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2025-01-14T08:31:23Z

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[[Datei:Ornstein-Uhlenbeck-5traces.svg|mini|hochkant=1.5|Fünf Pfade von unterschiedlichen Ornstein-Uhlenbeck-Prozessen mit ''σ''=1, ''θ''=1, ''μ''=0.]]

Der '''Ornstein-Uhlenbeck-Prozess''' (oft abgekürzt '''OU-Prozess''' oder noch kürzer '''O-U''') ist ein spezieller [[stochastischer Prozess]], welcher nach den beiden [[Niederlande|niederländischen]] [[Physiker]]n [[George Eugene Uhlenbeck|George Uhlenbeck]] (1900–1988) und [[Leonard Ornstein]] (1880–1941) benannt ist. Er ist neben der [[Geometrische Brownsche Bewegung|geometrischen Brownschen Bewegung]] einer der einfachsten und gleichzeitig wichtigsten über eine [[stochastische Differentialgleichung]] definierten Prozesse. Im [[Vasicek-Modell]] zur Zinssatzmodellierung werden Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse verwendet.

== Definition und Parameter ==
Seien <math>a, \mu \in \R</math> und <math> \theta, \sigma > 0 </math> Konstanten. Ein stochastischer Prozess <math> (X_t),\;t\ge 0 </math> heißt Ornstein-Uhlenbeck-Prozess mit ''Anfangswert'' <math>a</math>, ''Gleichgewichtsniveau'' <math>\mu</math>, ''Steifigkeit'' <math>\theta</math> und ''Diffusion'' <math>\sigma</math>, wenn er das folgende stochastische [[Anfangswertproblem]] löst:

:<math> \mathrm dX_t=\theta \cdot (\mu-X_t)\mathrm dt + \sigma \mathrm dW_t,\;\;X_0=a</math>,

wobei <math>(W_t)</math> ein Standard-[[Wienerprozess]] ist.

Die Parameter lassen sich einfach interpretieren und somit bei der Modellierung einer stochastischen [[Zeitreihenanalyse|Zeitreihe]] einfach als „Stellschrauben“ verwenden:

* <math>\mu</math> ist das gleichgewichtige Niveau des Prozesses (englisch: ''mean reversion level''). Liegt <math>X_t</math> über diesem Wert, so ist der ''Driftterm'' <math>\theta(\mu-X_t)</math> negativ, und die Drift wird den Prozess tendenziell nach unten „ziehen“. Ist <math>X</math> kleiner, so ist die Drift positiv und der Prozess wird in Erwartung nach oben gezogen.

* <math>\theta</math> (englisch ''mean reversion speed'' oder ''mean reversion rate'') gibt an, wie stark die oben beschriebene „Anziehungskraft“ von <math>\mu</math> ist. Für kleine Werte von <math>\theta</math> verschwindet dieser Effekt, für große Werte wird sich <math>X</math> sehr ''steif'' um <math>\mu</math> entwickeln.

* <math>\sigma</math> gibt an, wie stark der Einfluss von <math>W_t</math> (also des Zufalls) auf den Prozess ist. Für <math>\sigma=0</math> wird <math>X</math> einfach [[Exponentialfunktion|exponentiell]] gegen <math>\mu</math> konvergieren, bei starker Diffusion wird diese Konvergenz zufällig gestört.

Der Unterschied zum ebenfalls mit dem ''mean-reversion''-Mechanismus ausgestatteten [[Wurzel-Diffusionsprozess]] oder der [[Geometrische Brownsche Bewegung|geometrischen Brownschen Bewegung]] besteht im Wesentlichen darin, dass beim OU-Prozess der Diffusionsterm <math>\sigma \mathrm dW_t</math> konstant, also unabhängig von <math>X</math> ist. Dies führt dazu, dass der OU-Prozess im Gegensatz zu den anderen beiden auch negative Werte annehmen kann.

