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2025-10-05T19:55:05Z

Geraden und Ebenen: Lesbarkeit

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{{Dieser Artikel|behandelt den Begriff der Mathematik. Für das Konzept von Unabhängigkeit in der Informatik siehe [[Orthogonalität (Informatik)]].}}
[[Datei:Perpendicular-coloured.svg|mini|Die beiden Strecken <math>[AB]</math> und <math> [CD]</math> sind orthogonal, da sie miteinander einen rechten Winkel bilden.]]

Der Begriff '''Orthogonalität''' wird innerhalb der [[Mathematik]] in unterschiedlichen, aber verwandten Bedeutungen verwendet.

In der [[Elementargeometrie]] nennt man zwei [[Gerade]]n oder [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]] '''orthogonal''' (bzw. '''senkrecht'''), wenn sie einen [[Rechter Winkel|rechten Winkel]], also einen Winkel von 90°, einschließen.

Zwei [[Vektor|Vektoren]] heißen orthogonal, wenn sie auf zueinander orthogonalen Geraden liegen oder wenn mindestens einer der beiden Vektoren der Nullvektor ist. Dies ist gleichbedeutend damit, dass ihr Skalarprodukt null ist. Diese Eigenschaft wird in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] zur Definition von Orthogonalität in allgemeinen [[Prähilbertraum|euklidischen Vektorräumen]] erhoben: Zwei [[Vektor]]en heißen zueinander orthogonal, wenn ihr [[Skalarprodukt]] null ist. Diese Bedeutung wird auch auf [[Funktion (Mathematik)|Abbildungen]] zwischen Vektorräumen übertragen, die das Skalarprodukt und damit die Orthogonalität zweier Vektoren unverändert lassen.

== Bezeichnungen ==
Der Begriff ''orthogonal'' ({{elS}} {{lang|grc|ὀρθός}} ''orthos'' „gerade, aufrecht, richtig“ und {{lang|grc|γωνία}} ''gonia'' „Ecke, Winkel“) bedeutet „rechtwinklig“. Gleichbedeutend zu ''rechtwinklig'' steht auch ''normal'' ({{laS|''norma''}} „Maß“, im Sinne des rechten Winkels). Das Wort „normal“ wird in der Mathematik aber auch in anderen Bedeutungen verwendet. ''Senkrecht'' kommt vom [[Senkblei]] (Lot) und bedeutet ursprünglich nur ''orthogonal zur Erdoberfläche'' ([[lotrecht]]). Dieser Sachverhalt wird auch durch ''vertikal'' (lat. ''vertex'' „Scheitel“) ausgedrückt.

Man bezeichnet zwei Geraden, Ebenen oder Vektoren <math>a</math> und <math>b</math>, die orthogonal bzw. nicht orthogonal zueinander sind, mit

:<math>a \perp b</math>   bzw.   <math>a \not\perp b</math>.

Basierend auf der englischen Bezeichnung ''perpendicular'' wird das Orthogonalitätssymbol in [[Hypertext Markup Language|HTML]] mit <code>&perp;</code> und in [[LaTeX]] (innerhalb der Mathematik-Umgebung) mit <code>\perp</code> kodiert. Im [[Zeichenkodierung]]sstandard [[Unicode]] besitzt das Symbol ⊥ die Position <code>U+22A5</code>.

== Orthogonalität in der Geometrie ==

=== Elementargeometrie ===
In der Elementargeometrie heißen zwei [[Gerade]]n oder [[Ebene (Mathematik)|Ebenen]] ''orthogonal'', wenn sie einen [[Rechter Winkel|rechten Winkel]], d. h. einen Winkel von 90° einschließen. Dabei sind folgende Bezeichnungen gebräuchlich:
* Eine Gerade heißt ''Orthogonale (Normale)'' auf eine Ebene, wenn ihr [[Richtungsvektor]] ein [[Normalenvektor]] der Ebene ist.
* Eine Ebene heißt ''Orthogonale (Normalebene)'' einer Ebene, wenn ihr Normalenvektor in dieser Ebene liegt.
* Eine Gerade/Ebene heißt ''Orthogonale (Normale)'' an eine [[Kurve (Mathematik)|Kurve]], wenn sie zur [[Tangente]]/[[Tangentialebene]] im Schnittpunkt orthogonal ist.

