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2026-04-17T11:08:25Z

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Die '''Theorie der optimalen Steuerungen''' ({{enS|optimal control theory}}) ist eng verwandt mit der [[Variationsrechnung]] und der [[Optimierung (Mathematik)|Optimierung]]. Eine optimale Steuerung <math>u</math> ist eine Funktion, welche eine gegebene [[Zielfunktion]] unter einer [[Differentialgleichung]]s-Nebenbedingung und eventuell noch weiteren Restriktionen minimiert oder maximiert.

Zum Beispiel könnte ein Autofahrer versuchen, ein Ziel in möglichst geringer Zeit zu erreichen.
Wann schaltet der Autofahrer am besten? Möglicherweise müssen gewisse Nebenbedingungen, z. B. Geschwindigkeitsbegrenzungen, eingehalten werden. Ein anderer Autofahrer versucht dagegen vielleicht, den Kraftstoffverbrauch zu minimieren, d. h., er wählt eine andere Zielfunktion.

Wesentliche Grundlagen der Theorie wurden von [[Lew Pontrjagin]] in der UdSSR und [[Richard Bellman]] in den USA gelegt.

== Das Problem der optimalen Steuerung ==
Es gibt mehrere mathematische Formulierungen der Aufgabenstellung, wobei wir hier eine möglichst allgemeine Form angeben.

Seien <math>\mathcal{C}_a\colon\R^{n}\rightarrow \R, \mathcal{C}_b\colon\R^{n}\rightarrow \R, f\colon[a,b]\times\R^{n}\times\R^{m} \rightarrow \R^{n}, g\colon[a,b]\times\R^{n}\times\R^{m} \rightarrow \R</math> und <math>U\subset\R^{m}</math>.

Gesucht ist ein ''Zustand'' <math>x\colon\R \rightarrow \R^{n}</math> sowie eine ''Steuerung'' <math>u\colon\R \rightarrow \R^{m}</math>, sodass gilt:

:<math>\mathcal{C}_a(x(a))+\mathcal{C}_b(x(b))+\int_{a}^{b} g(t,x(t),u(t))dt \rightarrow \min</math>

unter den Nebenbedingungen:

# <math>\dot{x}(t)=f(t, x(t),u(t)),~x(a)=x_a</math>
# <math>u(t) \in U</math> für <math>t \in [a,b]</math>

Ein <math>u</math>, das diese Gleichung erfüllt, wird als ''optimale Steuerung'' bezeichnet.

Häufig treten zusätzlich noch sogenannte '''Zustandsbeschränkungen''' auf, d. h., der Zustand zu einem bestimmten Zeitpunkt ist zusätzlich gewissen Restriktionen unterworfen.

Von Interesse sind in erster Linie die folgenden Fragestellungen:
# Existieren Lösungen und wie kann man sie berechnen?
# Welche [[Notwendigkeit|notwendigen Bedingungen]] gibt es? Hierbei ist vor allem das Maximumprinzip von [[Lew Semjonowitsch Pontrjagin|Pontrjagin]] von Bedeutung.
# Wann sind die notwendigen Bedingungen sogar [[hinreichend]]?

Während die Variationsrechnung Konkurrenzfunktionen lediglich auf offenen Mengen zuließ, wurden in den Optimalsteuerungen allgemeinere Voraussetzungen (u. a. abgeschlossene Mengen für die Steuerfunktionen <math>u</math>) betrachtet mit einem anderen Formalismus, der zwischen Steuerfunktionen <math>u(t)</math> und Zustandsfunktionen <math>x(t)</math> unterscheidet. Das Pontrjaginsche Maximumprinzip ist eine Verallgemeinerung der Weierstraß'schen Bedingung der Variationsrechnung. Für das Maximumprinzip waren neue Beweismethoden (u. a. Separation von Kegeln, Nadelvariationen) erforderlich.

