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2025-12-26T07:43:21Z

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{{Doppeltes Bild|rechts|Orthogonal transformation qtl1.svg|200|Orthogonal transformation qtl2.svg|200|Durch Multiplikation mit einer orthogonalen Matrix ''Q'' können Vektoren gedreht (links) oder gespiegelt (rechts) werden. Die Länge der Vektoren und der Winkel zwischen den Vektoren bleiben dabei erhalten.}}
Eine '''orthogonale Matrix''' ist in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] eine quadratische, reelle [[Matrix (Mathematik)|Matrix]], deren Zeilen- und Spaltenvektoren [[Orthonormalität|orthonormal]] bezüglich des [[Standardskalarprodukt]]s sind. Damit ist die [[Inverse Matrix|Inverse]] einer orthogonalen Matrix gleichzeitig ihre [[Transponierte Matrix|Transponierte]].

Orthogonale Matrizen stellen [[Kongruenzabbildung]]en im [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]], also [[Drehung]]en, [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelungen]] und Kombinationen daraus, dar. Jede [[orthogonale Abbildung]] zwischen zwei endlichdimensionalen [[Skalarproduktraum|Skalarprodukträumen]] kann nach Wahl je einer [[Orthonormalbasis]] durch eine orthogonale Matrix dargestellt werden. Die Menge der orthogonalen Matrizen fester Größe bildet mit der [[Matrizenmultiplikation]] als Verknüpfung die [[orthogonale Gruppe]].

Orthogonale Matrizen werden beispielsweise bei der [[Numerische Mathematik|numerischen]] Lösung [[Lineares Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]] oder [[Eigenwertproblem]]e eingesetzt. Der analoge Begriff bei komplexen Matrizen ist die [[unitäre Matrix]].

Besitzt eine orthogonale Matrix zusätzlich einen Determinantenwert von <math>1</math>, so nennt man sie '''spezielle orthogonale Matrix'''.
== Definition ==

Eine reelle [[quadratische Matrix]] <math>Q \in \R^{n \times n}</math> heißt orthogonal, wenn das [[Matrizenmultiplikation|Produkt]] mit ihrer [[Transponierte Matrix|transponierten Matrix]] <math>Q^\mathsf{T}</math> die [[Einheitsmatrix]] <math>I</math> ergibt, also

: <math>Q^\mathsf{T} \cdot Q = I</math>

gilt. Werden die [[Spaltenvektor]]en der Matrix <math>Q</math> mit <math>q_1, \ldots , q_n</math> bezeichnet, dann ist diese Bedingung gleichbedeutend damit, dass das [[Standardskalarprodukt]] zweier Spaltenvektoren

: <math>q_i^\mathsf{T} \cdot q_j = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{falls}~i=j \\ 0 & \text{sonst} \end{cases}</math>

ergibt, wobei <math>\delta_{ij}</math> das [[Kronecker-Delta]] ist. Die Spaltenvektoren einer orthogonalen Matrix bilden damit eine [[Orthonormalbasis]] des [[Koordinatenraum]]s <math>\R^n</math>. Dies trifft auch für die Zeilenvektoren einer orthogonalen Matrix zu, denn mit <math>Q</math> ist auch <math>Q^\mathsf{T}</math> orthogonal, das heißt

: <math>Q \cdot Q^\mathsf{T} = I</math>.

Auch wenn die Bezeichnung „orthogonale Matrix“ so verstanden werden könnte, reicht es nicht aus, wenn die Zeilen- oder Spaltenvektoren lediglich paarweise [[Orthogonalität|orthogonal]] sind; sie müssen zusätzlich [[Einheitsvektor|normiert]] sein, also die [[Euklidische Norm|Länge]] eins aufweisen.

== Beispiele ==
=== Konkrete Beispiele ===

* Die Matrix

::<math>Q = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}</math>

: ist orthogonal, denn es gilt

::<math>Q^\mathsf{T} \, Q = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I</math>.

* Auch die Matrix

::<math>Q = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}</math>

: ist orthogonal, denn es gilt

::<math>Q^\mathsf{T} \, Q = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -4 & 3 \end{pmatrix} = \frac{1}{25} \begin{pmatrix} 9 + 16 & 12 - 12 \\ 12 - 12 & 16 + 9 \end{pmatrix} = \frac{1}{25} \begin{pmatrix} 25 & 0 \\ 0 & 25 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I</math>.

