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2025-01-28T19:50:04Z

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Die '''Orthodrome''' (von {{grcS|ὀρθοδρόμος|orthodrómos|de=gradaus laufend}})<ref>{{Literatur |Autor=[[Wilhelm Pape]], Max Sengebusch (Bearb.) |Titel=Handwörterbuch der griechischen Sprache |Auflage=3. Auflage, 6. Abdruck |Verlag=Vieweg & Sohn |Ort=Braunschweig |Datum=1914 |Online=http://www.zeno.org/nid/2000866918X |Abruf=2024-08-03 }}</ref> ist die kürzeste Verbindung zweier [[Punkt (Geometrie)|Punkte]] auf einer [[Kugel|Kugel<u>oberfläche</u>]] (d. h. ''nicht die gerade Strecke'' durch die Kugel hindurch).

Die Orthodrome ist eine [[Geodäte]] für den speziellen Fall einer Kugeloberfläche. Die Orthodrome ist immer ein Teilstück eines [[Großkreis]]es. In der [[Luftfahrt]] fliegt man meist entlang dieser Orthodrome, um die geringste Flugstrecke zurücklegen zu können. Die umgangssprachlich häufiger gebrauchte synonyme Bezeichnung ist daher [[Luftlinie]].

[[Datei:Orthodromic air route.tif|mini|hochkant=0.7|Orthodrome auf der Erdkugel zwischen Los Angeles und London]]
<div class="tright" style="clear:none;">[[Datei:Orthodrome globe.svg|mini|ohne|hochkant=0.7|Der kürzeste Weg auf der Kugeloberfläche zwischen Punkt A und B ist eine Orthodrome.]]</div>

== Definitionsbeschränkung ==
Die Orthodrome ist nicht definiert, wenn die gegebenen Punkte übereinstimmen oder auf der Kugeloberfläche gegenüberliegen (auf der Erdoberfläche also für antipode Punkte).

== Berechnung ==
Grundlage für die folgenden Berechnungen sind die Formeln aus der [[Sphärische Trigonometrie|sphärischen Trigonometrie]].

{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe8"
!Verwendete Variablen
!Bedeutung
|-
|<math>\, \phi</math> || [[Geographische Breite]]
|-
|<math>\, \lambda</math> || [[Geographische Länge]]
|-
|<math>\, A (\phi_A, \lambda_A)</math> || Anfangspunkt
|-
|<math>\, B (\phi_B, \lambda_B)</math> || Endpunkt
|-
|<math>\, N</math> || Nordpol
|-
|<math>\, \zeta</math> || [[Kreiswinkel|Zentriwinkel]] (Strecke AB, ausgedrückt als Winkel)
|-
|<math>\, \alpha</math> || Innenwinkel von Dreieck ABN bei A
|-
|<math>\, \beta</math> || Innenwinkel von Dreieck ABN bei B
|-
|<math>\, \omega_A</math> || [[Kurswinkel]] bei A
|-
|<math>\, \omega_B</math> || Kurswinkel bei B
|-
|<math>\, P_N(\phi_N, \lambda_N)</math><br/><math>\, P_S(\phi_S, \lambda_S)</math>
| Nördlichster oder südlichster Punkt der Orthodrome
|}
Dabei ist <math>\, \lambda</math> in Richtung Westen negativ, Richtung Osten positiv; <math>\, \phi</math> ist positiv für Breiten der Nordhemisphäre und negativ auf der Südhalbkugel.

=== Strecke ===

Als Maß für die Entfernung zweier Punkte dient in der [[Sphärische Geometrie|sphärischen Geometrie]] der zugehörige Mittelpunktswinkel (mit dem Kugelmittelpunkt als Scheitel). Dieser Winkel, hier mit <math>\zeta</math> bezeichnet,
lässt sich berechnen durch<ref>{{Literatur |Autor=Ilʹja N. Bronštejn |Titel=Taschenbuch der Mathematik |Auflage=11., aktualisierte |Ort=Haan-Gruiten |Datum=2020 |ISBN=978-3-8085-5792-1 |Seiten=172 |Kommentar=Abweichende Bezeichnungen}}</ref>

: <math>\cos \zeta = \sin(\phi_A) \cdot \sin(\phi_B) + \cos(\phi_A) \cdot \cos(\phi_B) \cdot \cos(\lambda_B - \lambda_A).</math>

Sind die gegebenen Punkte gleich, so erhält man durch diese Formel <math>\zeta = 0^\circ</math>. Liegen die beiden Punkte auf der Kugeloberfläche gegenüber, so ergibt sich <math>\zeta = 180^\circ</math>. In diesen Fällen sind Kurswinkel und die Lage der Orthodrome nicht definiert.

