~2026-22550-70: /* Quantenfeldtheorie */ mathcal consistenciy

2026-04-12T23:03:21Z

Quantenfeldtheorie: mathcal consistenciy

Neue Seite

Das '''optische Theorem''', im Rahmen der [[Quantenmechanik]] auch '''Bohr-Peierls-Placzek-Theorem''' oder '''-Beziehung''' genannt (nach [[Niels Bohr]], [[Rudolf Peierls]] und [[George Placzek]])<ref>vgl. Fußnote 1 in {{Literatur|Autor= Niels Bohr, Rudolf Peierls und Georg Placzek|Titel= Nuclear Reactions in the Continuous Energy Region|Sammelwerk= Nature|Band= 144|Datum= 1939|Seiten= 200–201|Sprache= en|DOI= 10.1038/144200a0}} Der angekündigte Artikel in ''Proceedings of the Copenhagen Academy'' wurde durch den Ausbruch des 2. Weltkriegs nie publiziert.</ref>, bringt in der [[Streutheorie]] den [[Imaginärteil]] der [[Streuamplitude]] mit dem [[Wirkungsquerschnitt|totalen Wirkungsquerschnitt]] <math>\sigma</math> in Zusammenhang. Das optische Theorem ist ein Resultat der [[Wellenoptik]] beziehungsweise der klassischen [[Elektrodynamik]], wo es auf der [[Energieerhaltungssatz|Erhaltung der Energie]] gestreuter [[Elektromagnetische Welle|elektromagnetischer Wellen]] aufbaut. Später wurde in der quantenmechanischen [[Wellenmechanik]] basierend auf der Erhaltung der [[Wahrscheinlichkeit]] ein analoges Ergebnis für die Streuung von [[Materiewelle]]n und in der [[Quantenfeldtheorie]] eine Verallgemeinerung des optischen Theorems für Quantenfelder gefunden.

In seiner ursprünglichen Formulierung lautet das optische Theorem:

:<math>\sigma = \frac{4\pi}{k}\operatorname{Im} f_k(\theta = 0)</math>

mit
* <math>k</math>: [[Kreiswellenzahl]]
* <math>f_k(\theta = 0)</math>: Streuamplitude bei Streuwinkel <math>\theta = 0</math>.

== Klassische Elektrodynamik ==
[[Licht]], beziehungsweise eine allgemeine [[elektromagnetische Welle]], mit [[Elektrische Feldstärke|elektrischer Feldstärke]] <math>\vec E</math> und [[Magnetische Flussdichte|magnetischer Flussdichte]] <math>\vec B</math> kann von einem Objekt mit endlicher Ausdehnung sowohl [[Lichtstreuung|gestreut]] als auch [[Lichtabsorption|absorbiert]] oder [[Transmission (Physik)|transmittiert]] werden. Die gesamten Felder setzen sich also zusammen aus den einfallenden Feldern <math>\vec E_i, \vec B_i</math> und den gestreuten oder transmittierten Feldern <math>\vec E_s, \vec B_s</math>. Die [[Leistungsdichte]] des Felds wird durch den [[Poynting-Vektor]] <math>\vec P = \tfrac{1}{2\mu_0} \operatorname{Re} (\vec E \times \vec B^*)</math> mit der [[Vakuumpermeabilität]] <math>\mu_0</math> beschrieben. Die absorbierte Leistung der elektromagnetischen Welle ergibt sich als [[Flächenintegral]] des Poynting-Vektors der Gesamtfelder über die (nach innen gerichtete) Oberfläche des Streuers; die gestreute Leistung als Integral der gestreuten Felder über die (nach außen gerichtete) Oberfläche:
:<math>P = P_\text{abs} + P_\text{streu} = - \frac{1}{2\mu_0} \operatorname{Re}\left( \int \mathrm d\vec A \cdot (\vec E \times \vec B^*)\right) + \frac{1}{2\mu_0} \operatorname{Re} \left(\int \mathrm d\vec A \cdot (\vec E_s \times \vec B_s^*)\right)= - \frac{1}{2\mu_0} \operatorname{Re}\left(\int \mathrm d\vec A\cdot(\vec E_s \times \vec B_i^* + \vec E_i^* \times \vec B_s)\right)</math>
Mit der Zerlegung des elektrischen Felds in ebene Wellen
:<math>\vec E_i = E_0 \vec \varepsilon_i e^{\mathrm i \vec k_i \cdot \vec x}</math>,
wobei <math>\vec \varepsilon</math> der [[Polarisation]]s<nowiki/>vektor in Schwingungsrichtung, <math>\vec k</math> der [[Wellenvektor]] in Ausbreitungsrichtung und <math>E_0</math> die [[Amplitude]] des Felds sind sowie der Beziehung
:<math>\vec B_i = \frac{1}{ck_i} \vec k_i \times \vec E_i</math>,
da elektrisches Feld, magnetische Flussdichte und Wellenvektor im Vakuum paarweise senkrecht aufeinander stehen, führt dies zu:
:<math>P = \frac{1}{2\mu_0} \operatorname{Re}\left(E_0^* \int \mathrm dA\, e^{-\mathrm i \vec k_i \cdot \vec x} \left[\vec \varepsilon_i^* \cdot (\vec n \times \vec B_s) + \vec \varepsilon_i^* \cdot \frac{\vec k_i \times (\vec n \times \vec E_s)}{ck}\right]\right)</math>
(<math>\vec n</math> ist der Flächennormalenvektor, <math>\mathrm d\vec A = \vec n\, \mathrm dA</math>).