== Ökonomische Anwendungen ==

Die Methodik der optimalen Steuerung wurde schon früh auf praktische Bereiche der Ökonomie angewandt. [[Robert Dorfman]] legte 1969 eine ökonomische Interpretation der Theorie der Optimalen Steuerung vor.<ref>[https://www.andrew.cmu.edu/course/88-737/optimal_control/papers/dorfman.pdf An Economic Interpretation of Optimal Control Theory] PDF-Version des Artikels. In: ''The American Economic Review''.</ref> Den Ausgangspunkt zur Lösung eines solchen Problems bildet die [[Hamilton-Funktion (Kontrolltheorie)|Hamilton-Funktion]] in der Kontrolltheorie (also Teil des Maximumprinzips).

=== Beispiel ===

Eine Firma möchte ihre Gewinne über eine bestimmte Zeitperiode maximieren. Zu jedem Zeitpunkt <math>t</math> besitzt sie einen Kapitalstock aufgrund früheren Verhaltens, <math>k(t)</math>. Gegeben diesen Kapitalstock <math>k(t)</math> kann die Firma eine Entscheidung <math>x(t)</math> treffen (z. B. bzgl. des Outputs, Preises etc.). Gegeben <math>k(t)</math> und <math>x(t)</math> erhält die Firma pro Zeitspanne einen Gewinn <math>u(k(t),x(t))</math>. Es lässt sich dann für ein Zeitintervall <math>[t,T]</math> ein dynamisches Optimierungsproblem formulieren:<ref>{{Toter Link |datum=2019-05 |url=https://community.bus.emory.edu/personal/pthom2/Documents/modeling_chapter2.pdf |text=Optimal Control}} (PDF; 307 kB) ''Chapter 2'' aus einem Skript ''Dynamic Modeling'' von Peter Thompson. Goizueta Business School.</ref>

:<math>
\begin{align}
W(k(t), \vec x,t) &= \int_t^T u(k( \tau),x( \tau), \tau) d \tau \\
\dot k(t) &= f(k(t), x(t), t)
\end{align}
</math>

Dieses kann ggf. um einen Abzinsungsfaktor erweitert werden.

== Anwendung in der Quantenphysik ==
Die optimale Steuerung wird in verschiedenen Bereichen der [[Naturwissenschaft]] verwendet, um zeitliche Abläufe zu verbessern. In der [[Quantenphysik]] kann es sich bei der Zielfunktion zum Beispiel um die [[Fidelität]] zu einem erwünschten Zustand oder die [[Empfindlichkeit (Technik)|Sensitivität]] eines Quantensensors handeln.<ref>{{Literatur |Autor=Steffen J. Glaser, Ugo Boscain, Tommaso Calarco, Christiane P. Koch, Walter Köckenberger |Titel=Training Schrödinger’s cat: quantum optimal control: Strategic report on current status, visions and goals for research in Europe |Sammelwerk=The European Physical Journal D |Band=69 |Nummer=12 |Datum=2015-12 |ISSN=1434-6060 |DOI=10.1140/epjd/e2015-60464-1 |Seiten=279 |Online=https://link.springer.com/article/10.1140%2Fepjd%2Fe2015-60464-1 |Abruf=2021-01-15}}</ref>

== Siehe auch ==
* [[Kontrolltheorie]]
* [[MPEC|Mathematical Programs with Equilibrium Constraints]]

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=B. S. Mordukhovich
|Titel=Variational Analysis and Generalized Differentiation, I: Basic Theory, II: Applications
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=Berlin
|Jahr=2006
}}
* {{Literatur
|Autor=Michael Plail
|Titel=Die Entwicklung der optimalen Steuerungen
|Verlag=Vandenhoeck und Ruprecht Verlag
|Ort=Göttingen
|Jahr=1998
}}
* {{Literatur
|Autor=L. S. Pontrjagin
|Titel=Mathematische Theorie optimaler Prozesse
|Verlag=Oldenbourg Verlag
|Ort=Wien
|Jahr=1964
}}

== Weblinks ==
* Robert Dorfman. ''An Economic Interpretation of Optimal Control Theory''. The American Economic Review. Volume 59. Issue 5 (Dec., 1969), 817–831. [https://www.andrew.cmu.edu/course/88-737/optimal_control/papers/dorfman.pdf Online-Version] (PDF; 1,9 MB)

[[Kategorie:Optimierung]]
[[Kategorie:Regelungstheorie]]

Optimale Steuerung - Versionsgeschichte

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