== Lösung der Differentialgleichung ==
Im Gegensatz zum Wurzel-Diffusionsprozess ist die obige Differentialgleichung explizit lösbar, wenn auch nicht (wie bei der geometrischen brownschen Bewegung) integralfrei darstellbar:
Mit der Lösung <math>c e^{-\theta t}</math> der zugehörigen homogenen Gleichung <math>\mathrm d U_t = -\theta U_t \, \mathrm dt</math> führt [[Variation der Konstanten]] auf den Ansatz <math>X_t = Y_t e^{-\theta t}</math>, also <math>Y_t = X_t e^{\theta t}</math>. Wendet man auf die Funktion <math>h\colon \R \times \R_+ \to \R, \;(X_t,t) \mapsto X_t e^{\theta t}</math> einerseits die [[Itō-Formel]], andererseits die gewöhnliche Kettenregel der [[Differentialrechnung]] an, so erhält man

:<math>\mathrm dY_t = \theta X_t e^{\theta t}\, \mathrm dt + e^{\theta t} \mathrm dX_t = e^{\theta t}\theta \mu \, \mathrm dt + \sigma e^{\theta t} \mathrm dW_t </math>.

Die obige Identität von 0 bis <math>t</math> aufintegriert (wobei <math>X_0=a</math>) ergibt die Lösung

:<math> X_t = a e^{-\theta t} + \mu(1-e^{-\theta t}) + \sigma\int_0^t e^{-\theta (t-s)} \mathrm dW_s</math>.

== Eigenschaften ==
[[Datei:Wiener-Ornstein-Uhlenbeck-5traces-samedata.svg|mini|Vergleich von Wiener-Prozessen (oben) und Ornstein-Uhlenbeck-Prozessen (unten) mit gleicher Diffusion, σ=1.]]

* Ein Ornstein-Uhlenbeck-Prozess ist ein [[Gauß-Prozess]]. Dies erkennt man an der obigen Lösung: Der [[Integrand]] ist deterministisch, also ist der Wert des [[Stochastische Integration|Ito-Integrals]] stets [[Normalverteilung|normalverteilt]]. Wie für jeden Gauß-Prozess ist die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung|Verteilung]] des Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses durch seine [[Erwartungswert]]- und [[Kovarianzfunktion]] eindeutig bestimmt. Diese ergeben sich als
::<math>\mathrm{E}[X_t]= a e^{-\theta t} + \mu(1-e^{-\theta t}),\quad t \geq 0</math>
:und
::<math>\operatorname{Cov}[X_s,X_t]=\frac{\sigma^2}{2\theta}\,(e^{-\theta|s-t|}- e^{-\theta(s+t)} ),\quad s, t \geq 0.</math>.

:Die univariaten Verteilungen der <math>X_t</math> für <math> t > 0</math> sind Normalverteilungen:
:: <math>X_t \sim\mathcal{N}\left(a e^{-\theta t} + \mu(1-e^{-\theta t}), \frac{\sigma^2}{2\theta}(1 - e^{- 2 \theta t})\right)</math>.

* Ein Ornstein-Uhlenbeck-Prozess mit nichtstochastischem Anfangswert <math>a</math> besitzt eine konstante [[Erwartungswertfunktion]] im Fall <math>a = \mu</math>.

* Ein Ornstein-Uhlenbeck-Prozess mit nichtstochastischem Anfangswert <math>a</math> ist ''nicht stationär'', wie man an der Kovarianzfunktion erkennt, die nicht nur von der Zeitdiffererenz <math>|s-t|</math> abhängt. Mit stochastischem Anfangswert existiert ein stationärer Ornstein-Uhlenbeck-Prozess, siehe weiter unten.

* Ein Ornstein-Uhlenbeck-Prozess ist ein [[Gauß-Prozess#Gaußsche Markow-Prozesse|gaußscher Markow-Prozess]].

* Ein Ornstein-Uhlenbeck-Prozess ist – wie auch der [[Wurzel-Diffusionsprozess]] – ein [[affiner Prozess]].

* Ein Ornstein-Uhlenbeck-Prozess entspricht einem [[Tiefpass]]-gefilterten [[Weißes Rauschen|weißen Rauschen]] mit einem linearen [[Filter mit unendlicher Impulsantwort|IIR]]-Tiefpassfilter 1. Ordnung mit Grenzfrequenz <math>f_c=\frac{\theta}{2\pi}</math>.<ref name="BibbonaPanfiloTavella2008">{{cite journal | last1 = Bibbona | first1 = Enrico | last2 = Panfilo | first2 = Gianna | last3 = Tavella | first3 = Patrizia | title = The Ornstein–Uhlenbeck process as a model of a low pass filtered white noise | journal = Metrologia | date = 5. Dezember 2008 | volume = 45 | issue = 6 | pages = S117–S126 | issn = 0026-1394 | doi = 10.1088/0026-1394/45/6/S17|language=en}}</ref> Sein [[Spektrale Leistungsdichte|Spektrum]] ist daher für niedrige [[Frequenz]]en flach, wie beim weißen Rauschen, und für hohe Frequenzen proportional zu 1/f², wie beim [[1/f²-Rauschen|roten Rauschen]]. Im Gegensatz zum rein weißen und roten Rauschen ist das Spektrum des Ornstein-Uhlenbeck-Prozess damit [[quadratintegrierbar]], und der Prozess besser als ideales weißes oder rotes Rauschen auf physikalische Situationen anwendbar, die grundsätzlich amplituden-, [[bandbreite]]n und leistungslimitiert sind.