Um die ''Distanz'' zwischen den zwei Punkten zu berechnen, muss <math>\zeta</math> noch mit dem mittleren [[Erdradius]] (rund 6.371 km) multipliziert werden (für <math>\zeta</math> im [[Bogenmaß]]; falls <math>\zeta</math> in Grad angegeben ist, muss noch zusätzlich mit <math>\pi / 180</math>° multipliziert werden).

Der Winkel <math>\zeta</math> kann über das [[Skalarprodukt]] der [[Ortsvektor]]en von <math>A</math> und <math>B</math> berechnet werden. Die obige Formel ergibt sich dann durch Umformungen mit Hilfe geometrischer Additionstheoreme für Sinus und Kosinus. Alternativ kann die Formel hergeleitet werden, indem der [[Sphärische Trigonometrie#Seiten-Kosinussatz|Seiten-Kosinussatz]] der sphärischen Trigonometrie auf das aus den Punkten <math>A</math> und <math>B</math> und dem Nordpol gebildete Dreieck angewendet wird.

=== Kurswinkel und rechtweisende Kurse ===

Der [[Kurswinkel]] (das Azimut) gibt die Bewegungsrichtung an und wird ab Nordrichtung im Uhrzeigersinn gezählt. Zur Berechnung kann man für die nicht-trivialen Fälle das oben erwähnte Dreieck verwenden. <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> seien die Innenwinkel dieses Dreiecks bei A bzw. B (mit <math>0^\circ < \alpha, \beta < 180^\circ</math>). Sie können z. B. mithilfe des Seiten-Kosinussatzes berechnet werden.

: <math>\cos \alpha = \frac{\sin(\phi_B) - \sin(\phi_A) \cdot \cos \zeta} {\cos(\phi_A) \cdot \sin \zeta}</math>

: <math>\cos \beta = \frac{\sin(\phi_A) - \sin(\phi_B) \cdot \cos \zeta} {\cos(\phi_B) \cdot \sin \zeta}</math>

Fällt einer der gegebenen Punkte mit dem Nord- oder Südpol zusammen, so ist die entsprechende Gleichung wegen Division durch 0 unbrauchbar.

Die beiden Parameter <math>\alpha</math> und <math>\beta</math> lassen sich auch direkt aus den Breiten- und Längengraden <math>\phi_A</math> bzw. <math>\phi_B</math> und <math>\lambda_A</math> bzw. <math>\lambda_B</math> bestimmen:

: <math>\cos \alpha = \frac{\cos(\phi_A) \cdot \sin(\phi_B) - \cos(\lambda_A - \lambda_B) \cdot \cos(\phi_B) \cdot \sin(\phi_A)} {\sqrt{1 - (\cos(\lambda_A - \lambda_B) \cdot \cos(\phi_A) \cdot \cos(\phi_B) + \sin(\phi_A) \cdot \sin(\phi_B))^2}}</math>

: <math>\cos \beta = \frac{\cos(\phi_B) \cdot \sin(\phi_A) - \cos(\lambda_A - \lambda_B) \cdot \cos(\phi_A) \cdot \sin(\phi_B)} {\sqrt{1 - (\cos(\lambda_A - \lambda_B) \cdot \cos(\phi_A) \cdot \cos(\phi_B) + \sin(\phi_A) \cdot \sin(\phi_B))^2}}</math>

; Kurswinkel

Für die Kurswinkel <math>\omega_A</math> (am Anfangspunkt) und <math>\omega_B</math> (am Endpunkt) gilt <math>0^\circ \le \omega_A, \omega_B < 360^\circ</math>. Es ergibt sich:

{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe8"
!Voraussetzung
!Kurswinkel bei A
!Kurswinkel bei B
|-
|B östlich von A || <math>\omega_A = \alpha</math> || <math>\omega_B = 180^\circ - \beta</math>
|-
|B westlich von A || <math>\omega_A = 360^\circ - \alpha</math> || <math>\omega_B = 180^\circ + \beta</math>
|-
|Gleicher Meridian, B nördlich von A || <math>\omega_A = 0^\circ</math> || <math>\omega_B = 0^\circ</math>
|-
|Gleicher Meridian, B südlich von A || <math>\omega_A = 180^\circ</math> || <math>\omega_B = 180^\circ</math>
|}

; Rechtweisende Kurse A → B (Hinweg)

: <math>rwK_A = \omega_A</math>

: <math>rwK_B = \omega_B</math>

; Rechtweisende Kurse B → A (Rückweg)

: <math>rwK_B' = \omega_B \pm 180^\circ</math>

: <math>rwK_A' = \omega_A \pm 180^\circ</math>

Das Rechenzeichen (<math>+</math> oder <math>-</math>) ist hier so zu wählen, dass <math>0^\circ \le rwK_B', rwK_A' < 360^\circ</math> erfüllt ist.