In einem [[Orthogonales Polygon|orthogonalen Polygon]] (beispielsweise einem [[Rechteck]]) bilden je zwei benachbarte Seiten einen rechten Winkel, bei einem [[Orthogonales Polyeder|orthogonalen Polyeder]] (beispielsweise einem [[Quader]]) je zwei benachbarte Kanten und damit auch benachbarte Seitenflächen.

=== Analytische Geometrie ===

==== Vektoren ====
Den Winkel zweier Vektoren <math>\vec v</math> und <math>\vec w</math> im [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystem]] kann man über das [[Skalarprodukt]]

:<math>\vec v \cdot \vec w = |\vec v|\, |\vec w|\,\cos\sphericalangle(\vec v, \vec w)</math>

berechnen. Dabei bezeichnen <math>|\vec v|</math> und <math>|\vec w|</math> jeweils die [[Euklidische Norm|Längen]] der Vektoren und <math>\cos \sphericalangle(\vec v, \vec w)</math> den Kosinus des von den beiden Vektoren eingeschlossenen Winkels. Bilden zwei Vektoren <math>\vec v</math> und <math>\vec w</math> einen rechten Winkel, dann gilt

:<math>\vec v \cdot \vec w = |\vec v|\, |\vec w|\,\cos 90^\circ = 0</math>.

Zwei Vektoren sind somit zueinander orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich null ist. Der [[Nullvektor]] ist dabei zu allen Vektoren orthogonal.<ref>Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: ''Elemente der Linearen Algebra und der Analysis'', Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 978-3-8274-1971-2, Kap. III.1 Definition 4</ref>

Eine Menge von Vektoren <math>\{\vec v_j: j=1,\dots,N\}</math> wird als ''paarweise orthogonal'' bezeichnet, wenn für alle <math>i\not= j</math> gilt, dass <math>\vec v_i</math> und <math>\vec v_j</math> orthogonal zueinander sind.

==== Geraden und Ebenen ====
Zwei Geraden in der Ebene sind dann orthogonal, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind. Im Raum oder in höheren Dimensionen ist kein Schnittpunkt nötig. Zwei Geraden können auch dann orthogonal sein, wenn sie [[windschief]] zueinander sind. Eine Gerade und eine Ebene im Raum sind orthogonal, wenn der Richtungsvektor der Geraden orthogonal zu jedem Vektor in der Ebene ist.

Zwei Ebenen im euklidischen Raum sind orthogonal, wenn es eine Gerade gibt, die in einer der beiden Ebenen enthalten und orthogonal zur zweiten ist.

Sind zwei Geraden in der euklidischen Ebene durch die Gleichungen
:<math>y = m_1 x + b_1</math>    und   <math>y = m_2 x + b_2</math>
gegeben, so sind sie genau dann orthogonal, wenn <math>m_1 m_2 = -1</math> ist, oder äquivalent: wenn <math>m_1 = - 1/ m_2</math> gilt, denn genau dann sind mit
: <math> \begin{pmatrix}1\\ m_1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\ m_2\end{pmatrix} = 0 </math>
ihre [[Parameterform#Darstellung|Richtungsvektoren]] orthogonal.

=== Synthetische Geometrie ===
{{Hauptartikel|Präeuklidische Ebene}}
In der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] kann eine ''Orthogonalität'' durch die [[axiom]]atische Beschreibung einer ''Orthogonalitätsrelation'' zwischen Geraden auf gewissen [[Affine Ebene|affinen Inzidenzebenen]] eingeführt werden.

