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2026-03-27T15:36:44Z

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[[Datei:Ortskurve(kompl).svg|250px|mini|'''Ortskurve''' als Linie in der [[Gaußsche Zahlenebene|komplexen Zahlenebene]]]]

Unter einer '''Ortskurve''' versteht man in der [[Systemtheorie (Ingenieurwissenschaften)|Systemtheorie]] die [[Liniendiagramm|graphische Darstellung]] einer von einem [[Reelle Zahl|reellen ]][[Parameter (Mathematik)|Parameter]] abhängigen [[Komplexe Zahl|komplexen]] Systemgröße.

Mathematisch ist die Ortskurve folgendermaßen definiert:

Die von einem parameterabhängigen komplexen Zeiger <math>\underline z=\underline z(t)</math> in der [[Gaußsche_Zahlenebene | komplexen Zahlenebene]] beschriebene Bahn heißt Ortskurve.<ref>[[Lothar Papula]]: ''Mathematische Formelsammlung: Für Ingenieure und Naturwissenschaftler.'' Vieweg, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8348-0156-2 ({{Google Buch|BuchID=-CLQ09g7LRIC|Seite=227}})</ref>

:<math>\underline z = \mathrm R\mathrm e(\underline z) + \mathrm j \mathrm I\mathrm m (\underline z) = x(t) + \mathrm j y(t)</math>

: mit der [[Imaginäre Zahl|imaginären Einheit]] <math>\mathrm j</math>. Der Parameter <math>t</math> ist dabei Element eines halboffenen, offenen oder geschlossenen [[Intervall_(Mathematik) | Intervalls]] der reellen Zahlen. Im dargestellten Beispiel gilt: <math>a \le t \le b</math>.

Ortskurven finden in verschiedenen technischen Disziplinen, insbesondere der [[Regelungstechnik]], [[Nachrichtentechnik]], [[Hochfrequenztechnik]], [[Energietechnik]] und [[Akustik]] (oder anderen Anwendungen der Schwingungslehre) Anwendung. Sie dienen dazu, die Eigenschaften oder das Verhalten eines technischen Systems wie beispielsweise einer [[Regelungstechnik|Regelung]] oder einer [[Elektrische Schaltung|elektrischen Schaltung]] mit graphischen Mitteln darzustellen.

Typische Beispiele für komplexe System-Größen, die durch Ortskurven dargestellt werden, sind
* der [[Frequenzgang (System)|Frequenzgang]] des Übertragungsfaktors (d. h. des Verhältnisses der komplexen Eingangs- und Ausgangsgrößen) von [[LZI-System | linearen zeitinvarianten Systemen]] in Abhängigkeit von der Frequenz,
* komplexe [[Wechselstrom]]-Größen (Strom, Spannung) sowie [[Impedanz]]en (komplexe Widerstände) und [[Admittanz]]en (komplexe Leitwerte) von [[Zweipol]]en.

Parameter ist häufig, aber nicht zwingend, die Frequenz. Typische Parameter in der [[Leitungstheorie|Theorie der Leitungen]] sind beispielsweise die Leitungslänge oder das [[Anpassung (Elektrotechnik)|Anpassverhältnis]]. Ebenso wird die Impedanz eines [[Widerstand (Bauelement)|Widerstands]], einer [[Induktivität (Bauelement)|Spule]] oder eines [[Kondensator (Elektrotechnik)|Kondensators]] bei konstanter Frequenz als Funktion störender (parasitärer) Bauelementgrößen (zum Beispiel hat eine reale Spule nicht nur die gewollte Induktivität, sondern auch einen kleinen ohmschen Widerstand und eine kleine Kapazität) angegeben.

== Gleichungen für die darzustellende komplexe System-Größe ==
In Systemen, die aus endlich vielen konzentrierten Bauelementen bestehen, kann die System-Größe als gebrochen rationale Funktion in der folgenden Form dargestellt werden<ref name="weißg">Wilfried Weißgerber: ''Elektrotechnik für Ingenieure 2.'' 5 Ortskurven. 6. Auflage. Vieweg + Teubner, 2007, ISBN 978-3-8348-0191-3.</ref>:

:<math>\underline O(t) = \frac{\underline A +\underline B t + \underline C t^2 + \underline D t^3 + \dotsb}{\underline a + \underline b t + \underline c t^2 + \underline d t^3 + \dotsb}</math>.

:Hierbei ist <math>t</math> ein reeller Parameter, und <math>\underline A, \dotsc, \underline D, \dotsc</math> und <math>\underline a, \dotsc, \underline d, \dotsc</math> sind komplexe Größen. Der Unterstrich zeigt an, dass sie komplex sind.