=== Allgemeine Beispiele ===

* [[Permutationsmatrix|Permutationsmatrizen]], also Matrizen, bei denen genau ein Eintrag pro Zeile und Spalte gleich eins ist und alle anderen Einträge null sind, sind orthogonal. Bezeichnet <math>P_\pi</math> die zu einer [[Permutation]] <math>\pi</math> zugehörige Permutationsmatrix, dann gilt

::<math>P^\mathsf{T}_\pi \, P_\pi = P_{\pi^{-1}} \, P_\pi = P_{\pi^{-1} \circ \pi} = P_{\mathrm{id}} = I</math>,

: denn die transponierte Permutationsmatrix ist gleich der Permutationsmatrix der [[Inverse Permutation|inversen Permutation]], die alle Vertauschungen rückgängig macht, und das Produkt von Permutationsmatrizen entspricht der [[Komposition (Mathematik)|Hintereinanderausführung]] der Permutationen. Die [[Vorzeichenbehaftete Permutationsmatrix|vorzeichenbehafteten Permutationsmatrizen]], bei denen in jeder Zeile und Spalte genau ein Eintrag plus oder minus eins ist und alle übrigen Einträge null sind, sind genau die [[Ganze Zahl|ganzzahligen]] orthogonalen Matrizen.
* [[Drehmatrix|Drehmatrizen]], also Matrizen, die eine [[Drehung]] um den [[Koordinatenursprung]] in der [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]] beschreiben, sind orthogonal. Bezeichnet

::<math>R_\alpha = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}</math>

: die Drehmatrix einer Drehung um einen Winkel <math>\alpha</math>, die den Ursprung festlässt, dann gilt mit dem „[[Trigonometrischer Pythagoras|trigonometrischen Pythagoras]]“

::<math>R^\mathsf{T}_\alpha \, R_\alpha = \begin{pmatrix} \cos^2\alpha + \sin^2\alpha & -\cos\alpha \sin\alpha + \sin\alpha \cos\alpha \\ -\sin\alpha \cos\alpha + \cos\alpha \sin\alpha & \sin^2\alpha + \cos^2\alpha \end{pmatrix} = I</math>.

: Allgemeiner sind auch Drehmatrizen, die eine Drehung in einer beliebigen [[Ursprungsebene]] im <math>n</math>-dimensionalen Raum beschreiben, orthogonal.

* [[Spiegelungsmatrix|Spiegelungsmatrizen]], also Matrizen, die eine (senkrechte) [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelung]] an einer [[Ursprungsgerade]] in der euklidischen Ebene beschreiben, sind orthogonal. Bezeichnet

::<math>S_n = I - 2 n n^\mathsf{T}</math>

: die Spiegelungsmatrix einer Spiegelung an einer Ursprungsgerade mit Einheits-[[Normalenvektor]] <math>n</math>, dann gilt

::<math>S^\mathsf{T}_n \, S_n = S_n \, S_n = (I - 2 n n^\mathsf{T}) \, (I - 2 n n^\mathsf{T}) = I - 4 n n^\mathsf{T} + 4 n (n^\mathsf{T} n) n^\mathsf{T} = I</math>,

: denn Spiegelungsmatrizen sind [[Symmetrische Matrix|symmetrisch]] und für einen [[Einheitsvektor]] gilt <math>n^\mathsf{T} n = 1</math>. Allgemeiner sind auch Matrizen, die Spiegelungen an einem beliebigen [[Untervektorraum]] im <math>n</math>-dimensionalen Raum (beispielsweise einer [[Hyperebene]]) beschreiben, orthogonal.

== Eigenschaften ==
=== Inverse ===

Eine orthogonale Matrix <math>Q \in \R^{n \times n}</math> ist aufgrund der [[Lineare Unabhängigkeit|linearen Unabhängigkeit]] ihrer Zeilen- und Spaltenvektoren stets [[Reguläre Matrix|regulär]]. Die [[Inverse Matrix|Inverse]] einer orthogonalen Matrix ist dabei gleich ihrer Transponierten, das heißt, es gilt

: <math>Q^\mathsf{T} = Q^{-1}</math>.

