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[[Datei:Orthogonal Decomposition qtl1.svg|miniatur|Der dreidimensionale euklidische Raum lässt sich als orthogonale Summe <math>V = U \oplus U^\perp</math> einer Ursprungsebene und einer dazu orthogonalen Ursprungsgeraden darstellen. Jeder Vektor des Raums ist dann die Summe <math>v = u + u^\perp</math> eines Teils in der Ebene und eines Teils auf der Geraden.]]
Die '''orthogonale Summe''' ist im [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] eine Konstruktion, die aus einer [[Familie (Mathematik)|Familie]] von [[Skalarproduktraum|Skalarprodukträumen]] (oder allgemeineren Räumen) einen einzigen Skalarproduktraum, die orthogonale Summe der Familie, bildet, in den sich die Skalarprodukträume als paarweise [[orthogonal]]e Unterräume einbetten lassen. Die orthogonale Summe ist gewissermaßen die minimal mögliche solcher Konstruktionen. Das auf diesem Raum definierte [[Skalarprodukt]] nennt man auch orthogonale Summe oder direkte Summe der einzelnen Skalarprodukte auf den einzelnen Räumen. In der [[Funktionalanalysis]] überträgt man diese Konstruktion auf Hilberträume und spricht dann auch von der ('''direkten''') '''Hilbertsumme''' oder '''Hilbertraumsumme'''.

== Äußere orthogonale Summe ==
=== Endliche Summen ===
Zunächst betrachtet man zwei [[Skalarproduktraum|Skalarprodukträume]] <math>X</math> und <math>Y</math> über demselben [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> mit den Skalarprodukten <math>\langle\cdot,\cdot\rangle_X</math> bzw. <math>\langle\cdot,\cdot\rangle_Y</math>. Die '''äußere orthogonale Summe'''

:<math>X\oplus Y</math>

ist dann die äußere [[direkte Summe]] der beiden [[Vektorraum|Vektorräume]] <math>X</math> und <math>Y</math>, das heißt das [[Kartesisches Produkt|kartesische Produkt]] <math>X\times Y</math> der Mengen <math>X</math> und <math>Y</math> mit komponentenweiser Addition und [[Skalarmultiplikation]]. Dieser Raum wird nun mit dem [[Skalarprodukt]]

:<math>\langle \, (x_1, x_2), (y_1, y_2) \, \rangle_{X\oplus Y} = \langle x_1, y_1 \rangle_X + \langle x_2, y_2 \rangle_Y</math>

für <math>(x_1, x_2), (y_1, y_2) \in X\oplus Y</math> versehen, der orthogonalen Summe von <math>\langle\cdot,\cdot\rangle_X</math> und <math>\langle\cdot,\cdot\rangle_Y</math>. Mittels der Einbettungen

:<math>x\mapsto (x,0)</math>   und   <math>y\mapsto (0,y)</math>

lässt sich <math>X</math> mit dem [[Untervektorraum]] <math>X\times \{0\}</math> und <math>Y</math> mit <math>\{0\}\times Y</math> identifizieren, wobei <math>\{ 0 \}</math> der jeweilige [[Nullvektorraum]] ist. Ein Vektor <math>(x,y)\in X\oplus Y</math> wird dann einfach als Summe <math>x+y</math> geschrieben, insofern man o. B. d. A. davon ausgehen kann, dass die Räume [[disjunkt]] sind. Sind die Vektorräume <math>X</math> und <math>Y</math> über <math>\R</math> oder <math>\Complex</math> definiert und [[Vollständiger Raum|vollständig]], also [[Hilbertraum|Hilberträume]], dann ist der Raum <math>X\oplus Y</math> bezüglich des Skalarprodukts <math>\langle \cdot, \cdot \rangle_{X\oplus Y}</math> ebenfalls vollständig. Induktiv lassen sich so auch orthogonale Summen für endlich viele Summanden definieren.

Man schreibt die orthogonale Summe auch als <math>\oplus_2</math>, etwa wenn auch andere [[Lp-Summe|<math>\ell^p</math>-Summen]] <math>\oplus_p</math> auftreten.

