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2026-04-02T09:14:02Z

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Die '''Oseen-Gleichungen''' (nach [[Carl Wilhelm Oseen]]) sind ein [[mathematisches Modell]] der [[Strömungsmechanik|Strömung]] von [[inkompressibles Fluid|inkompressiblen]] [[Fluid|Flüssigkeiten und Gasen]] im [[Stationäre Strömung|stationären Gleichgewicht]]. Im Allgemeinen werden solche Fluidströmungen von den [[instationär]]en inkompressiblen [[Navier-Stokes-Gleichungen]] beschrieben, mit denen die Oseen-Gleichungen verwandt sind.

In der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] dienen die Oseen-Gleichungen hauptsächlich zur Analyse und Weiterentwicklung von Orts[[diskretisierung]]en der Navier-Stokes-Gleichungen, ohne sich mit Zeitintegration und [[Iteration #Numerische Mathematik|iterativer]] Auflösung der [[Nichtlineares System|Nichtlinearität]] beschäftigen zu müssen. Insbesondere im Bereich der [[Numerische lineare Algebra|numerischen linearen Algebra]] in der [[Numerische Strömungsmechanik|numerischen Strömungsmechanik]], d. h. beim Lösen des [[Lineares Gleichungssystem|linearen Gleichungssystems]], sind die Oseen-Gleichungen ein beliebter [[Benchmark]].

== Formulierung ==
Wie die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen sind die Oseen-Gleichungen ein System von [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]] in vier Unbekannten (Geschwindigkeit in drei Raumdimensionen und [[Druck (Physik)|Druck]]), ausgedrückt in vier Gleichungen.

Die [[Impulserhaltungssatz|Impulsgleichung]] (genau genommen drei Gleichungen in drei Raumdimensionen)

:<math> (\mathbf{b} \cdot \nabla) \mathbf{v} + \nabla p - \nu \Delta \mathbf{v} = \mathbf{f}</math>

beschreibt
* die [[Strömungsgeschwindigkeit]] <math>\mathbf{v}</math>
* unter dem Einfluss von [[Konvektion]] mit strömungsunabhängiger Geschwindigkeit <math>\mathbf{b}</math>,
* [[Diffusion]] infolge der [[kinematische Viskosität|kinematischen Viskosität]] <math>\nu</math>
* unter dem Einwirken einer externen [[Volumenkraft]] <math>\mathbf{f}</math>.

Die o. g. Impulsgleichung ist über den Druck <math>p</math> an die [[Kontinuitätsgleichung]] als vierte Oseen-Gleichung gekoppelt, welche [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]]- und damit [[quellfrei#Interpretation und Beispiele|Quellfreiheit]] garantiert:

:<math>\begin{alignat}{2}
& \operatorname{div} \mathbf{v} + \frac{\partial \rho}{\partial t} && = 0
\;\; \text{mit} \, \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0\\
\Rightarrow \, & \text{div} \, \mathbf{v} && = 0\\
\Leftrightarrow \,& \nabla \cdot \mathbf{v} && = 0\\
\Leftrightarrow \,& \frac{\partial v_x}{\partial x}
+ \frac{\partial v_y}{\partial y}
+ \frac{\partial v_z}{\partial z} && = 0
\end{alignat}</math>

Der beiden wesentlichen Unterschiede zwischen den Oseen- und den Navier-Stokes-Gleichungen sind
* die Stationarität der Oseen-Gleichungen, ausgedrückt als Fehlen der Zeit[[Differentialrechnung|ableitung]]
* ihre strömungs''unabhängige'' Konvektionsgeschwindigkeit <math>\mathbf{b} \neq \mathbf{v}</math>, im Gegensatz zu <math>\mathbf{b} = \mathbf{v}</math> bei den Navier-Stokes-Gleichungen.

Daneben können die Oseen-Gleichungen auch als eine Erweiterung der stationären [[Stokes-Gleichung]] um den Konvektionsterm <math>(\mathbf{b} \cdot \nabla) \mathbf{v}</math> aufgefasst werden.

== Iterative Approximation ==
Die Oseen-Gleichungen entstehen bei der [[Linearisierung]] der stationären Navier-Stokes-Gleichungen mittels einer [[Picard-Iteration]].

Die o. g. nichtlineare Impulsgleichung kann über einen iterativen Prozess [[Numerische Mathematik|numerisch]] approximiert werden: man startet mit einem passenden [[Geschwindigkeitsfeld]] <math>\mathbf{v}_0</math> und löst dann sukzessive

:<math> (\mathbf{v}_{n-1} \cdot \nabla) \mathbf{v}_n + \nabla p_n - \nu \Delta \mathbf{v}_n = \mathbf{f}_n</math>

für <math>n = 1, 2, \ldots</math> unter Berücksichtigung der Inkompressibilität, bis [[Konvergenzgeschwindigkeit|Konvergenz]] eintritt, d. h. die Änderung zwischen <math>\mathbf{v}_n</math> und <math>\mathbf{v}_{n+1}</math> gering ist.

Die Oseen-Gleichungen beinhalten zwei fundamentale Eigenschaften, die auch bei der Diskretisierung der Navier-Stokes-Gleichungen auftreten, nämlich die [[Sattelpunktproblem|Sattelpunktstruktur]] durch Geschwindigkeits-Druck-Kopplung sowie eine möglicherweise dominierende Konvektion (im Vergleich zur Diffusion).

== Literatur ==
* [[Carl Wilhelm Oseen]]: ''Über die Stokes’sche Formel, und über eine verwandte Aufgabe in der Hydrodynamik.'' In: ''Arkiv för matematik, astronomi och fysik.'' 6, 29, 1904, {{ISSN|0365-4133}}, S. 1–20.
* David Kay, Daniel Loghin, Andrew Wathen: ''A preconditioner for the steady-state Navier-Stokes equations.'' In: ''SIAM Journal on Scientific Computing.'' 24, 2002, {{ISSN|0196-5204}}, S. 237–256.
* Dieter Braess: ''Finite Elemente. Theorie, schnelle Löser und Anwendungen in der Elastizitätstheorie.'' 3. korrigierte und ergänzte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-00122-0, Abschnitt III.4.

[[Kategorie:Strömungsmechanik]]
[[Kategorie:Partielle Differentialgleichung]]

Oseen-Gleichungen - Versionsgeschichte

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