Die Inverse einer Matrix <math>Q</math> ist nämlich gerade diejenige Matrix <math>Q^{-1}</math>, für die

: <math>Q \, Q^{-1} = Q^{-1} \, Q = I</math>

gilt. Aus der zweiten Gleichung folgt weiterhin, dass die Transponierte einer orthogonalen Matrix orthogonal ist. Es gilt auch die Umkehrung und jede Matrix <math>Q</math>, deren Transponierte gleich ihrer Inversen ist, ist orthogonal, denn es gilt dann

: <math>Q^\mathsf{T} \, Q = Q^{-1} \, Q = I</math>.

=== Längen- und Winkeltreue ===

Wird ein Vektor <math>x \in \R^n</math> mit einer orthogonalen Matrix <math>Q \in \R^{n \times n}</math> multipliziert, ändert sich die Länge ([[euklidische Norm]]) des Vektors nicht, das heißt

: <math> \| Q \, x \|_2 = \| x \|_2</math>.

Weiter ist das Standardskalarprodukt zweier Vektoren <math>x,y \in \R^n</math> invariant bezüglich der Multiplikation mit einer orthogonalen Matrix <math>Q</math>, also

: <math>\left\langle Q \, x, Q \, y \right\rangle = \left\langle x,y \right\rangle</math>.

Damit bleibt auch der [[Standardskalarprodukt#Winkel|Winkel]] zwischen den beiden Vektoren erhalten. Beide Eigenschaften folgen direkt aus der [[Standardskalarprodukt#Verschiebungseigenschaft|Verschiebungseigenschaft]] des Standardskalarprodukts. Aufgrund dieser Längen- und Winkeltreue stellt die [[lineare Abbildung]]

: <math>f \colon \R^n \to \R^n, x \mapsto Q \, x</math>

eine [[Kongruenzabbildung]] im euklidischen Raum dar. Umgekehrt ist die [[Abbildungsmatrix]] bezüglich der [[Standardbasis]] jeder winkeltreuen linearen Abbildung im euklidischen Raum orthogonal. Aufgrund der [[Polarisationsformel]] ist auch jede längentreue Abbildung winkeltreu.

=== Determinante ===

Für den [[Betragsfunktion|Betrag]] der [[Determinante]] einer orthogonalen Matrix <math>Q \in \R^{n \times n}</math> gilt

: <math>| \det Q | = 1</math>,

was mit Hilfe des [[Determinantenproduktsatz]]es über

: <math>(\operatorname{det} Q)^2 = \det Q \cdot \det Q = \det Q^\mathsf{T} \cdot \det Q = \det (Q^\mathsf{T} Q) = \det I = 1</math>

folgt. Damit kann die Determinante einer orthogonalen Matrix nur die Werte eins oder minus eins annehmen. Es gibt allerdings auch nicht-orthogonale Matrizen, deren Determinante plus oder minus eins ist, zum Beispiel [[Spezielle lineare Gruppe|unimodulare Matrizen]]. Orthogonale Matrizen, deren Determinante eins ist, entsprechen Drehungen. Man spricht dann auch von einer eigentlich orthogonalen Matrix. Orthogonale Matrizen, deren Determinante minus eins ist, stellen [[Drehspiegelung]]en dar. Man spricht dann auch von einer uneigentlich orthogonalen Matrix.

=== Eigenwerte ===

Die [[Eigenwert]]e einer orthogonalen Matrix <math>Q \in \R^{n \times n}</math> sind nicht notwendigerweise alle reell. Sie haben jedoch den [[Betragsfunktion#Komplexe Betragsfunktion|komplexen Betrag]] eins, sind also von der Form

: <math>\lambda = e^{it}</math>

mit <math>t \in \R</math>. Ist nämlich <math>x</math> ein zu <math>\lambda</math> gehöriger Eigenvektor, dann gilt aufgrund der Längentreue und der absoluten Homogenität einer [[Norm (Mathematik)|Norm]]

: <math>\| x \|_2 = \| Q \, x \|_2 = \| \lambda \, x \|_2 = | \lambda | \, \| x \|_2</math>

und daher <math>| \lambda | = 1</math>. Eine orthogonale Matrix besitzt demnach höchstens die reellen Eigenwerte <math>\pm 1</math>. Die komplexen Eigenwerte treten immer paarweise [[Komplexe Konjugation|komplex konjugiert]] auf, das heißt mit <math>\lambda = e^{it}</math> ist auch <math>\bar\lambda = e^{-it}</math> ein Eigenwert, denn

: <math>Q \bar{x} = \overline{Q x} = \overline{\lambda x} = \bar{\lambda} \bar{x}</math>.