=== Nördlichster oder südlichster Punkt ===

[[Datei:Orthodrome gnomonic.svg|mini|In einer [[Gnomonische Projektion|gnomonischen Projektion]] werden Orthodromen stets als gerade Strecke abgebildet]]

Ob eine Orthodrome zwischen den Grenzpunkten einen nördlichsten oder südlichsten Punkt (Scheitelpunkt) hat, hängt vom Kurswinkel am Anfangspunkt (<math>\omega_A</math>) und am Endpunkt (<math>\omega_B</math>) ab.

Ein nördlicher Scheitelpunkt existiert, wenn entweder zugleich <math>0^\circ < \omega_A < 90^\circ</math> und <math>90^\circ < \omega_B < 180^\circ</math> oder zugleich <math>270^\circ < \omega_A < 360^\circ</math> und <math>180^\circ < \omega_B < 270^\circ</math> gilt. Man erhält unter dieser Voraussetzung:

: <math> \phi_N = \arccos \left( |\sin(\omega_A)| \cdot \cos(\phi_A) \right) </math>

: <math> \lambda_N = \left\{\begin{array}{ll}\lambda_A + \arccos \left( \frac{\tan( \phi_A )}{\tan( \phi_N )}\right), & \mbox{falls} \; \omega_A < 180^\circ \\ \lambda_A - \arccos \left( \frac{\tan( \phi_A )}{\tan( \phi_N )}\right), & \mbox{falls} \; \omega_A > 180^\circ \end{array} \right.</math>

Ein südlicher Scheitelpunkt existiert, wenn entweder zugleich <math>90^\circ < \omega_A < 180^\circ</math> und <math>0^\circ < \omega_B < 90^\circ</math> oder zugleich <math>180^\circ < \omega_A < 270^\circ</math> und <math>270^\circ < \omega_B < 360^\circ</math> gilt. In diesem Fall ergibt sich:

: <math> \phi_S = - \arccos \left( |\sin(\omega_A)| \cdot \cos(\phi_A) \right) </math>

: <math> \lambda_S = \left\{\begin{array}{ll}\lambda_A + \arccos \left( \frac{\tan( \phi_A )}{\tan( \phi_S )}\right), & \mbox{falls} \; \omega_A < 180^\circ \\ \lambda_A - \arccos \left( \frac{\tan( \phi_A )}{\tan( \phi_S )}\right), & \mbox{falls} \; \omega_A > 180^\circ \end{array} \right.</math>

Wegen der Festlegung <math>-180^\circ \le \lambda \le +180^\circ</math> müssen die Ergebnisse für <math>\lambda_N</math> und <math>\lambda_S</math> unter Umständen korrigiert werden: Bei Werten über <math>180^\circ</math> muss <math>360^\circ</math> subtrahiert werden, bei Werten unter <math>-180^\circ</math> muss <math>360^\circ</math> addiert werden.

Die Formeln lassen sich begründen durch Anwendung der [[Nepersche Regel|neperschen Regel]] auf das rechtwinklige Kugeldreieck, das durch Punkt A, den Scheitelpunkt und den Nordpol bestimmt ist.

== Beispiel Berechnung der Entfernung Berlin–Tokio ==

Geographische Koordinaten der Anfangs- und Endpunkte:
* Berlin
** 52° 31′ 0″ N = 52,517°
** 13° 24′ 0″ E = 13,40°
* Tokio
** 35° 42′ 0″ N = 35,70°
** 139° 46′ 0″ E = 139,767°

=== Winkelberechnung ===
: <math>\, \phi_A = 52{,}517^\circ</math>
: <math>\, \lambda_A = 13{,}40^\circ</math>

: <math>\, \phi_B = 35{,}70^\circ</math>
: <math>\, \lambda_B = 139{,}767^\circ</math>