== Orthogonalität in der linearen Algebra ==
=== Orthogonale und orthonormale Vektoren ===
In der linearen Algebra werden in einer Erweiterung des Begriffs [[euklidischer Raum]] auch mehrdimensionale Vektorräume über den reellen oder komplexen Zahlen einbezogen, für die ein [[Skalarprodukt]] definiert ist. Das Skalarprodukt zweier Vektoren <math>v</math> und <math>w</math> ist dabei eine Abbildung, die [[Skalarprodukt#Definition (Axiomatik)|gewisse Axiome]] erfüllen muss und typischerweise in der Form <math>\langle v, w\rangle</math> geschrieben wird. Allgemein gelten dann zwei [[Vektor]]en <math>v</math> und <math>w</math> aus einem solchen [[Prähilbertraum|Skalarproduktraum]] als ''orthogonal zueinander'', wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich null ist, das heißt, wenn

:<math>\langle v ,w \rangle = 0</math>

gilt. Beispielsweise sind im Raum <math>\R^2</math> die beiden Vektoren <math>v=(2,1)^T</math> und <math>w=(1,-2)^T</math> orthogonal bezüglich des [[Standardskalarprodukt]]s, da

:<math>\langle v ,w \rangle = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) = 2-2 = 0</math>

ist. Eine Menge von Vektoren nennt man dann orthogonal oder [[Orthogonalsystem]], wenn alle darin enthaltenen Vektoren paarweise orthogonal zueinander sind. Wenn zusätzlich alle darin enthaltenen Vektoren die [[Skalarproduktnorm|Norm]] eins besitzen, nennt man die Menge orthonormal oder ein [[Orthonormalsystem]]. Eine Menge von orthogonalen Vektoren, die alle vom Nullvektor verschieden sind, ist immer [[Lineare Unabhängigkeit|linear unabhängig]] und bildet deshalb eine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] der [[Lineare Hülle|linearen Hülle]] dieser Menge. Eine Basis eines Vektorraums aus orthonormalen Vektoren wird dementsprechend [[Orthonormalbasis]] genannt. Für je zwei Vektoren <math>v_i, v_j</math> einer Orthonormalbasis gilt dabei

:<math>\langle v_i, v_j\rangle = \delta_{ij}</math>,

wobei <math>\delta_{ij}</math> das [[Kronecker-Delta]] bezeichnet. Endlichdimensionale Skalarprodukträume und [[Hilbertraum|Hilberträume]] besitzen immer eine Orthonormalbasis. Bei endlichdimensionalen Vektorräumen und bei [[Separabler Raum|separablen]] Hilberträumen kann man eine solche mit Hilfe des [[Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren|Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren]] finden. Ein Beispiel für eine Orthonormalbasis ist die [[Standardbasis]] (oder kanonische Basis) <math>\{e_1, e_2, e_3\} = \{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\}</math> des dreidimensionalen Raumes <math>\R^3</math>.

=== Orthogonale Funktionen ===
Der Begriff Vektorraum kann dahingehend verallgemeinert werden, dass auch gewisse [[Funktionenraum|Funktionenräume]] als Vektorräume behandelt werden können, und Funktionen werden dann als Vektoren angesehen. Zwei Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> eines Skalarproduktraums heißen dann zueinander orthogonal, wenn

:<math>\langle f, g \rangle = 0</math>

gilt. Zum Beispiel ist das [[L²-Skalarprodukt|''L<sup>2</sup>''-Skalarprodukt]] für stetige reellwertige Funktionen auf einem Intervall <math>[a,b]</math> durch

:<math>\langle f,g \rangle = \int_a^b f(x)\, g(x) \, dx </math>

definiert. Bezüglich dieses Skalarprodukts sind beispielsweise auf dem Intervall <math>[-1,1]</math> die beiden Funktionen <math>f(x)=x</math> und <math>g(x)=x^2</math> zueinander orthogonal, denn es gilt

:<math>\langle f, g \rangle = \int_{-1}^{1} x \cdot x^2 \, dx = \int_{-1}^{1} x^3 \, dx = 0</math>.

In [[Vollständiger Raum|vollständigen]] Skalarprodukträumen, sogenannten [[Hilbertraum|Hilberträumen]], lassen sich so [[orthogonale Polynome]] und Orthogonalbasen bestimmen. Allerdings sind viele interessante Räume, wie etwa die [[Lp-Raum|''L<sup>2</sup>''-Räume]], unendlichdimensional, siehe dazu [[Hilbertraumbasis]]. In der [[Quantenmechanik]] bilden auch die [[Quantenmechanischer Zustand|Zustände]] eines Systems einen Vektorraum und entsprechend spricht man dort auch von orthogonalen Zuständen.