Demnach besitzt eine orthogonale Matrix ungerader Dimension <math>n</math> mindestens einen reellen Eigenwert (siehe auch den [[Satz vom Fußball]]).

=== Diagonalisierbarkeit ===

Eine orthogonale Matrix <math>Q \in \R^{n \times n}</math> ist [[Normale Matrix|normal]], das heißt, es gilt

: <math>Q \, Q^\mathsf{T} = Q^\mathsf{T} \, Q</math>,

und damit über den [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] unitär [[Diagonalisierbarkeit|diagonalisierbar]]. Nach dem [[Spektralsatz]] gibt es nämlich eine [[unitäre Matrix]] <math>U \in \Complex^{n \times n}</math>, sodass

: <math>U^{-1} \, Q \, U = D</math>

gilt, wobei <math>D \in \Complex^{n \times n}</math> eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von <math>Q</math> ist. Die Spaltenvektoren von <math>U</math> sind dann paarweise orthonormale Eigenvektoren von <math>Q</math>. Damit sind auch die [[Eigenraum|Eigenräume]] einer orthogonalen Matrix paarweise orthogonal.

Im Allgemeinen ist eine orthogonale Matrix <math>Q \in \R^{n \times n}</math> jedoch nicht reell diagonalisierbar. Es existiert allerdings eine orthogonale Matrix <math>V \in \R^{n \times n}</math>, sodass

: <math>V^{-1} \, Q \, V = \begin{pmatrix} D_1 & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & D_s \end{pmatrix}</math>

eine [[Blockdiagonalmatrix]] ergibt, bei der die einzelnen Blöcke entweder Drehmatrizen der Größe <math>2 \times 2</math> sind oder aus der Zahl <math>+1</math> oder <math>-1</math> bestehen. Diese Darstellung wird auch Normalform einer orthogonalen Matrix genannt.

=== Normen ===

Die [[Spektralnorm]] einer orthogonalen Matrix <math>Q \in \R^{n \times n}</math> ist

: <math>\| Q \|_2 = \max_{\| x \|_2 = 1} \| Q \, x \|_2 = \max_{\| x \|_2 = 1} \| x \|_2 = 1</math>.

Für die [[Frobeniusnorm]] gilt mit dem [[Frobenius-Skalarprodukt]] entsprechend

: <math>\| Q \|_F = \sqrt{ \langle Q, Q \rangle_F } = \sqrt{ \langle I, I \rangle_F } = \sqrt{n}</math>.

Das Produkt mit einer orthogonalen Matrix erhält sowohl die Spektralnorm, als auch die Frobeniusnorm einer gegebenen Matrix <math>A \in \R^{n \times n}</math>, denn es gilt

: <math>\| Q \, A \|_2 = \max_{\| x \|_2 = 1} \| Q \, A \, x \|_2 = \max_{\| x \|_2 = 1} \| A \, x \|_2 = \| A \|_2</math>

und

: <math>\| Q \, A \|_F = \sqrt{ \langle Q \, A, Q \, A \rangle_F } = \sqrt{ \langle A, A \rangle_F } = \| A \|_F</math>.

Damit bleibt auch die [[Kondition (Mathematik)|Kondition]] einer Matrix bezüglich dieser [[Matrixnorm|Normen]] nach Multiplikation mit einer orthogonalen Matrix erhalten.

