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2026-02-11T16:17:01Z

Schreibweisen

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[[Datei:Position vectors.svg|mini|Zwei Punkte und ihre Ortsvektoren]]
[[File:Example-position-2d-v2.svg|mini|hochkant=1.3|Ortsvektoren (hier durch <math>\vec r_P</math> und <math>\vec r_Q</math> bezeichnet) im kartesischen Koordinatensystem]]
Als '''Ortsvektor''' (auch '''Radiusvektor''', '''Positionsvektor''' oder '''Stützvektor''') eines Punktes bezeichnet man in der [[Mathematik]] und in der [[Physik]] einen [[Vektor]], der von einem festen [[Bezugssystem|Bezugspunkt]] zu diesem Punkt (Ort) zeigt.<ref>[[István Szabó (Ingenieur)|Istvan Szabó]]: ''Einführung in die Technische Mechanik.'' Springer, 1999, ISBN 3-540-44248-0, S. 12.</ref> In der elementaren und in der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] können diese Vektoren als Klassen von verschiebungsgleichen Pfeilen oder gleichwertig als [[Parallelverschiebung]]en definiert werden.

Ortsvektoren ermöglichen es, für die Beschreibung von [[Punkt (Geometrie)|Punkten]], von [[Punktmenge]]n und von [[Abbildung (Mathematik)|Abbildungen]] die Vektorrechnung zu benutzen. Legt man ein [[kartesisches Koordinatensystem]] zugrunde, dann wählt man in der Regel den [[Koordinatenursprung]] als Bezugspunkt für die Ortsvektoren der Punkte. In diesem Fall stimmen die Koordinaten eines Punktes bezüglich dieses Koordinatensystems mit den Koordinaten seines Ortsvektors überein.

In der [[Analytische Geometrie|analytischen Geometrie]] werden Ortsvektoren verwendet, um [[Affine Abbildung|Abbildungen]] eines [[Affiner Raum|affinen]] oder [[Euklidischer Raum|euklidischen Raums]] zu beschreiben und um Punktmengen (wie zum Beispiel [[Gerade]]n und [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]]) durch Gleichungen und [[Parameterdarstellung]]en zu beschreiben.

In der [[Physik]] werden Ortsvektoren verwendet, um den [[Ort (Physik)|Ort]] eines [[Körper (Physik)|Körpers]] in einem euklidischen Raum zu beschreiben. Ortsvektoren zeigen bei [[Koordinatentransformation]]en ein anderes Transformationsverhalten als [[Kovarianz (Physik)|kovariante Vektoren]].

== Schreibweisen ==
In der Geometrie wird der Bezugspunkt (Ursprung) in der Regel mit <math>O</math> (für lat. ''origo'') bezeichnet. Die Schreibweise für den Ortsvektor eines Punktes <math>P</math> ist dann
:<math>\overrightarrow{OP}.</math>
Gelegentlich werden auch die Kleinbuchstaben mit Vektorpfeil benutzt, die den Großbuchstaben entsprechen, mit denen die Punkte bezeichnet werden, zum Beispiel:
:<math>\vec p = \overrightarrow{OP},\ \vec q = \overrightarrow{OQ},\ \vec{a} = \overrightarrow{OA},\ \vec{b} = \overrightarrow{OB},\ \dots,\ \vec x = \overrightarrow{OX}</math>
Auch die Schreibweise, dass der Großbuchstabe, der den Punkt bezeichnet, mit einem Vektorpfeil versehen wird, ist üblich:
:<math>\vec P = \overrightarrow{OP},\ \vec Q = \overrightarrow{OQ},\ \vec{A} = \overrightarrow{OA},\ \vec{B} = \overrightarrow{OB},\ \dots,\ \vec X = \overrightarrow{OX}</math>
Vor allem in der Physik wird der Ortsvektor auch ''Radiusvektor'' genannt und mit Vektorpfeil als <math>\vec r</math> oder (insbesondere in der theoretischen Physik) halbfett als <math>\mathbf r</math> geschrieben.