Andererseits ist die Streuamplitude <math>f</math> für ein elektromagnetisches Feld mit Polarisationsvektor <math>\vec \varepsilon</math>:
:<math>f(\vec \varepsilon, \vec k, \vec k_i) = \mathrm i \frac{ck}{4\pi} E_0^{-1} \int \mathrm dA\ e^{-\mathrm i \vec k \cdot \vec x} \left[\vec \varepsilon^* \cdot (\vec n \times \vec B_s) + \vec \varepsilon^* \cdot \frac{\vec k \times (\vec n \times \vec E_s)}{ck}\right]</math>
Aus dem Vergleich dieser beiden Ausdrücke sieht man, dass
:<math>P = \frac{2\pi}{\mu_0 c k_i} \operatorname{Im} E_0 E_0^* f(\vec \varepsilon_i, \vec k_i, \vec k_i)</math>
sein muss. Mit der Definition des Streuquerschnitts als Leistung normiert auf die einfallende Leistung
:<math>\sigma = \left(\frac{EE^*}{2\mu_0 c}\right)^{-1} P</math>
folgt das optische Theorem.<ref>{{Literatur|Autor= [[John David Jackson (Physiker)|John David Jackson]]|Titel= [[Classical Electrodynamics]]|Auflage= 3|Verlag= John Wiley & Sons|Ort= Hoboken|Datum= 1999|ISBN= 978-0471309321|Sprache= en|Seiten=500–502}}</ref>

== Quantenfeldtheorie ==
In der Quantenfeldtheorie ist das optische Theorem ein exaktes Resultat, das nicht auf [[Störungstheorie (Quantenfeldtheorie)|störungstheoretischen]] Näherungen basiert. In der Störungstheorie führt das optische Theorem zu einer Beziehung zwischen Schleifen-[[Feynman-Diagramm|Diagrammen]] und Streuquerschnitten in führender Ordnung.

Sei <math>\mathcal M(i \to f)</math> das [[Matrixelement (Physik)|Matrixelement]] eines Prozesses <math>i \to f</math>, dann gilt<ref>{{Literatur|Autor= Matthew D. Schwartz|Titel= Quantum Field Theory and the Standard Model|Verlag= Cambridge University Press|Ort= Cambridge|Datum= 2014|ISBN=978-1-107-03473-0|Sprache= en|Seiten=454}}</ref>
:<math>\mathcal M(i \to f) - \mathcal M^*(f \to i) = \mathrm i \sum_X \prod_{j \in X} \int \frac{\mathrm d^3 \vec p_j}{2p^0_j} \delta^{(4)}(p_i - p_X) \mathcal M(i \to X)\mathcal M^*(f \to X)</math>
mit der Summe über alle möglichen physikalischen (Mehrteilchen-)[[Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] <math>|X\rangle</math> und dem [[Lorentzinvarianz|lorentzinvarianten]] [[Phasenraum]]integral über alle Einteilchen-Impulse <math>\vec p_j</math> im jeweiligen Mehrteilchen-Zustand.