== Orthogonale Matrizen als Gruppe ==
{{Hauptartikel|Orthogonale Gruppe}}

Die Menge der regulären Matrizen fester Größe bildet mit der Matrizenmultiplikation als [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], die [[allgemeine lineare Gruppe]] <math>\mathrm{GL}(n,\R)</math>. Als [[neutrales Element]] dient dabei die Einheitsmatrix <math>I</math>. Die orthogonalen Matrizen bilden eine [[Untergruppe]] der allgemeinen linearen Gruppe, die [[orthogonale Gruppe]] <math>\mathrm O(n)</math>. Das Produkt zweier orthogonaler Matrizen <math>P, Q \in \R^{n \times n}</math> ist nämlich wieder orthogonal, denn es gilt

: <math>(P \, Q)^\mathsf{T} \, (P \, Q) = Q^\mathsf{T} \, (P^\mathsf{T} \, P) \, Q = Q^\mathsf{T} \, Q = I</math>.

Weiter ist die Inverse einer orthogonalen Matrix <math>Q \in \R^{n \times n}</math> ebenfalls orthogonal, denn es gilt

: <math>(Q^{-1})^\mathsf{T} \, Q^{-1} = (Q^{-1})^\mathsf{T} \, Q^\mathsf{T} = (Q \, Q^{-1})^\mathsf{T} = I^\mathsf{T} = I</math>.

Die orthogonalen Matrizen mit Determinante eins, also die Drehmatrizen, bilden wiederum eine Untergruppe der orthogonalen Gruppe, die [[Drehgruppe]] (oder ''spezielle orthogonale Gruppe'') <math>\mathrm{SO}(n)</math>. Ein Elemente in dieser Gruppe nennt man '''spezielle orthogonale Matrix'''. Dabei handelt es sich um eine [[Lie-Gruppe]], d. h. die Gruppenoperationen sind verträglich mit dem Differenzieren in der Gruppe, und Elemente von <math>\mathrm{SO}(n)</math> lassen sich als Exponentiale von Matrizen aus der zugehörigen [[Lie-Algebra]] darstellen. Die orthogonalen Matrizen mit Determinante minus eins, also die Drehspiegelungen, bilden keine Untergruppe der orthogonalen Gruppe, sondern lediglich eine [[Nebenklasse (Mathematik)|Nebenklasse]], denn ihnen fehlt das neutrale Element.

== Anwendungen ==

=== Lineare Gleichungssysteme ===

Die Lösung [[Lineares Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]] der Form

: <math>Q \, x = b</math>

mit einer orthogonalen Matrix <math>Q \in \R^{n \times n}</math> und einer rechten Seite <math>b \in \R^n</math> lässt sich [[Numerische Mathematik|numerisch]] effizient durch

: <math>x = Q^\mathsf{T} \, b</math>

berechnen. Die Ermittlung der Lösung <math>x \in \R^n</math> erfordert also lediglich eine [[Matrix-Vektor-Multiplikation]], die mit einem Aufwand der [[Landau-Symbole|Ordnung]] <math>O(n^2)</math> durchgeführt werden kann. Im Vergleich dazu benötigt die Lösung allgemeiner linearer Gleichungssysteme beispielsweise mit Hilfe der [[Gauß-Elimination]] einen Aufwand <math>O(n^3)</math>. Dieser Vorteil wird beispielsweise bei der (reellen) [[Diskrete Fourier-Transformation|diskreten Fourier-Transformation]] und der [[Diskrete Kosinustransformation|diskreten Kosinus-Transformation]] genutzt.

=== Matrixzerlegungen ===

Eine weitere Anwendung orthogonaler Matrizen ist die [[QR-Zerlegung]] einer gegebenen Matrix <math>A \in \R^{m \times n}</math> als Produkt

: <math>A = Q \, R</math>

einer orthogonalen Matrix <math>Q \in \R^{m \times m}</math> und einer oberen [[Dreiecksmatrix]] <math>R \in \R^{m \times n}</math>. Die Konstruktion der Matrix <math>Q</math> kann dabei mit [[Givens-Rotation]]en, die Drehungen entsprechen, oder [[Householdertransformation]]en, die Spiegelungen entsprechen, durchgeführt werden. QR-Zerlegungen werden in der Numerik bei der Lösung schlecht konditionierter, überbestimmter oder unterbestimmter linearer Gleichungssysteme eingesetzt. Ein weiteres Anwendungsfeld besteht in der Berechnung von Eigenwertproblemen mit dem [[QR-Algorithmus]].