=== Beliebige direkte Summen ===
Sei <math>(X_i)_{i\in I}</math> eine Familie von Skalarprodukträumen über demselben Körper <math>K</math> mit Skalarprodukten <math>\langle\cdot,\cdot\rangle_{X_i}</math> zu einer beliebigen Indexmenge <math>I</math>. Die [[direkte Summe]] der Vektorräume <math>X_i</math> ist der Vektorraum
:<math>\bigoplus_i X_i = \left\{S\colon I \to \bigcup_i X_i \mid \forall i: S_i\in X_i,\ \left\{i\in I \mid S(i)\neq 0\right\}\text{ endlich}\right\}</math>
versehen mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation. Auf diesem Raum von Familien von Vektoren definiert man das Skalarprodukt

:<math>\langle \, (x_i), (y_i) \,\rangle_{\bigoplus_i X_i}=\sum_{i \in I} \langle x_i,y_i \rangle_{X_i}</math>

mit <math>x_i, y_i \in X_i</math>, welches [[wohldefiniert]] ist, da gemäß Konstruktion der direkten Summe nur endlich viele der Summanden ungleich null sind. Man erhält so die (algebraische) orthogonale direkte Summe. Mittels der Einbettungen

:<math>\mu_j \colon X_j\to\bigoplus_i X_i, x_j \mapsto (x_i)_{i \in I}</math>   mit   <math>x_i = \begin{cases} x_j & \text{für} \,\, i=j \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}</math>,

die Skalarprodukte erhalten, lassen sich die einzelnen Räume wieder mit Untervektorräumen identifizieren und man schreibt einen Vektor <math>(x_i)_{i \in I}</math> dieses Raums ggf. einfach als Summe <math>\textstyle \sum_{i \in I} x_i</math>, wobei jedoch nur endlich viele Summanden von null verschieden sein dürfen. Die orthogonale Summe einer [[Leere Menge|leeren]] Familie ist der Nullvektorraum (versehen mit dem trivialen und einzig möglichen Skalarprodukt). Diese Konstruktion ist völlig analog für beliebige Familien von [[Modul (Mathematik)|Moduln]] über demselben nicht notwendigerweise [[kommutativ]]en [[Ring (Algebra)|Ring]] versehen mit beliebigen [[Sesquilinearform]]en als Sesquilinearform auf der direkten Summe definiert. Man definiert die direkte Summe auch für Sesquilinearformen, deren erstes und zweites Argument aus verschiedenen Moduln stammen, in diesem Fall kann man jedoch nicht mehr von Orthogonalität der eingebetteten Untermoduln sprechen.<ref>{{Literatur|Autor=[[Nicolas Bourbaki]]|Reihe=Éléments de mathématique|Titel=Algèbre|Kapitel=9|Seiten=13|ISBN=3-540-35338-0|Ort=Berlin|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|Jahr=2007}}</ref>

=== Beliebige Summen von Hilberträumen ===
Für eine solche unendliche direkte Summe gilt im Allgemeinen nicht mehr, dass die Summe von Hilberträumen wiederum ein Hilbertraum ist, die Vollständigkeit kann also verletzt werden. Daher definiert man für eine Familie <math>(H_i)_{i\in I}</math> von Hilberträumen über demselben Körper <math>K</math> (<math>\R</math> oder <math>\Complex</math>) mit Skalarprodukten <math>\langle\cdot,\cdot\rangle_{H_i}</math> die orthogonale Summe (bzw. eindeutig gesprochen die Hilbertraumsumme) als die [[Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] der obigen (zur Abgrenzung auch ''algebraisch'' genannten) orthogonalen direkten Summe. Dies ist gewissermaßen der kleinste Hilbertraum, der die algebraische orthogonale direkte Summe enthält. Man nennt diesen ebenfalls <math>\bigoplus_i H_i</math>. Konkret lässt sich dieser Raum wie folgt konstruieren:

:<math>\bigoplus_i H_i = \left\{S\colon I \to \bigcup_i H_i \mid \forall i: S_i\in H_i,\ \left(\|S_i\|_{H_i}\right)_i \in\ell^2(I) \right\} = \left\{S\colon I \to \bigcup_i H_i \mid \forall i: S(i)\in H_i,\ \sum_i \|S(i)\|_{H_i}^2 < \infty\right\}</math>,

wobei die Endlichkeit der Summe so zu lesen ist, dass insbesondere stets nur höchstens abzählbar viele Summanden ungleich null sind. Addition und Skalarmultiplikation sind wiederum komponentenweise erklärt. Das Skalarprodukt definiert man wiederum als