* Ein Ornstein-Uhlenbeck-Prozess entspricht auch einem [[Hochpass]]-gefilterten Wiener-Prozess mit einem linearen [[Filter mit unendlicher Impulsantwort|IIR]]-Hochpassfilter 1. Ordnung mit Grenzfrequenz <math>f_c=\frac{\theta}{2\pi}</math> (siehe Abbildung). Dies geht direkt aus der Definition hervor, die zu einem bestehenden Wiener-Prozess den linearen Filterterm <math>\theta \cdot (\mu-X_t)\mathrm dt</math> addiert, der tiefe Frequenzkomponenten [[Dämpfung|dämpft]]. Im Gegensatz zum [[Skaleninvarianz|skaleninvarianten]] Wiener-Prozess besitzt der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess damit eine [[Zeitskala]] und ist in dieser Hinsicht komplizierter. Für Zeitskalen deutlich kleiner als 1/θ kann der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess jedoch durch den Wiener-Prozess approximiert werden. Es gilt im Sinne der [[Verteilungskonvergenz]]<ref>L. C. G. Rogers and D. Williams: ''Diffusions, Markov Processes and Martingales''. Vol. 1. Cambridge University Press, Cambridge, 2000, S. 54.</ref>
: <math>\left(\frac\lambda{\sqrt{n}}X_{nt}\right)_{t \ge 0} \xrightarrow{\mathcal{D}} (W_t)_{t \ge 0}.</math>

== Stochastischer Anfangswert und stationärer Ornstein-Uhlenbeck-Prozess ==
Ein Ornstein-Uhlenbeck-Prozess mit stochastischen Anfangswert <math>X_0 \sim \mathcal{N}(\mu_0,\sigma_0^2)</math> ist
:<math> X_t = X_0 e^{-\theta t} + \mu(1-e^{-\theta t}) + \sigma\int_0^t e^{-\theta (t-s)} \mathrm dW_s, \quad t \geq 0</math>.

=== Erwartungswert- und Kovarianzfunktion ===
Ein Ornstein-Uhlenbeck-Prozess mit stochastischen Anfangswert <math>X_0 \sim \mathcal{N}(\mu_0,\sigma_0^2)</math> hat die auf den Anfangswert <math>X_0</math> ''bedingte Erwartungswertfunktion''
:<math>\mathrm{E}[X_t|X_0]= X_0 e^{-\theta t} + \mu(1-e^{-\theta t}),\quad t \geq 0 </math>
und die auf den Anfangswert ''bedingte Kovarianzfunktion''
:<math>\operatorname{Cov}[X_s,X_t|X_0]=\frac{\sigma^2}{2\theta}\,(e^{-\theta|s-t|}- e^{-\theta(s+t)}),\quad s, t \geq 0\;.</math>
Hieraus ergeben sich mit <math>\mathrm{E}[X_t]=\mathrm{E}[\mathrm{E}[X_t|X_0]]</math> die (unbedingte) ''Erwartungswertfunktion''
:<math>\mathrm{E}[X_t]= \mu_0 e^{-\theta t} + \mu(1-e^{-\theta t}),\quad t \geq 0 </math>
und mit <math>\mathrm{Cov}[X_s,X_t] = \mathrm{E}[\mathrm{Cov}[X_s,X_t|X_0]] + \mathrm{Cov}[\mathrm{E}[X_s|X_0],\mathrm{E}[X_t|X_0]]</math> die (unbedingte) ''Kovarianzfunktion''
:<math>\operatorname{Cov}[X_s,X_t]=\frac{\sigma^2}{2\theta}\,(e^{-\theta|s-t|}- e^{-\theta(s+t)}) + \sigma_0^2 e^{-\theta(s+t)} \quad s, t \geq 0\;.</math>
Die weiter oben angegebenen Erwartungswert- und Kovarianzfunktionen für einen Ornstein-Uhlenbeck-Prozess mit nichtstochastischem Anfangswert <math>a</math> erhält man als Spezialfall für <math>\mu_0=a</math> und <math>\sigma_0^2 =0</math>.