== Beispiele und Anwendungen in der Geometrie ==
=== Verbindungsvektor ===
Der Verbindungsvektor <math>\overrightarrow{PQ}</math> von Punkt <math>P</math> zu Punkt <math>Q</math> lässt sich mithilfe der Ortsvektoren <math>\vec p = \overrightarrow{OP}</math> und <math>\vec q = \overrightarrow{OQ}</math> darstellen:
:<math>\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \vec q - \vec p</math>.

=== Kartesische Koordinaten ===
Für die Koordinaten des Ortsvektors <math>\overrightarrow{OP}</math> des Punktes <math>P</math> mit den Koordinaten <math>(p_1, p_2, p_3)</math> gilt:
:<math>\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix}</math>

=== Verschiebung ===
Eine [[Parallelverschiebung|Verschiebung]] um den Vektor <math>\vec v</math> bildet den Punkt <math>X</math> auf den Punkt <math>X^\prime</math> ab. Dann gilt für die Ortsvektoren:
:<math>\overrightarrow{OX'} = \overrightarrow{OX} + \vec v</math>
:<math>\vec x' = \vec x + \vec v</math>

=== Drehung um den Ursprung ===
Eine [[Drehung]] in der Ebene mit Drehzentrum <math>O</math> um den [[Winkel]] <math>\varphi</math> gegen den [[Uhrzeigersinn]] kann in kartesischen Koordinaten mit Hilfe einer [[Drehmatrix]] beschrieben werden:
Ist <math>\vec x = \tbinom{x_1}{x_2} = \overrightarrow{OX}</math> der Ortsvektor eines Punktes <math>X</math> und <math>\vec x' = \tbinom{x_1'}{x_2'} = \overrightarrow{OX'}</math> der Ortsvektor des Bildpunkts <math>X'</math>, so gilt:
:<math>\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos\varphi \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
</math>

=== Affine Abbildung ===
Eine allgemeine [[affine Abbildung]], die den Punkt <math>X</math> auf den Punkt <math>X'</math> abbildet, kann mit Ortsvektoren wie folgt dargestellt werden:
:<math>\vec x' = L(\vec x) + \vec v</math>
Hierbei ist <math>\vec x</math> der Ortsvektor von <math>X</math>, <math>\vec x'</math> der Ortsvektor von <math>X'</math>, <math>L</math> eine lineare Abbildung und <math>\vec v</math> ein Vektor, der eine Verschiebung beschreibt. In kartesischen Koordinaten kann die lineare Abbildung <math>L</math> durch eine Matrix <math>A</math> dargestellt werden und es gilt
:<math>\vec x = A \cdot \vec x + \vec v</math>.
Im dreidimensionalen Raum ergibt dies:
:<math>\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\x_3' \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\x_3 \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\v_3 \end{pmatrix}</math>
Entsprechende Darstellungen gibt es auch für andere Dimensionen.

=== Parameterdarstellung einer Geraden ===
Die Gerade durch die Punkte <math>P</math> und <math>Q</math> enthält genau die Punkte <math>X</math>, deren Ortsvektoren <math>\vec x</math> die Darstellung
:<math>\vec x = \overrightarrow{OP} + t \,\overrightarrow{PQ}</math> mit <math>t \in \R</math>
besitzen. Man spricht hier auch von der [[Parameterform]] einer [[Geradengleichung]].

=== Normalenform der Ebenengleichung ===
Die Ebene durch den Punkt <math>P</math> ''(Stützpunkt)'' mit [[Normalenvektor]] <math>\vec n</math> enthält genau die Punkte <math>X</math>, deren Ortsvektor <math>\vec x</math> die [[Normalenform|Normalengleichung]]
:<math>\vec x \cdot \vec n = \vec p \cdot \vec n</math>
erfüllt. Dabei ist <math>\vec p</math> der Ortsvektor ''([[Stützvektor]])'' des Stützpunkts <math>P</math> und der Malpunkt bezeichnet das [[Skalarprodukt]].

