] realisiert.

Die Amplitudenbegrenzung geschieht durch passive oder aktive Maßnahmen. Es kann eine Amplitudenregelung geben (typisch z. B. bei [[Wien-Robinson-Brücke#Oszillator|RC-Oszillatoren]]), meist wird jedoch die Eigenschaft der Schaltung selbst ausreichen, um die Amplitude zu begrenzen (Arbeitspunktverschiebung, Begrenzung an nichtlinearen Kennlinien, Abnahme der Spannungsverstärkung bei Zunahme der Amplitude).

Die frequenzbestimmenden Bauteile elektronischer Oszillatoren können sein:
* [[spule (Elektrotechnik)|Spulen]] und [[Kondensator (Elektrotechnik)|Kondensator]]en im [[Schwingkreis]]
* [[RC-Glied]]er bzw. [[tiefpass|Tiefpässe]] beim [[Wien-Robinson-Brücke#Oszillator|RC-Oszillator]] ([[Niederfrequenz]])
* Laufzeiten in elektronischen Bauteilen beim [[Ringoszillator]]
* [[Topfkreis]]e, [[Hohlraumresonator]]en und [[Lecherleitung]]en im [[Dezimeterwellen|Dezimeter-]] und [[Zentimeterwellen]]-Bereich
* [[Schwingquarz]]e, [[Keramikresonator]]en im oberen Kilohertz- bis zweistelligem Megahertz-Bereich
* [[SAW-Filter|Oberflächenwellen]]
* [[Yttrium-Eisen-Granat]]-Kristalle ([[Elektronenspinresonanz]]), siehe [[YIG-Filter]] (Zentimeterwellen)
* winzige mechanische Schwinger im [[MEMS-Oszillator]]

== Beispiele (Auswahl) ==
[[Datei:OPO Crystals.jpg|mini|[[Kaliumtitanylphosphat]]kristalle in dem [[Optischer Resonator|Resonator]] eines [[Optisch parametrischer Oszillator|optisch parametrischen Oszillators]]. Mit einem solchen Oszillator lässt sich ein optisches Signal verstärken und die Energie bzw. Frequenz der [[Photon]]en ändern.]]

=== Mechanisch ===
*[[Pendel]]
*[[Helmholtz-Resonator]]
*[[Streichinstrument]]
*[[Helioseismologie]]

=== Elektronisch ===
*[[Schwingkreis]]
*[[Oszillatorschaltung]]
*[[Meißner-Schaltung]]

=== Optisch ===
*[[Laser]]

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* [http://www.scholarpedia.org/article/Oscillation Periodic Orbit - Scholarpedia]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4132814-0}}

[[Kategorie:Oszillator| ]]
[[Kategorie:Schwingungslehre]]
[[Kategorie:Theorie dynamischer Systeme]]

Oszillator - Versionsgeschichte

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