=== Stationarität ===
Da ein Ornstein-Uhlenbeck-Prozess ein Gauß-Prozess ist, fallen die Konzepte der [[stationär im engeren Sinn|Stationarität im engeren Sinn]] und der [[stationär im weiteren Sinn|Stationarität im weiteren Sinn]] zusammen.

Für den speziellen stochastischen Startwert <math>X_0 \sim \mathcal{N}(\mu_0,\sigma_0^2)</math> mit
: <math>\mu_0 = \mu\quad\text{und}\quad \sigma_0^2 = \frac{\sigma^2}{2\theta}</math>
erhält man einen ''stationären'' Ornstein-Uhlenbeck-Prozess <math>(X_t)_{t\geq 0}</math> mit der Erwartungswertfunktion
:<math> \mu^*(t) := \mathrm{E}[X_t] = \mu, \quad t \geq 0 </math>
und der Kovarianzfunktion
:<math> \gamma^*(s,t) := \mathrm{Cov}[X_s,X_t] = \frac{\sigma^2}{2\theta} e^{-\theta|s-t|}, \quad s,t \geq 0\;.</math>

Alle Zufallsvariablen <math>X_t</math> des stationären Ornstein-Uhlenbeck-Prozess <math>(X_t)_{t\geq 0}</math> haben dieselbe univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung
:<math>X_t \sim \mathcal{N}\left(\mu, \frac{\sigma^2}{2\theta}\right),\quad t \geq 0\;.</math>

=== Stabilität ===
Der stationäre Ornstein-Uhlenbeck-Prozess kann durch folgende Stabilitätseigenschaft ergänzt werden. Für jeden Ornstein-Uhlenbeck-Prozess mit nichtstochastischem Startwert <math> a</math> gilt
:<math> \lim_{t\to \infty} |\mathrm{E}[X_t] - \mu^* (t)| = \lim_{t\to \infty} \left| a e^{-\theta t} + \mu(1-e^{-\theta t}) - \mu \right| = 0 </math>
und
:<math> \lim_{\min\{s,t\}\to \infty} |\mathrm{Cov}[X_s,X_t] - \gamma^*(s,t)|
= \lim_{\min\{s,t\}\to \infty} \left|\frac{\sigma^2}{2\theta}(e^{-\theta|s-t|}- e^{-\theta(s+t)}) - \frac{\sigma^2}{2\theta}e^{-\theta|s-t|}\right| = 0\;.</math>
Da die Verteilungen von Gauß-Prozessen durch ihre Erwartungswert- und Kovarianzfunktion festliegen, bedeutet dies, dass sich alle Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse, die mit nichtstochastischem Anfangswert starten, für fortschreitende Zeit dem stationären Ornstein-Uhlenbeck-Prozess mit der Erwartungswertfunktion <math>\mu^*</math> und der Kovarianzfunktion <math>\gamma^*</math> annähern.

== Lévy-Prozesse ==
[[Datei:Cauchy-OU.png|mini|hochkant=1.8|Pfad eines Cauchy-OU-Prozesses]]

Wird die definierende Differentialgleichung von einem anderen [[Lévy-Prozess]] als der brownschen Bewegung angetrieben, so erhält man auch einen (nicht-gaußschen) Ornstein-Uhlenbeck-Prozess.

== Literatur ==
* {{cite journal | last1 = Uhlenbeck | first1 = G. E. | last2 = Ornstein | first2 = L. S. | title = On the Theory of the Brownian Motion | journal = Physical Review | date = 1930-09-01 | volume = 36 | issue = 5 | pages = 823–841 | issn = 0031-899X | doi = 10.1103/PhysRev.36.823 | language=en }}
* {{cite journal | last1 = Gillespie | first1 = Daniel T. | title = Exact numerical simulation of the Ornstein-Uhlenbeck process and its integral | journal = Physical Review E | date = 1996-08-01 | volume = 54 | issue = 2 | pages = 2084–2091 | issn = 1063-651X | doi = 10.1103/PhysRevE.54.2084 | pmid = 9965289 | language=en }}

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Stochastischer Prozess]]
[[Kategorie:Stochastische Differentialgleichung]]

Ornstein-Uhlenbeck-Prozess - Versionsgeschichte

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