== Ortsvektor in verschiedenen Koordinatensystemen ==
[[Datei:Cartesian xyz.png|mini|300px|Kartesisches Koordinatensystem]]

Der durch einen Ortsvektor beschriebene Punkt kann durch die Koordinaten eines Koordinatensystems ausgedrückt werden, wobei der Bezugspunkt des Ortsvektors normalerweise in den [[Koordinatenursprung]] gelegt wird.

=== Kartesische Koordinaten ===
Üblicherweise wird der Ortsvektor in [[Kartesische Koordinaten|kartesischen Koordinaten]] in der Form
:<math>\vec r = \vec r\,(x,y,z) = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}</math>
definiert. Daher sind die kartesischen Koordinaten gleichzeitig die Komponenten des Ortsvektors.

=== Zylinderkoordinaten ===
Der Ortsvektor als Funktion von [[Zylinderkoordinaten]] ergibt sich durch Umrechnen der Zylinderkoordinaten in die entsprechenden kartesischen Koordinaten zu
:<math>\vec r = \vec r\,(\rho,\varphi,z) = \begin{pmatrix} \rho\,\cos\varphi \\ \rho\,\sin\varphi \\ z\end{pmatrix}.</math>
Hier bezeichnet <math>\rho</math> den Abstand des Punktes von der <math>z</math>-Achse, der Winkel <math>\phi</math> wird von der <math>x</math>-Achse in Richtung der <math>y</math>-Achse gezählt. <math>\rho</math> und <math>\varphi</math> sind also die Polarkoordinaten des orthogonal auf die <math>x</math>-<math>y</math>-Ebene projizierten Punktes.

Mathematisch gesehen wird hier die [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] (Funktion) betrachtet, die den Zylinderkoordinaten <math>(\rho,\varphi,z)</math> die kartesischen Koordinaten <math>(x,y,z)</math> des Ortsvektors zuordnet.

=== Kugelkoordinaten ===
[[Datei:Spherical polar coordinates.png|miniatur|Kugelkoordinatensystem]]
Der Ortsvektor als Funktion von [[Kugelkoordinaten]] ergibt sich durch Umrechnen der Kugelkoordinaten in die entsprechenden kartesischen Koordinaten zu
:<math>\vec r = \vec r\,(r,\theta,\varphi) = \begin{pmatrix} r\,\sin\theta\,\cos\varphi \\ r\,\sin\theta\,\sin\varphi \\ r\,\cos\theta\end{pmatrix}.</math>
Hierbei bezeichnet <math>r</math> den Abstand des Punktes vom Ursprung (also die Länge des Ortsvektors), der Winkel <math>\varphi</math> wird in der <math>x</math>-<math>y</math>-Ebene von der <math>x</math>-Achse aus in Richtung der <math>y</math>-Achse gemessen, der Winkel <math>\theta</math> ist der Winkel zwischen der <math>z</math>-Achse und dem Ortsvektor.

== Physik ==
=== Himmelsmechanik ===
Um die Position eines [[Himmelskörper]]s, der sich auf einer [[Umlaufbahn]] um ein [[Schwerezentrum]] bewegt, anzugeben, wird in der [[Himmelsmechanik]] als Ursprung des Orts- oder Radiusvektors dieses Schwerezentrum gewählt. Der Radiusvektor liegt dann stets in Richtung der [[Zweikörperproblem#Übergang zum äquivalenten Einkörperproblem|Gravitationskraft]]. Die [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] des Ortsvektors wird '''Fahrstrahl''' genannt. Der Fahrstrahl spielt eine zentrale Rolle beim [[Keplersche Gesetze#Zweites Keplersches Gesetz (Flächensatz)|zweiten Keplerschen Gesetz (Flächensatz)]].

== Siehe auch ==
* [[Einheitsvektor]]
* [[Frenetsche Formeln]]
* [[Hodograph]]

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* Klaus Desch: [https://www.desy.de/~desch/mathe2/blobelskript/kap11.pdf ''Mathematische Ergaenzungen zur Physik II, Kapitel 11: Vektoranalysis.''] (PDF, 210 kB). Institut für Experimentalphysik, Hamburg.

[[Kategorie:Analytische Geometrie]]
[[Kategorie:Kinematik]]

Ortsvektor - Versionsgeschichte

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