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In der [[Mathematik]] bezeichnet '''Optimaler Transport''' eine Theorie, die aus der analytischen Modellierung des [[Transportproblem]]s entstanden ist. [[John Lott (Mathematiker)|Lott]] und [[Cédric Villani|Villani]] sowie [[Karl-Theodor Sturm|Sturm]] gaben mit Hilfe des optimalen Transports eine synthetische Definition von [[Ricci-Krümmung]]s-Schranken in allgemeinen metrischen Räumen.<ref>[[John Lott (Mathematiker)|John Lott]], [[Cédric Villani]]: [http://math.berkeley.edu/~lott/LottVillani.pdf ''Ricci curvature for metric-measure spaces via optimal transport.''] In: ''[[Annals of Mathematics]].'' Bd. 169, 2009, S. 903–991, (PDF; 552 kB), {{doi|10.4007/annals.2009.169.903}}.</ref><ref>Karl-Theodor Sturm: {{Webarchiv|url=http://sfb611.iam.uni-bonn.de/uploads/203-komplett.pdf |wayback=20070628202244 |text=''On the geometry of metric measure spaces.'' }} In: ''[[Acta Mathematica]].'' Bd. 196, Nr. 1, 2006, 65–131, (PDF; 591 kB), {{doi|10.1007/s11511-006-0002-8}}.</ref>

Optimaler Transport ist ursprünglich ein (auf [[Gaspard Monge|Monge]] und [[Leonid Kantorovich|Kantorovich]] zurückgehendes) klassisches Problem, das ausgehend von einer gegebenen Anfangsverteilung und einer gewünschten Endverteilung nach dem günstigsten Transport sucht, bei dem die Anfangs- in die Endverteilung überführt wird.

Die Anfangs- und Endverteilungen werden durch Dichtefunktionen ([[Wahrscheinlichkeitsmaß]]e) <math>\mu</math> und <math>\nu</math> auf [[metrischer Raum|metrischen Räumen]] <math>X</math> und <math>Y</math> modelliert. Die Kostenfunktion ist eine gegebene Funktion <math>c:X\times Y\rightarrow\R</math>. Der Wert <math>c(x,y)</math> gibt die Kosten für den Transport von <math>x</math> nach <math>y</math> an. Ein typisches Beispiel ist <math>c(x,y)= \| x-y \|</math>, falls <math>X</math> und <math>Y</math> Teilmengen eines [[Normierter Vektorraum|normierten Vektorraumes]] sind, oder allgemeiner <math>c(x,y)=h(x-y)</math> für eine differenzierbare Funktion <math>h</math>.

== Monge-Problem ==

Gesucht wird eine [[Injektivität|injektive]] Abbildung <math>r:X\rightarrow Y</math> mit <math>\mu(r^{-1}(B))=\nu(B)</math> für alle [[Messbare Menge|messbaren Mengen]] <math>B\subset Y</math>, welche das Funktional
: <math>\int_X c(x,r(x))d\mu(x)</math>
minimiert.

Es gibt Beispiele, in denen das Monge-Problem keine Lösung besitzt, z. B. falls <math>\mu</math> ein [[Diracmaß]] und <math>\nu</math> die Summe von mindestens zwei Diracmaßen ist.

== Kantorovich-Problem ==

Ein relaxiertes Problem wurde 1942 von Kantorovich betrachtet. Das Kantorovich-Problem sucht nach einem Wahrscheinlichkeitsmaß <math>\pi</math> auf dem [[Produkttopologie|Produktraum]] <math>X\times Y</math> mit
: <math>\pi(A\times Y)=\mu(A), \quad \pi(X\times B)=\nu(B)</math>
für alle [[Kompakter Raum|kompakten]] Mengen <math>A\subset X, B\subset Y</math>, welches das Funktional
: <math>\int_{X\times Y}c(x,y)d\pi(x,y)</math>
minimiert.

Kantorovich bewies, dass ein solches Wahrscheinlichkeitsmaß immer existiert.

Falls <math>X=Y=\R^n</math> und <math>c(x,y)=h(x-y)</math> für eine [[Konvexe Funktion|strikt konvexe Funktion]] h, dann ist die Lösung des Kantorovich-Problems von der Form
: <math>\pi=(\operatorname{id}, r)_*\mu</math>
für eine injektive Abbildung <math>r:X\rightarrow Y</math>. Insbesondere hat in diesem Fall auch das Monge-Problem eine Lösung.<ref>Wilfrid Gangbo, Robert J. McCann: [http://www.math.toronto.edu/mccann/papers/geometry.pdf ''The geometry of optimal transportation.''] In: ''Acta Mathematica.'' Bd. 177, Nr. 2, 1996, 113–161, (PDF; 2,8 MB), {{doi|10.1007/BF02392620}}.</ref>

== Wasserstein-Metriken ==
{{Hauptartikel|Wasserstein-Metrik}}
Für <math>p\ge 1</math> und Wahrscheinlichkeitsmaße <math>\mu,\nu</math> auf einem metrischen Raum X sei <math>\Gamma(\mu,\nu)</math> die Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße auf <math>X\times X</math> mit <math>\pi(A\times X)=\mu(A), \pi(X\times B)=\nu(B)</math> für alle kompakten Mengen <math>A,B \subset X</math>. Dann definiert
:<math>W_p(\mu,\nu):= \left( \inf_{\gamma \in \Gamma (\mu, \nu)} \int_{X \times X} d(x, y)^{p} \, \mathrm{d} \gamma (x, y) \right)^{1/p}</math>
den p-ten Wasserstein-Abstand zwischen <math>\mu</math> und <math>\nu</math>.

Der p-te Wasserstein-Abstand <math>W_p</math> definiert eine Metrik auf der Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße auf <math>X</math>, deren p-tes Moment endlich ist.

Wenn <math>X</math> eine konvexe Teilmenge des <math>\R^n</math> und <math>p>1</math> ist, dann sind die [[Geodäte]]n der p-ten Wasserstein-Metrik von der Form
: <math>t \mapsto (F_t)_*\pi</math>,
wobei <math>F_t:X\times X\rightarrow X</math> die durch <math>F_t(x,y)=tx+(1-t)y</math> definierte Abbildung und <math>\pi</math> die Lösung des Kantorovich-Problems zu <math>c(x,y)=d(x,y)^p</math> ist.

== Ricci-Krümmungs-Schranken ==

Es sei M eine kompakte Riemannsche Mannigfaltigkeit mit dem durch die Volumenform gegebenen Wahrscheinlichkeitsmaß. Dann hat M genau dann nichtnegative Ricci-Krümmung, wenn es zu je zwei Wahrscheinlichkeitsmaßen <math>\mu,\nu</math> eine verbindende Geodäte (bzgl. der W<sub>2</sub>-Wasserstein-Metrik) gibt, entlang derer das Entropie-Funktional [[Konvexe und konkave Funktionen|konvex]] ist.

In Verallgemeinerung dieser Eigenschaft gaben Lott und Villani sowie Sturm eine synthetische Definition nichtnegativer Ricci-Krümmung in allgemeinen metrischen Räumen.

== Quellen ==

<references />

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Maßtheorie]]
[[Kategorie:Differentialgeometrie]]
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Metrische Geometrie]]

Optimaler Transport - Versionsgeschichte

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