=== Orthogonale Matrizen ===
{{Hauptartikel|Orthogonale Matrix}}
Eine quadratische, reelle [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A \isin \mathbb{R}^{n \times n}</math> heißt orthogonale Matrix, wenn sie mit dem Skalarprodukt verträglich ist, das heißt wenn

:<math>\langle Av,Aw \rangle = \langle v,w \rangle</math>

für alle Vektoren <math>v, w \in \R^n</math> gilt. Eine Matrix <math>A</math> ist genau dann orthogonal, wenn ihre Spalten (oder ihre Zeilen), als Vektoren aufgefasst, zueinander orthonormal (nicht nur orthogonal) sind. Äquivalent dazu ist die Bedingung <math>A^{T} A = I</math> bzw. <math>A^{T}=A^{-1}</math>. Orthogonale Matrizen beschreiben [[Drehmatrix|Drehungen]] und [[Spiegelungsmatrix|Spiegelungen]] in der Ebene oder im Raum. Die Menge aller orthogonalen Matrizen der Größe <math>n \times n</math> bildet die [[orthogonale Gruppe]] <math>\mathrm O(n)</math>. Die Entsprechung bei Matrizen mit komplexen Einträgen heißt [[unitäre Matrix]].

=== Orthogonale Abbildungen ===
{{Hauptartikel|Orthogonale Abbildung}}
Sind <math>V</math> und <math>W</math> zwei reelle [[Skalarproduktraum|Skalarprodukträume]], dann heißt eine [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] <math>f \colon V \to W</math> orthogonal, wenn

:<math>\langle f(v), f(w) \rangle = \langle v, w \rangle</math>

für alle Vektoren <math>v, w \in V</math> gilt. Eine orthogonale Abbildung erhält damit das Skalarprodukt zweier Vektoren und bildet so orthogonale Vektoren auf orthogonale Vektoren ab. Eine Abbildung zwischen endlichdimensionalen Skalarprodukträumen ist genau dann orthogonal, wenn ihre [[Darstellungsmatrix|Matrixdarstellung]] bezüglich einer Orthonormalbasis eine orthogonale Matrix ist. Weiter ist eine orthogonale Abbildung eine [[Isometrie]] und erhält somit auch Längen und Abstände von Vektoren.

Orthogonale Abbildungen sind nicht zu verwechseln mit ''zueinander'' orthogonalen Abbildungen. Dabei handelt es sich um Abbildungen, die selbst als Vektoren aufgefasst werden und deren Skalarprodukt gleich null ist. Abbildungen zwischen komplexen Skalarprodukträumen, die das Skalarprodukt erhalten, werden als [[Unitäre Abbildung|unitäre Abbildungen]] bezeichnet.

=== Orthogonale Projektionen ===
{{Hauptartikel|Orthogonalprojektion}}

Ist <math>V</math> ein endlichdimensionaler reeller oder komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt, so gibt es zu jedem [[Untervektorraum]] <math>U</math> die Projektion entlang des orthogonalen Komplements von <math>U</math>, welche Orthogonalprojektion auf <math>U</math> genannt wird. Sie ist die eindeutig bestimmte lineare Abbildung <math>P\colon V\to V</math> mit der Eigenschaft, dass für alle <math>v\in V</math>
* <math>P(v)\in U</math> und
* <math>\langle P(v), u \rangle = \langle v, u \rangle</math>   für alle   <math>u \in U</math>
gilt. Ist <math>V</math> ein unendlichdimensionaler [[Hilbertraum]], so gilt diese Aussage mit dem [[Projektionssatz]] entsprechend auch für [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] Untervektorräume <math>U</math>. In diesem Fall kann <math>P</math> stetig gewählt werden.