:<math>\langle \, (x_i), (y_i) \,\rangle_{\bigoplus_i H_i}=\sum_{i \in I} \langle x_i,y_i \rangle_{H_i}</math>,

wobei nun die Definition nur noch sicherstellt, dass nur abzählbar viele Summanden ungleich null sind. Die Summe ist also als [[Absolute Konvergenz|absolut konvergente]] [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] zu lesen. Die Einbettungen <math>\mu_i</math> liefern wie zuvor Identifikationen mit Unterhilberträumen und man schreibt einen Vektor <math>(x_i)_{i \in I}</math> in der orthogonalen Summe ggf. einfach als Summe <math>\textstyle \sum_{i \in I} x_i</math>, wobei nun nur noch gelten muss, dass die Normen der <math>x_i</math> quadratsummabel sind, es können also auch abzählbar unendlich viele von null verschiedene Summanden auftreten.

Die Konstruktion als Vervollständigung zeigt, dass die (algebraische) direkte Summe ein [[Dichte Teilmenge|dichter]] Teilvektorraum der orthogonalen (Hilbertraum-)Summe ist, welche wiederum ein Teilvektorraum des [[Direktes Produkt|direkten Produktes]] ist. Im Falle einer unendlichen Familie von Räumen ohne Nullvektorräume sind diese Inklusionen echt.<ref>{{Literatur|Autor=[[Nicolas Bourbaki]]|Reihe=Elements of Mathematics|Titel=V. Topological Vector Spaces|Kapitel=V|Seiten=17|ISBN=3-540-42338-9|Ort=Berlin|Verlag=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|Jahr=2003|Übersetzer=H. G. Eggleston und S. Madan|Originaltitel=Éspaces vectoriels topologiques|Originalort=Paris|Originaljahr=1981}}</ref>

Falls Verwechslungen mit der (algebraischen) direkten Summe von Vektorräumen möglich sind, schreibt man die orthogonale Summe auch als <math>\textstyle\overline{\bigoplus_i H_i}</math>. Als Spezialfall einer <math>\ell^p</math>-Summe schreibt man sie als <math>\textstyle\left(\bigoplus_i H_i\right)_2</math>.

== Innere orthogonale Summe ==
Analog zur inneren direkten Summe von Vektorräumen spricht man im Spezialfall der orthogonalen Summe von paarweise orthogonalen Unterhilberträumen eines gegebenen Hilbertraums von einer '''inneren orthogonalen Summe'''. Während man bei der inneren orthogonalen Summe die Bedingung der paarweisen Orthogonalität stellt, kann eine äußere orthogonale Summe auch etwa von vielen gleichen Räumen gebildet werden, die dann „kopiert“ werden. Betrachtet man einen Skalarproduktraum, so ist die innere orthogonale Summe von Unterräumen nichts anderes als ihre innere direkte Vektorraumsumme, d. h. ihre [[lineare Hülle]].

Die innere orthogonale (Hilbertraum-)Summe in einem Hilbertraum dagegen ist der [[Abgeschlossene Hülle|Abschluss]] der linearen Hülle der Summanden. Sie kann leicht durch [[Orthogonalprojektion]]en charakterisiert werden: Seien <math>(H_i)_{i\in I}</math> paarweise orthogonale Unterhilberträume eines Hilbertraums <math>H</math>, d. h. für <math>i\neq j</math> und <math>x\in H_i, y\in H_j</math> ist <math>x\perp y</math>. Dann existieren die Orthogonalprojektionen <math>\pi_i\colon H\to H_i</math> auf die Unterhilberträume und deren Summe
:<math>\pi\colon H\to H, x\mapsto \sum_i \pi_i(x)</math>.
ist wiederum eine Orthogonalprojektion. Das Bild von <math>\pi</math> ist gerade die (innere) orthogonale Summe der Räume <math>H_i</math>.

