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2024-05-23T13:20:09Z

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Das '''Optional Stopping Theorem''' ist ein mathematischer Satz über [[Martingal]]e, eine spezielle Klasse von [[stochastischer Prozess|stochastischen Prozessen]], und damit der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] zuzuordnen. Der Satz geht auf [[Joseph L. Doob]] zurück und hat weitreichende Auswirkungen für die Existenz von für den Spieler vorteilhaften Spielstrategien, die auf einem Spielausstieg des Spielers beruhen.

== Rahmenbedingungen ==
Gegeben ist ein stochastischer Prozess <math> X=(X_n)_{n \in \N} </math>, der das Kapital des Spielers formalisiert. Dieser Prozess kann nun entweder
* ein [[Martingal]] sein, was einem fairen Spiel entspricht,
* ein [[Supermartingal]] sein, was einem Verlustspiel für den Spieler entspricht oder
* ein [[Submartingal]] sein, was einem vorteilhaften Spiel für den Spieler entspricht.
Die Ausstiegsstrategie entspricht mathematisch einer [[Stoppzeit]] <math> \tau </math>, die angibt, wann das Spiel verlassen wird.

Das Spiel, kombiniert mit der Ausstiegsstrategie, ergibt den [[Gestoppter Prozess|gestoppten Prozess]] <math> X^\tau = (X_{\min(n,\tau)})_{n \in \N}</math>, der dann die langfristige Entwicklung bei Verwendung der Ausstiegsstrategie <math> \tau </math> abgibt.

Nun stellt sich die Frage, ob man durch die Wahl einer geeigneten Stoppzeit <math> \tau </math> die oben beschriebenen Prozessklassen ändern kann. Im Interesse des Spielers wäre eine Stoppzeit, die aus einem Martingal <math> X </math> nach Stoppen ein Submartingal <math> X^\tau </math> macht oder aus einem Supermartingal <math> X </math> ein (Sub-)Martingal <math> X^\tau </math> macht.

Der Satz beantwortet diese Frage negativ: Es gibt keine Stoppzeit, so dass der gestoppte Prozess in einer anderen Klasse liegt als der ursprüngliche Prozess.

== Aussage ==
Es sei abkürzend <math> \min(n,\tau) =\tau \wedge n </math>. Gegeben sei eine [[Filtrierung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Filtrierung]] <math> \mathbb F = (\mathcal F_n)_{n \in \N}</math> und eine Stoppzeit <math> \tau </math>. Bezeichne <math> \mathcal F_{\tau \wedge n} </math> die [[σ-Algebra der τ-Vergangenheit|σ-Algebra der Vergangenheit der Stoppzeit <math> \tau \wedge n </math>]] und definiere die Filtrierung
:<math> \mathbb F^\tau:= (\mathcal F_{\tau \wedge n})_{n \in \N} </math>.

Dann gilt:<ref> Klenke: ''Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2013, S. 214. </ref>

:Ist <math> X </math> ein (Sub-/Super-)Martingal bezüglich <math> \mathbb F </math>, so ist auch der gestoppte Prozess <math> X^\tau </math> ein (Sub-/Super-)Martingal sowohl bezüglich <math> \mathbb F </math> als auch bezüglich <math> \mathbb F^\tau </math>.

Des Weiteren gilt:<ref> Meintrup, Schäffler: ''Stochastik.'' 2005, S. 317. </ref>

:Ist <math> X </math> ein Martingal, so ist
::<math> \operatorname E(X_{\tau \wedge n})= \operatorname E (X_0) </math>.

:Gilt zusätzlich, dass entweder
:* die Stoppzeit <math> \tau </math> beschränkt ist, d. h. es gibt ein <math>c\in\mathbb{N}</math> mit <math>\tau \leq c</math> fast sicher, oder
:* die Stoppzeit fast sicher endlich ist und <math>( X_{\tau \wedge n} )_{n \in \N}</math> [[gleichgradige Integrierbarkeit|gleichgradig integrierbar]] ist,
:so ist auch
::<math> \operatorname E(X_{\tau})= \operatorname E (X_0) </math>.

Die beiden obigen Aussagen gelten ebenso für Submartingale, wenn das Gleichheitszeichen durch ein <math> \geq </math> ersetzt wird. Genauso gelten sie auch für Supermartingale, wenn das Gleichheitszeichen durch ein <math> \leq </math> ersetzt wird.

Die Aussage wird in der Literatur nicht immer in demselben Umfang formuliert. Teils wird auch bloß die Stabilitätseigenschaft von (Sub/Super)Martingalen unter dem gestoppten Prozess als Optional Stopping Theorem bezeichnet.

== Herleitung ==
Die Herleitung der Hauptaussage erfolgt mittels der [[Martingaltransformation]], man setzt dann <math> H_n:=\mathbf 1_{\{\tau \geq n\}} </math>. Daraus folgt, dass <math> H \cdot X =X^\tau </math>, und entsprechend der Martingaltransformation ist dies wieder ein (Sub-/Super-)Martingal. Die detaillierte Ausführung findet sich im Artikel zur Martingaltransformation als Beispiel.

== Beziehung zum Optional Sampling Theorem ==
Der wesentliche Unterschied zwischen dem Optional Stopping Theorem und dem [[Optional Sampling Theorem]] ist, dass bei dem Optional Stopping Theorem der gestoppte Prozess <math> X^\tau </math> untersucht wird, wohingegen bei dem Optional Sampling Theorem die gesampelten Zufallsvariablen
:<math> X_\tau:= X_{\tau(\omega)}(\omega) </math>

für verschiedene Stoppzeiten untersucht werden.

Eine Überschneidung zwischen gestopptem Prozess und <math> X_\tau </math> ergibt sich, da beispielsweise bei fast sicher endlichen Stoppzeiten
:<math>\lim_{n \to \infty} X_{\tau \wedge n} = X_\tau </math> fast sicher

gilt. Daher wird der zweite Teil der oben aufgeführten Aussage auch als Spezialfall des Optional Sampling Theorems bezeichnet. Dieses liefert für zwei Stoppzeiten <math> \sigma, \tau </math> mit <math> \sigma \leq \tau </math>, die [[σ-Algebra der τ-Vergangenheit|σ-Algebra der σ-Vergangenheit]] <math> \mathcal F_\sigma </math> und einem Martingal <math> X </math> die Aussage
:<math> X_\sigma = \operatorname E (X_\tau|\mathcal F_\sigma) </math>

und damit nach Bildung des Erwartungswertes
:<math>\operatorname E(X_{\tau})= \operatorname E (X_\sigma) </math>.

Setzt man hier aber die Stoppzeit <math> \sigma=0 </math>, so ist dies genau die obige Aussage.

== Literatur ==
*{{Literatur|Autor=[[Achim Klenke]]|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}
*{{Literatur|Autor=[[Christian Hesse (Mathematiker)|Christian Hesse]]|Titel=Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=1.|Verlag=Vieweg|Ort=Wiesbaden|Jahr=2003|ISBN=3-528-03183-2 |DOI=10.1007/978-3-663-01244-3 }}
*{{Literatur|Autor=David Meintrup, Stefan Schäffler|Titel=Stochastik|TitelErg=Theorie und Anwendungen|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg New York|Jahr=2005|ISBN=978-3-540-21676-6|DOI=10.1007/b137972}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Martingale und Martingaltheorie]]
[[Kategorie:Satz (Stochastik)]]

Optional Stopping Theorem - Versionsgeschichte

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