: <math>\begin{align}\, \zeta &=\arccos \Big( \sin(\phi_A) \sin(\phi_B) + \cos(\phi_A)\cos(\phi_B)\cos(\lambda_B - \lambda_A) \Big) \\
& =\arccos \Big( \sin(52{,}517^\circ) \sin(35{,}70^\circ) + \cos(52{,}517^\circ)\cos(35{,}70^\circ)\cos(139{,}767^\circ - 13{,}40^\circ) \Big)\\
&=\arccos(0{,}79353 \cdot 0{,}58354 + 0{,}60853 \cdot 0{,}81208 \cdot (-0{,}59296) ) \\
& =\arccos( 0{,}1700) \\
&= 80{,}212^\circ \end{align}</math>
: bzw. <math>\, \zeta = 1{,}400</math> im [[Bogenmaß]]

=== Streckenberechnung ===
Zur Vereinfachung wird von einer Erdkugel mit dem Umfang 40.000 km bzw. dem Radius 6366 km ausgegangen.

:<math>
\begin{align}
L & = \frac{\zeta}{360^\circ} \cdot 40\,000\ \mathrm{km} \\
& = \frac{80{,}212^\circ}{360^\circ} \cdot 40\,000\ \mathrm{km} \\
& = 8912\ \mathrm{km}
\end{align}
</math>

Oder für <math>\, \zeta</math> im [[Bogenmaß]]:
: <math>
\begin{align}
L & = \zeta \cdot 6366\ \mathrm{km} \\
& = 8912\ \mathrm{km}
\end{align}
</math>

Das sind aufgrund der idealisierten Geodaten selbstverständlich nur zwei Näherungen. Die tatsächliche Entfernung zwischen den beiden angegebenen Punkten in Berlin und Tokio kann bei Verwendung des [[WGS84]]-[[Referenzellipsoid]]s zu 8941,2 km genauer berechnet werden, also mit einer Abweichung von etwa 23 km oder 0,26 % im Vergleich zur zweiten Näherung.

== Genauere Formel zur Abstandsberechnung auf der Erde ==
Mit folgenden Formeln kann der Abstand zwischen zwei Standorten auf der Erde auf 50 Meter genau berechnet werden, siehe dazu auch [[Thaddeus Vincenty]]. Dabei wird keine Kugel, sondern das [[WGS84]]-Ellipsoid zugrunde gelegt. Sollten Koordinaten eines anderen [[Referenzellipsoid]]s verwendet werden, müssen die Parameter <math>a</math> (Radius) und <math>f</math> ([[Erdabplattung|Abplattung]]) angepasst werden.

Seien <math>\phi_A</math> und <math>\lambda_A</math> die geografische Breite und Länge von Standort A, <math>\phi_B</math> und <math>\lambda_B</math> die geografische Breite und Länge von Standort B im Gradmaß. Der Abstand zwischen beiden Standorten berechnet sich wie folgt:

Abplattung der Erde: <math>f = \frac{1}{298{,}257\,223\,563}</math>

Äquatorradius der Erde: <math>a = 6378{,}137 \ \mathrm{km}</math>

:<math>F = \frac{\phi_A + \phi_B}{2}</math>, <math>G = \frac{\phi_A - \phi_B}{2}</math>, <math>l = \frac{\lambda_A - \lambda_B}{2}</math>

Zunächst wird der grobe Abstand D ermittelt:

:<math>S = (\sin{G})^2 \cdot (\cos{l})^2 + (\cos{F})^2 \cdot (\sin{l})^2</math>
:<math>C = (\cos{G})^2 \cdot (\cos{l})^2 + (\sin{F})^2 \cdot (\sin{l})^2</math>
:<math>w = \arctan{\sqrt{\frac{S}{C}}}</math>
:<math>D = 2 \cdot w \cdot a</math>
Dabei ist <math>w</math> im [[Bogenmaß]] einzusetzen.

Der Abstand <math>D</math> wird durch die Faktoren <math>H_1</math> und <math>H_2</math> korrigiert:

:<math>T = \frac{\sqrt{S \cdot C}}{w}</math>
:<math>H_1 = \frac{ 3 \cdot T - 1}{2 \cdot C}</math>
:<math>H_2 = \frac{3 \cdot T + 1}{2 \cdot S}</math>

Der Abstand <math>s</math> in Kilometern berechnet sich abschließend wie folgt:

:<math>s = D \cdot \left(1 + f \cdot H_1 \cdot (\sin{F})^2 \cdot (\cos{G})^2 - f \cdot H_2 \cdot (\cos{F})^2 \cdot (\sin{G})^2 \right)</math>