== Beispiele ==
* Der Raum <math>\ell^2(I)</math> ist gerade der Spezialfall der orthonormalen Summe des eindimensionalen Hilbertraums <math>K</math>:
::<math>\ell^2(I)=\bigoplus_{i\in I} K</math>
* Für einen Unterhilbertraum <math>U\subseteq H</math> ist <math>H</math> gerade die innere orthogonale Summe von <math>U</math> und seinem [[Orthogonales Komplement|orthogonalen Komplement]] <math>U^\perp</math>:
::<math>H=U\oplus U^\perp</math>
* Der in der [[Quantenfeldtheorie]] wichtige antisymmetrische [[Fockraum]] ergibt sich als Vervollständigung der [[Äußere Algebra|äußeren Algebra]] auf einem Hilbertraum <math>H</math>, bzw. als orthogonale Summe der äußeren Potenzen <math>\Lambda^i(H)</math>:
::<math>F_-(H)=\bigoplus_{i\in\N} \Lambda^i(H)</math>
* Entsprechend ergibt sich der symmetrische Fockraum als Vervollständigung der [[Symmetrische Algebra|symmetrischen Algebra]], eines anderen Quotienten der [[Tensoralgebra]], bzw. als orthogonale Summe der Räume <math>S^i(H)</math> der [[Symmetrischer Tensor|symmetrischen]] [[Tensor]]en der Stufe <math>i</math> über <math>H</math>:
::<math>F_+(H)=\bigoplus_{i\in\N} S^i(H)</math>

== Basen und Dimension ==
Seien <math>B_i\subset H_i</math> [[Orthonormalbasis|Orthonormalbasen]] von <math>H_i</math>. Dann ist <math>\textstyle \bigcup_i \mu_i(B_i)</math> eine Orthonormalbasis von <math>\textstyle \bigoplus_i H_i</math>. Diese Vereinigung ist disjunkt, da die eingebetteten Unterhilberträume paarweise orthogonal sind und ein Basiselement nie null ist. Somit ist die [[Hilbertraumdimension]] der orthogonalen Summe gleich der [[Kardinalzahlarithmetik|Summe]] der Dimensionen der einzelnen Hilberträume:
:<math>\dim \bigoplus_i H_i = \left|\bigcup_i \mu_i(B_i)\right| = \sum_i \left|B_i\right| = \sum_i \dim H_i</math>.

Insbesondere gilt <math>\R^n\oplus\R^m\cong \R^{n+m}</math> oder allgemeiner <math>\ell^2(\alpha)\oplus\ell^2(\beta)\cong\ell^2(\alpha+\beta)</math> für [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahlen]] <math>\alpha, \beta</math>.

== Kategorielle Eigenschaften ==
Im algebraischen Fall der orthogonalen Summe von Skalarprodukträumen bzw. Sesquilinearformen auf Moduln ist die orthogonale Summe der Räume ja nichts anderes als die direkte Summe, die einzelnen Skalarprodukte haben keinerlei Einfluss auf die Struktur dieses Raumes. Diese ist [[Koprodukt]] in der entsprechenden Kategorie von Moduln mit linearen Abbildungen. Die endliche direkte Summe ist zusätzlich ein (direktes) [[Produkt (Kategorientheorie)|Produkt]], während sie sich im unendlichen Fall im Allgemeinen von diesem unterscheidet.

Die orthogonale Summe endlich vieler Hilberträume ist analog dazu ein [[Biprodukt]] in der [[Kategorie (Mathematik)|Kategorie]] der Hilberträume mit [[stetig]]en [[Linearer Operator|linearen Operatoren]] als [[Morphismus|Morphismen]], d. h. sie ist sowohl (direktes) Produkt als auch Koprodukt (direkte Summe). Zudem ist dieses Biprodukt in dem Sinne kompatibel mit der [[Dagger-Kategorie|<math>\dagger</math>-Struktur]], die durch die [[Adjungierter Operator|Adjungierung]] gegeben ist, dass
:<math>\mu_i^\dagger = \pi_i</math> und
:<math>\pi_i^\dagger = \mu_i</math>.
Da zudem für die [[Nullmorphismus|Nullmorphismen]] (d. h. konkret die [[Nullfunktion]]en) <math>(0\colon X\to Y)^\dagger = (0\colon Y\to X)</math> für beliebige Hilberträume <math>X,Y</math> gilt, spricht man von einer ''Biprodukt-<math>\dagger</math>-Kategorie''.<ref>John Harding, ''[http://ncatlab.org/nlab/files/matrixcalculus.pdf Orthomodularity in dagger biproduct categories] (PDF; 301 kB)'', 2008, S. 5</ref>