Insbesondere gilt für Zweiteilchen-Zustände <math>|A\rangle</math>
:<math>\operatorname{Im}\mathcal M(A \to A) = 2 E_{\mathrm{CM}} |\vec p_A| \sum_X \sigma(A \to X)</math>
im [[Schwerpunktssystem]] mit der [[Schwerpunktsenergie]] <math>E_{\mathrm{CM}}</math>, was das optische Theorem der nichtrelativistischen Quantenmechanik zurückgibt.

Für Einteilchen-Zustände <math>|B\rangle</math>, also für Zerfälle, gilt
:<math>\operatorname{Im}\mathcal M(B \to B) = m_B \sum_X \Gamma(B \to X) = m_B \Gamma_\mathrm{tot}</math>
mit der [[Masse (Physik)|Masse]] des zerfallenden Teilchens <math>m_B</math> und der [[Zerfallsbreite]] <math>\Gamma</math>.

=== Herleitung ===
Das optische Theorem basiert auf der [[Unitärer Operator|Unitarität]] der [[S-Matrix]] von Quantenfeldtheorien. Sei <math>\mathcal T</math> der nichttriviale Teil der S-Matrix, also <math>S = 1 + \mathrm i \mathcal T</math>, dann folgt aus der Unitarität der S-Matrix:
:<math>1 = S^\dagger S = (1 - \mathrm i \mathcal T^\dagger) (1 + \mathrm i \mathcal T) = 1 - \mathrm i (\mathcal T^\dagger - \mathcal T) + \mathcal T^\dagger \mathcal T \quad \Leftrightarrow \quad \mathrm i(\mathcal T^\dagger - \mathcal T) = \mathcal T^\dagger \mathcal T</math>
Durch Multiplikation von <math>\langle f |</math> sowie <math>|i \rangle</math> ergibt sich die linke Seite der Gleichung mit der Definition des Matrixelements als <math>\langle f |\mathcal T |i \rangle = (2\pi)^4 \delta^{(4)}(p_i - p_f) \mathcal M(i \to f)</math> zu:
:<math>\langle f |\mathrm i(\mathcal T^\dagger - \mathcal T)|i \rangle = \mathrm i (2\pi)^4 \delta^{(4)}(p_i - p_f) \big(\mathcal M^*(f \to i) - \mathcal M(i \to f)\big)</math>
Das Einfügen einer Eins in Form von
:<math>1 = \sum_X \prod_{j \in X} \int \frac{\mathrm d^3 \vec p_j}{(2 \pi)^4} \frac{1}{2p^0_j} |X \rangle \langle X|</math>
auf der rechten Seite führt zu:
:<math>\langle f |\mathcal T^\dagger \mathcal T |i \rangle = \sum_X \prod_{j \in X} \int \frac{\mathrm d^3 \vec p_j}{2p^0_j} (2\pi)^4 \delta^{(4)} (p_i - p_X) \delta^{(4)} (p_f - p_X) \mathcal M(i \to X) \mathcal M^*(f \to X)</math>
Das optische Theorem folgt durch Gleichsetzen.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* Wolfgang Nolting: ''Grundkurs Theoretische Physik 5/2: Quantenmechanik – Methoden und Anwendungen'', Springer, Berlin, 2006, ISBN 9783540260356, S. 333

== Weblinks ==
* Herbert Müther: [http://www.tphys.physik.uni-tuebingen.de/muether/quanten/quan1.html Vorlesungsskript Theoretische Physik III/IV, Quantenmechanik I und II], 1997–1999.

[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]
[[Kategorie:Streutheorie]]

Optisches Theorem - Versionsgeschichte

~2026-22550-70: /* Quantenfeldtheorie */ mathcal consistenciy