=== Berechnungsbeispiel Berlin – Tokio ===

:<math>
\begin{array}{lcl}
\phi_A & = & 52{,}516666666666667^\circ \\
\lambda_A & = & 13{,}400^\circ \\
\phi_B & = & 35{,}700^\circ \\
\lambda_B & = & 139{,}766666666666667^\circ \\
\\
f & = & 0{,}00335281066474748 \\
a & = & 6378{,}137 \ \mathrm{km}\\
F & = & 44{,}108333333333333^\circ \\
G & = & 8{,}408333333333333^\circ \\
l & = & -63{,}183333333333333^\circ \\
S & = & 0{,}41498261872684 \\
C & = & 0{,}58501738127316 \\
w & = & 0{,}699965690768276 \\
D & = & 8928{,}9541420394 \ \mathrm{km}\\
T & = & 0{,}70391883329502 \\
H_1 & = & 0{,}95019099899696 \\
H_2 & = & 3{,}74926124548527 \\
\\
s & = & 8941{,}20250458698 \ \mathrm{km}
\end{array}
</math>

Der Abstand <math>s</math> ist also auf etwa 50 m genau zu 8.941,2 km bestimmt worden.

== Loxodrome ==
[[Datei:Rhumbs and great circles on Mercator.svg|mini|links|Gegenüberstellung von [[Loxodrome]]n (rot) und Orthodromen (blau) auf einer [[Mercator-Projektion|Mercatorkarte]], mit Weglängen in Kilometern.<br>
{|class="wikitable"
! Weg || Lox. || Orth. || Diff.
|-
| NY-MO || 8359 km || 7511 km || 10,1 %
|-
| NY-DA || 6207 km || 6150 km || {{0}}0,9 %
|-
| DA-MO || 6596 km || 6509 km || {{0}}1,3 %
|}]]
[[Datei:Ortho-loxorp.svg|mini|Loxodromeverlängerung relativ zur Orthodrome entlang des 50. Breitengrades in Prozent.]]
Bei der [[Navigation]] von Punkt A nach B mit einem [[Kompass]] eignet sich die [[Loxodrome]] besser, da sie die [[Meridian (Geographie)|Meridiane]] immer im gleichen Winkel kreuzt, man also den einmal eingestellten (Kompass-)Kurs einfach beibehalten kann.

Bei kurzen Strecken ist eine Loxodrome nur unwesentlich länger als eine Orthodrome. Bei hoher Breite und bei Entfernungen unterhalb von 30 Längengraden liegt der relative Längenunterschied bei weniger als 1 %. Danach steigt er deutlich an. Eine Reise entlang des 50. Breitengrades über 180 Längengrade ist 45 % länger als der Weg über einen Großkreis, der dann über den Pol verläuft.
<div style="clear:both;"></div>

== Siehe auch ==
* [[Geodäte|Geodätische Linie (Geodäte)]]
* [[Abweitung]]

== Weblinks ==
{{Commonscat|Great circle|Orthodrome}}
* [http://geographiclib.sourceforge.net/cgi-bin/GeodSolve Berechnung von Entfernung und Anfangskurs für beliebige Rotationsellipsoide] (englisch)
* [http://gc.kls2.com/ Great Circle Mapper] – Great Circle mapper including [[ETOPS]] ranges (englisch)
* [https://www.netzwolf.info/ol2/geodetic.html Erweitertes Messwerkzeug] – mit Vergleich von Orthodrome und Loxodrome zwischen zwei Punkten auf [[Openstreetmap|OSM]]-Weltkarte
* [http://www.kompf.de/trekka/distance.php Entfernungsberechnung zwischen zwei Orten der Erde] – auf Basis einer idealen Kugel mit einem Radius von 6378,388 km.
* [https://terrestrialnavigation.com/TNavigation/MenueGreatCircle Ausführliche Großkreisberechnung für die Praxis (englisch)] – Orthodrome und Loxodrome Distanz, Anfangs und Endkurs, Mischsegeln, Etmal, Meridianschnittpunkte

== Literatur ==
* J. Meeus: ''[https://www.agopax.it/Libri_astronomia/pdf/Astronomical%20Algorithms.pdf Astronomical Algorithms].'' , [https://www.deutsche-digitale-bibliothek.de/item/LJDY7OVNHYX345VMT4RNKQIHLJ2GXVJZ Astronomische Algorithmen (Deutsch)] 2. Auflage. Willmann-Bell, Richmond 2000, ISBN 0-943396-61-1, S. 85.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mathematische Geographie]]
[[Kategorie:Flugnavigation]]
[[Kategorie:Sphärische Astronomie]]
[[Kategorie:Geolokation]]

Orthodrome - Versionsgeschichte

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