Dagegen ist die orthogonale Summe einer unendlichen Familie von Nicht-Nullräumen in dieser Kategorie weder Produkt noch Koprodukt: Um einzusehen, dass es sich um kein Produkt handelt, betrachte für Einheitsvektoren <math>v_i\in H_i</math> die Morphismen <math>f_i\colon K\to H_i, \lambda \mapsto \lambda v_i</math>. Wäre <math>\textstyle \bigoplus_i H_i</math> mit den Projektionen <math>\pi_i</math> ein Produkt, so müsste es eine stetige lineare Abbildung <math>\textstyle f\colon K\to \bigoplus_i H_i</math> geben mit <math>f_i=\pi_i f</math>, d. h. <math>f(1)</math> hätte in jeder Komponente den Betrag <math>1</math>, womit keine Quadratsummabilität mehr vorläge. Dual dazu betrachte für die Verletzung der Koprodukteigenschaft betrachte o. B. d. A. <math>I=\N\setminus \{0\}</math> (für überabzählbares <math>I</math> wähle überzählige <math>g_i</math> als null) und die Morphismen <math>g_i\colon H_i\to K, u \mapsto i\cdot \langle u,v \rangle_{H_i}</math>. Nun müsste ein Morphismus <math>\textstyle g\colon \bigoplus_i H_i \to K</math> existieren mit <math>g_i=g\mu_i</math>. Ein solches <math>g</math> könnte jedoch allenfalls [[Dicht definierter Operator|unbeschränkt und lediglich dicht definiert]] sein, denn für

:<math>u=\sum_i \frac{1}{i}v_i\in \bigoplus_i H_i</math>

müsste

:<math>g(u)=\sum_i i\cdot \langle \frac{1}{i}v_i, v_i \rangle = \sum_i 1</math>

sein, was jedoch [[Folgenkonvergenz|divergiert]]. Tatsächlich existieren in dieser Kategorie weder beliebige ([[Klein (Kategorientheorie)|kleine]]) Produkte, noch Koprodukte.<ref>Chris Heunen, ''[http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/22/13/22-13.pdf An Embedding Theorem for Hilbert Categories] (PDF; 275 kB)'', in ''Theory and Applications of Categories'', 2009, S. 339</ref> Die Beispiele zeigen auch, dass viele denkbare Einschränkungen der Morphismen keine Abhilfe verschaffen – die Beispielmorphismen sind von Rang eins und damit sehr gutartig. Die Wahl linearer [[Kontraktion (Mathematik)|Kontraktionen]] (die im Falle der [[Banachraum|Banachräume]] zur [[Vollständige Kategorie|Vollständigkeit]] der Kategorie führt und im Falle der Hilberträume [[Unitärer Operator|unitäre Operatoren]] als die [[Isomorphismus|Isomorphismen]] fixiert) ist auch nicht möglich, in diesem Fall wäre die orthogonale Summe nicht einmal mehr endliches Produkt oder Koprodukt. Ein Ausweichen auf dicht definierte Operatoren ist nicht möglich, da diese nicht unter Komposition abgeschlossen sind und damit keine Kategorie bilden.

== Siehe auch ==
* Die orthogonale Summe ist der Spezialfall der [[Direkte Summe (Banachraum)|ℓ<sup>p</sup>-Summe]] von Banachräumen für <math>p=2</math>.
* Ebenso ist die orthogonale Summe Spezialfall des [[Direktes Integral|direkten Integrals]] von Hilberträumen mit dem [[Zählmaß (Maßtheorie)|Zählmaß]].
* Das [[Hilbertraum-Tensorprodukt]] ist eine weitere wichtige Konstruktion auf Hilberträumen.

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

[[fr:Somme directe#Somme directe orthogonale]]

Orthogonale Summe - Versionsgeschichte

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