Mit Hilfe der [[Singulärwertzerlegung]] lässt sich jede reelle Matrix <math>A \in \R^{m \times n}</math> auch als Produkt

: <math>A = U \, \Sigma \, V^\mathsf{T}</math>

einer orthogonalen Matrix <math>U \in \R^{m \times m}</math>, einer [[Diagonalmatrix]] <math>\Sigma \in \R^{m \times n}</math> und der Transponierten einer weiteren orthogonalen Matrix <math>V \in \R^{n \times n}</math> darstellen. Die Diagonaleinträge der Matrix <math>\Sigma</math> sind dann die Singulärwerte von <math>A</math>. Die Singulärwertzerlegung wird beispielsweise in der [[Geometrie]] bei der [[Hauptachsentransformation]] von [[Quadrik]]en und in der [[Statistik]] bei der [[Hauptkomponentenanalyse]] multivariater Datensätze eingesetzt.

Eine quadratische Matrix <math>A \in \R^{n \times n}</math> kann mittels der [[Polarzerlegung]] auch als Produkt

: <math>A = Q \, P</math>

einer orthogonalen Matrix <math>Q \in \R^{n \times n}</math> und einer [[positiv semidefinit]]en symmetrischen Matrix <math>P \in \R^{n \times n}</math> faktorisiert werden.

=== Orthogonale Abbildungen ===

Ist <math>(V, \langle \cdot, \cdot \rangle)</math> ein <math>n</math>-dimensionaler reeller [[Skalarproduktraum]], dann lässt sich jede [[lineare Abbildung]] <math>f \colon V \to V</math> nach Wahl einer Orthonormalbasis <math>\{ e_1, \ldots , e_n \}</math> für <math>V</math> durch die [[Abbildungsmatrix]]

: <math>A_f = ( a_{ij} ) \in \R^{n \times n}</math>

darstellen, wobei <math>f(e_j) = a_{1j}e_1 + \dotsb + a_{nj}e_n</math> für <math>j=1, \dotsc , n</math> ist. Die Abbildungsmatrix <math>A_f</math> ist nun genau dann orthogonal, wenn <math>f</math> eine [[orthogonale Abbildung]] ist. Dies folgt aus

: <math>\langle f(v), f(w) \rangle = (A_fx)^\mathsf{T}(A_fy) = x^\mathsf{T}A_f^\mathsf{T}A_fy = x^\mathsf{T} y = \langle v, w \rangle</math>,

wobei <math>v=x_1 e_1+ \dotsb + x_n e_n</math> und <math>w=y_1 e_1 + \dotsb + y_n e_n</math> sind.

== Siehe auch ==
* [[Euklidische Transformation]]
* [[Orthogonalisierungsverfahren]]
* [[Orthogonaler Tensor]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]
|Titel=Lineare Algebra. (Eine Einführung für Studienanfänger)
|Auflage=14., durchgesehene
|Verlag=Vieweg
|Datum=2003
|ISBN=3-528-03217-0}}
* {{Literatur
|Autor=Jörg Liesen, [[Volker Mehrmann]]
|Titel=Lineare Algebra
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin, Heidelberg
|Auflage=3
|Datum=2021
|ISBN=978-3-662-62741-9
|DOI=10.1007/978-3-662-62742-6}}
* {{Literatur
|Autor=Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler
|Titel=Numerische Mathematik
|Verlag=Springer
|Datum=2009
|ISBN=978-3-8348-0683-3}}
* {{Literatur
|Hrsg=[[Eberhard Zeidler (Mathematiker)|Eberhard Zeidler]], [[Wolfgang Hackbusch]]
|Titel=Taschenbuch der Mathematik
|Band=1
|Verlag=Springer
|Datum=2012
|ISBN=978-3-8351-0123-4}}
* {{EoM|Autor=D. A. Suprunenko|Titel=Orthogonal matrix|Url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Orthogonal_matrix}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld |author=Todd Rowland |id=OrthogonalMatrix |title=Orthogonal Matrix}}
* {{PlanetMath|author=akrowne |id=orthogonalmatrices |title=Orthogonal matrices}}

[[Kategorie:Matrix]]

Orthogonale Matrix - Versionsgeschichte

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