Wird als Parameter die Frequenz betrachtet, ist es üblich, als unabhängige Variable die [[Kreisfrequenz]] <math>\omega=2 \pi f</math> zu wählen. In diesem Fall stellt folgende Gleichung<ref>zum Beispiel in Jan Lunze: ''Regelungstechnik 1.'' Springer, 2007, ISBN 978-3-540-70790-5, S. 224.</ref> die System-Größe dar:

:<math>H(\mathrm j\omega) = \frac{Y(\mathrm j\omega)}{X(\mathrm j\omega)} = \frac{b_0 + b_1(\mathrm j\omega) + \dotsb + b_{m}(\mathrm j\omega)^{m}}{a_0 + a_1(\mathrm j\omega) + \dotsb + a_n(\mathrm j\omega)^{n}}</math>.

:Weil <math>\omega</math> immer zusammen mit der imaginären Einheit <math>\mathrm j</math> auftritt, hat es sich insbesondere in der Regelungstechnik eingebürgert, als Parameter das Produkt <math>\mathrm j \omega</math> anzugeben. Die mitgeschriebene Einheit <math>\mathrm j </math> macht deutlich, dass es sich um komplexe Größen handelt. Der Unterstrich kann entfallen.

== Beispiele ==
=== Nachrichtentechnik ===
[[Datei:Tiefpass.svg|thumb|[[Schaltbild]] eines [[Tiefpass#Tiefpass 1. Ordnung| RC-Tiefpasses]]]]
[[Datei:OrtsTief.svg|thumb|'''Ortskurve''' für den Frequenzgang eines [[Tiefpass#Tiefpass 1. Ordnung| RC-Tiefpasses]]. Sie stellt den komplexen Spannungsübertragungsfaktor dar (komplexer Quotient ''V'' der [[Sinus und Kosinus|sinusförmigen]] Ausgangs- zur Eingangsspannung)]]

Ortskurven beschreiben das Übertragungsverhalten von Schaltungen, die lineare phasendrehende Bauteile (Kondensatoren, Spulen) enthalten und als imaginäre [[Blindwiderstand |Blindwiderstände]] behandelt werden. Typische Anwendungen sind [[Schwingkreis]]e oder [[Filter (Elektronik)|Filter]], die elektrische Signale idealerweise nur bei bestimmten Frequenzen oder Frequenzbereichen passieren lassen und sonst sperren; siehe beispielsweise [[Tiefpass]], [[Hochpass]].

Der Frequenzgang eines Tiefpasses (siehe Abbildung) ist mit den Formelzeichen <math>\underline V</math> für den Quotienten aus komplexen Ausgangs- <math>\underline u_a (\mathrm j\omega)</math> und komplexen Eingangssignal <math>\underline u_e(\mathrm j\omega)</math> und <math>\omega</math> für die Kreisfrequenz folgender Ausdruck:
:<math>\underline V (\mathrm j \omega) = \frac{\underline u_a (\mathrm j\omega)}{\underline u_e (\mathrm j\omega)}</math>.

Bei einem Tiefpass als [[RC-Glied]] lautet die [[Tiefpass#Herleitung der Formel|Gleichung]] für den komplexen Spannungsübertragungsfaktor:
: <math>\underline V(\mathrm j\omega)= \frac{\underline u_a (\mathrm j\omega)}{\underline u_e (\mathrm j\omega)}
= \frac{1}{1 + C R \mathrm j\omega}
</math>.

: Das Zähler-Polynom ist reduziert auf <math>1</math>.

Die Ortskurve des Übertragungsfaktors erfüllt die [[Kreisgleichung#Gleichungen | Kreisgleichung]] eines Kreises mit dem Radius ''R'' = 0,5 um den Punkt ''M'' = 0,5+ 0 · j, denn es gilt:
:<math>\left| \underline{V}-\frac{1}{2} \right| = \left| \frac{1}{1+j \omega CR}-\frac{1}{2} \right| = \left| \frac{1-j\omega CR}{2 \cdot (1+j \omega CR)} \right| = \frac{1}{2}</math>

Das in der Regelungstechnik vorkommende [[PT1-Glied|PT1-Glied]] kann als eine Kombination aus einem RC-Tiefpass mit der [[Zeitkonstante]] <math>T=R\cdot C</math> und einem frequenzunabhängigen [[Verstärker (Elektrotechnik)|Verstärker]] mit dem Verstärkungsfaktor <math>K</math> aufgefasst werden.
:<math>H(\mathrm j\omega) = \frac{K}{1 + T\mathrm j\omega}</math>

=== Regelungstechnik ===
[[Datei:OrtsPT2.svg|thumb|'''Ortskurve''' des Frequenzgangs eines [[PT2-Glied|PT2-Glied]] (K = 1; d < 1)]]

Die in der Regelungstechnik verwendete Ortskurve des Frequenzgangs wird auch [[Nyquist-Diagramm]] genannt. [[Harry Nyquist]] hat mit Hilfe dieser Ortskurve ein [[Stabilitätskriterium von Nyquist|Stabilitätskriterium]] für Regelungen formuliert.

Die Ortskurve des Frequenzgangs wird sowohl für einzelne Bauteile als auch für Bauteilgruppen bis zur kompletten Kette des aufgeschnittenen [[Regelkreis]]es gezeichnet und verwendet. Abgebildet ist die Kurve für ein [[PT2-Glied|PT2-Glied]] (Verstärker mit Verzögerung 2. Ordnung).