== Orthogonalität in normierten Räumen ==
In einem [[Prähilbertraum|Skalarproduktraum]] ist <math>\langle v,w \rangle = 0</math> äquivalent zu <math>\|v\|\le\|v+\lambda w\|</math> für alle [[Skalar (Mathematik)|Skalare]] <math>\lambda</math>. Das motiviert folgende Definition<ref>Joseph Diestel: ''Geometry of Banach Spaces – Selected Topics'', Lecture Notes in Mathematics 485, Springer-Verlag (1975), ISBN 3-540-07402-3, Definition auf Seite 24</ref>:
: Für <math>v,w</math> aus einem normierten Raum <math>(V,\|\cdot \|)</math> sei <math>v\perp w :\Leftrightarrow \|v\|\le\|v+\lambda w\|</math> für alle <math>\lambda</math>

Dieser Orthogonalitätsbegriff in normierten Räumen ist wesentlich schwächer als in Skalarprodukträumen. Im Allgemeinen ist Orthogonalität weder symmetrisch noch additiv, das heißt aus <math> v\perp w</math> folgt im Allgemeinen nicht <math>w\perp v</math> und aus <math> v\perp w_1</math> und <math> v\perp w_2</math> folgt im Allgemeinen nicht <math>v\perp (w_1+w_2)</math>.

Dieser Umstand führt zu weiteren Begriffsbildungen, denn man wird sich für solche normierten Räume interessieren, in denen die Orthogonalität additiv ist. Es stellt sich heraus, dass das genau die [[Glatter Raum|glatten normierten Räume]] sind.

== Orthogonale Koordinatensysteme ==
Bei orthogonalen [[Koordinatensystem]]en schneiden sich an jedem Punkt die [[Koordinatenlinie]]n senkrecht, d. h. die Tangentenvektoren an diese Kurven stehen paarweise aufeinander senkrecht. Neben den kartesischen Koordinaten gibt es auch orthogonale [[krummlinige Koordinaten]]. Die wichtigsten Beispiele hierfür sind die [[Polarkoordinaten]] in der Ebene sowie die [[Polarkoordinaten#Räumliche Polarkoordinaten: Zylinder-, Kegel- und Kugelkoordinaten|Zylinder-]] und [[Kugelkoordinaten]] im dreidimensionalen Raum.
Im Gegensatz zu den kartesischen Koordinaten gibt es bei den krummlinigen Koordinaten keine globale [[Basis (Vektorraum)|Basis]] für den gesamten Raum, sondern lokale Basisvektoren an jedem einzelnen Punkt. Diese können als Tangentenvektoren zu den Koordinatenlinien berechnet werden: [[Polarkoordinaten#Lokale Basisvektoren und Orthogonalität|siehe Beispiel für Polarkoordinaten]].

== Anwendungen ==
Orthogonalität wird in vielen Anwendungen genutzt, weil dadurch Berechnungen einfacher oder robuster durchgeführt werden können. Beispiele sind:

* die [[Fourier-Transformation]] und die [[Wavelet-Transformation]] in der [[Signalverarbeitung]]
* [[QR-Zerlegung]]en von Matrizen zur Lösung von [[Eigenwertproblem]]en
* die [[Gauß-Quadratur]] zur numerischen Berechnung von [[Integralrechnung|Integralen]]
* [[Orthogonales Feld|orthogonale Felder]] in der [[Statistische Versuchsplanung|statistischen Versuchsplanung]]
* orthogonale Codes, etwa der [[Walsh-Code]], in der [[Kanalkodierung]]
* das [[Orthogonal- und Einbindeverfahren|Orthogonalverfahren]] zur Vermessung in der [[Geodäsie]]

== Siehe auch ==
* [[Parallelität (Geometrie)]]
* [[Orthogonalitätsrelationen]] in der Gruppentheorie

== Literatur ==
* ''Elemente der Mathematik. Lineare Algebra/Analytische Geometrie Leistungskurs.'' Schroedel Verlag GmbH, 2004, S. 64.
* {{Literatur|Autor=W. Werner|Titel=Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik|Band=1|Verlag=Springer Vieweg|ISBN=978-3-658-25271-7}}

== Weblinks ==
{{Wiktionary|orthogonal}}
* {{TIBAV |10213 |Linktext=Skalarprodukt Teil 2, Orthogonalität |Herausgeber=Loviscach |Jahr=2011 |DOI=10.5446/10213}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Orthogonalitat}}

[[Kategorie:Euklidische Geometrie]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Orthogonalität - Versionsgeschichte

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