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2026-02-06T11:13:42Z

Definition

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In der [[Lineare Algebra|Linearen Algebra]] und der [[Funktionalanalysis]], Teilgebieten der [[Mathematik]], ist ein '''Orthogonalsystem''' eine Menge von [[Vektor]]en eines [[Vektorraum|Vektorraums]] mit [[Skalarprodukt]] ([[Prähilbertraum]]), die paarweise aufeinander senkrecht stehen. Sind die Vektoren zusätzlich noch normiert (d. h., sie haben die [[Norm (Mathematik)|Norm]] 1), so spricht man von einem '''Orthonormalsystem'''.

== Definition ==
Eine [[Teilmenge]] <math>M</math> eines [[Prähilbertraum]]s <math>V</math> heißt ''Orthogonalsystem'', wenn gilt:
# Je zwei verschiedene Vektoren aus <math>M</math> sind zueinander [[Orthogonalität|orthogonal]]: <math>\forall v,w \in M : v \ne w \Rightarrow \langle v, w \rangle = 0\, .</math>
# Der [[Nullvektor]] ist nicht in der Menge enthalten.
Hier bezeichnet <math> \langle v, w \rangle </math> das [[Skalarprodukt]] des Raums <math>V</math>, im euklidischen Raum also das [[Standardskalarprodukt]].

Gilt zusätzlich
:Jeder Vektor aus <math>M</math> ist normiert, d. h. <math>\forall v \in M : \langle v, v \rangle = 1</math>,
so nennt man <math>M</math> ein Orthonormalsystem.

== Eigenschaften ==
* Orthogonalsysteme sind [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängig]].
* In [[Separabler Raum|separablen]] [[Hilbertraum|Hilberträumen]] (insbesondere in allen endlichdimensionalen Hilberträumen) lässt sich mit dem [[Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren|Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren]] aus jedem linear unabhängigen System ein Orthogonalsystem (bzw. Orthonormalsystem) bzw. aus jeder [[Schauderbasis|(Schauder-)Basis]] eine orthogonale (bzw. orthonormale) Basis konstruieren.
* Für ein Orthonormalsystem <math>M</math> gilt die [[Besselsche Ungleichung]]
*:<math>\sum_{e \in M} |\langle x,\,e\rangle|^2 \le \|x\|^2\quad\forall~x\in V.</math>
* Für jeden Vektor <math>x \in V</math> ist die Menge der <math>e \in M</math>, für die <math>\langle x, e \rangle \ne 0</math> gilt, höchstens abzählbar.

== Beispiele ==
* Im <math>\R^n</math> mit dem Standardskalarprodukt ist die [[Standardbasis]] ein Orthogonalsystem
* In <math>L^2([0,2\pi])</math> bilden die Funktionen <math>\cos(kx)</math> ein Orthogonalsystem (Siehe auch [[trigonometrisches Polynom]])
* In <math>\ell^2</math> mit dem Skalarprodukt <math>(a,b) \mapsto \sum a_nb_n</math> bilden die Folgen <math>(0, \cdots, 0, 1, 0, \cdots)</math> ein Orthogonalsystem
* In dem Prähilbertraum der Polynome mit Grad kleiner gleich 5, <math>\mathcal P^5([0,1])</math>, versehen mit dem <math>L^2</math>-Skalarprodukt <math>(a,b) \mapsto \int_0^1 ab</math>, bilden die Funktionen
::<math>x \mapsto 1</math> und <math>x \mapsto x - \frac12</math>
:ein Orthogonalsystem.

== Siehe auch ==
* [[Orthonormalbasis|Vollständiges Orthonormalsystem]]

== Literatur ==
* {{bibISBN|9783540725336}} Kapitel V.3 (Für den unendlichdimensionalen Fall, dort finden sich auch Beweise für die Beispiele)
* {{bibISBN|3528972173}} (Für den endlichdimensionalen Fall, dort unter „Erzeugendensystem“)

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Orthogonalsystem - Versionsgeschichte

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