Der Frequenzgang dieses Glieds ist mit dem Verstärkungsfaktor <math>K</math> dem Dämpfungsmaß <math>d</math> und der Zeitkonstante <math>T</math> folgender Ausdruck:
: <math>H(\mathrm j\omega) = \frac{Y(\mathrm j\omega)}{X(\mathrm j\omega)} = \frac{K}{1 + 2 d T \mathrm j\omega - T^2 \omega^2}</math>

=== Elektrische Energietechnik ===
[[Datei:OrtsImp.svg|thumb|'''Ortskurve''' der [[Impedanz]] ''Z'' ([[Reihenschaltung]] aus [[Induktivität (Bauelement)|Induktivität]] jωL und variablem [[Ohmscher Widerstand|ohmschen Widerstand]] R(p))]]

In der [[Elektrische Energietechnik|Energietechnik]] ist die Frequenz des Stroms konstant, weshalb mit Ortskurven Übertragungsverhältnisse dargestellt und untersucht werden, die mit einem anderen Parameter als der Frequenz variieren. Als variable Größen im System kommen die Werte von ohmschen Widerständen, Spulen und Kondensatoren in Frage. Am häufigsten wird die komplexe [[Impedanz]] (Quotient aus komplexer [[Elektrische Spannung|Spannung]] <math>u</math> und komplexem [[Elektrischer Strom|Strom]] <math>i</math>) oder der komplexe [[Leitwert]] (Quotient aus komplexem Strom und komplexer Spannung) dargestellt.

Die komplexe Gleichung für die Impedanz ist mit dem Parameter <math>p</math> (in ''R'' = ''p'' · R0) und dem Zeichen <math>\underline Z</math> für die Impedanz (siehe Abbildung) folgender Ausdruck:
:<math>\underline Z(p) = L\mathrm j \omega + R_0 p</math>

Das Nenner-Polynom ist reduziert auf <math>1</math>.

== Das Erstellen von Ortskurven ==
Die mit Ortskurven darstellbaren Beziehungen lassen sich durch Messung von Betrag und Phase ermitteln, und die Kurven lassen sich punktweise mit den Messwertpaaren in der komplexe Ebene zeichnen. Die erste und die dritte der Abbildungen zeigen, dass Ortskurven oftmals eine einfache geometrische Form haben und aus wenigen Messwertpaaren gefolgert werden können.

Dieser Tatbestand macht es auch möglich, solche einfachen Ortskurven (Geraden, Kreise, Parabeln) rein theoretisch anzugeben, was insbesondere bei qualitativen Betrachtungen genügen kann. Ihre [[Kreisspiegelung|Inversionen]] haben ebenfalls einfache geometrische Formen.

== Inversion von Ortskurven ==
Die Inversion von Ortskurven besitzt beispielsweise Bedeutung bei der [[Kehrwert]]bildung zur Berechnung des Leitwertes <math>\underline Y </math> aus der Impedanz <math>\underline Z</math>
:<math>\underline Y = \frac{1}{\underline Z}</math>

Sie ist ein Spezialfall der [[Möbiustransformation]] und kann in einfachen Fällen mithilfe folgender Grundregeln und der Inversion einzelner Punkte grafisch durchgeführt werden.
{| class="wikitable"
|-
! ursprüngliche Ortskurve !! invertierte Ortskurve
|-
| Gerade durch den [[Koordinatenursprung|Ursprung]] || Gerade durch den Ursprung
|-
| Gerade nicht durch den Ursprung || Kreis durch den Ursprung
|-
| Kreis durch den Ursprung || Gerade nicht durch den Ursprung
|-
| Kreis nicht durch den Ursprung || Kreis nicht durch den Ursprung
|}

== Siehe auch ==
* [[Nyquist-Diagramm]]
* [[Komplexe Wechselstromrechnung]]
* [[Phasengang]]
* [[Smith-Diagramm]]
* [[Hodograph]]

== Literatur ==
*{{Literatur
|Autor = Wilfried Weißgerber
|Titel = Elektrotechnik für Ingenieure 2, 5 Ortskurven
|Verlag = Vieweg + Teubner | Auflage = 6. | Jahr = 2007 | ISBN = 978-3-8348-0191-3}}
*{{Literatur
|Autor = Heinz Unbehauen
|Titel = Regelungstechnik 1 | Seiten= 80–86
|Verlag = Vieweg + Teubner | Auflage = 14. | Jahr = 2007 | ISBN = 978-3-3848-0230-9}}
*[[Gert Hagmann]]: ''Grundlagen der Elektrotechnik''. 11. Auflage, Wiebelsheim 2005, ISBN 3-89104-687-1.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Signalverarbeitung]]
[[Kategorie:Theoretische Elektrotechnik]]
[[Kategorie:Systemdarstellung]]

Ortskurve (Systemtheorie) - Versionsgeschichte

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