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2023-05-12T09:11:08Z

Abkürzung korrigiert, Kleinkram

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Eine '''Operatornorm''' ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der [[Funktionalanalysis]]. Die Operatornorm verallgemeinert die Idee, einem Objekt eine Länge zuzuordnen, auf die Menge der [[Linearer Operator|linearen Operatoren]]. Sind die zu betrachtenden Operatoren [[Stetige Funktion|stetig]], so ist die Operatornorm eine echte [[Norm (Mathematik)|Norm]], andernfalls kann die Operatornorm den Wert unendlich annehmen. Die Operatornorm einer [[lineare Abbildung|linearen Abbildung]] zwischen endlichdimensionalen [[Vektorraum|Vektorräumen]] ist nach Wahl einer [[Basis (Vektorraum)|Basis]] eine [[natürliche Matrixnorm]].

== Definition ==
Seien <math>V</math> und <math>W</math> [[Normierter Raum|normierte Vektorräume]] und sei <math>f\colon V \rightarrow W</math> ein [[linearer Operator]]. Dann ist die Operatornorm
:<math> \| {\cdot} \| \; \colon \; \{f\colon V \to W \mid f\ \text{linear} \} \to \R^+_0 \cup \{\infty\}</math>

bezüglich der [[Norm (Mathematik)|Vektornormen]] <math>\| \cdot \|_V</math> und <math>\| \cdot \|_W</math> durch
:<math> \|f\| := \inf \left\{c\ge 0 \mid \forall x\in V\colon \|f(x)\|_W \le c\,\|x\|_V\right\}</math>

definiert. Dies ist äquivalent zu
:<math>\|f\| = \sup_{x \in V\setminus\{0\}} \frac{\|f(x)\|_W}{\|x\|_V} = \sup_{\|x\|_V = 1} \|f(x)\|_W = \sup_{\|x\|_V \leq 1} \|f(x)\|_W.</math>
Man beachte, dass die Operatornorm von verschiedenen Autoren unterschiedlich notiert wird. Üblich sind unter anderem auch <math>\|f\|_{op}</math> oder auch die explizite Nennung des Raums, in dem der Operator lebt, z. B. <math>\|f\|_{L(V, W)}</math> für lineare Operatoren von <math>V</math> nach <math>W</math> oder noch konkreter <math>\|f\|_{L(C(K), \mathbb{R})}</math> für lineare Funktionale (also lineare Operatoren auf <math>\mathbb{R}</math>) vom Vektorraum stetiger Funktionen auf kompaktem Intervall in die reellen Zahlen.

Unter Umständen wird die Operatornorm auch nur für stetige Operatoren definiert. Sie ist dann (als lineare Abbildung zwischen normierten Räumen) automatisch beschränkt (s. u.) und auch nur dann tatsächlich eine Norm.

== Eigenschaften ==
Die Operatornorm besitzt neben den für Normen charakteristischen drei Eigenschaften [[Definitheit]], [[Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und [[Dreiecksungleichung]] noch weitere. Dies sind nicht zuletzt:

=== Gültigkeit der fundamentalen Ungleichung ===
Ist <math>f\colon V \to W</math> ein linearer Operator, so gilt für <math>x \in V </math> stets
:<math> \|f(x)\|_W \leq \|f\| \cdot {\|x\|_V}. </math>

=== Submultiplikativität ===
Sind <math>f\colon V \to W</math> und <math>g\colon X \rightarrow V</math> lineare Operatoren, so sind die jeweiligen Operatornormen zusätzlich zu den üblichen Normeigenschaften [[Submultiplikativität|submultiplikativ]]. Es gilt also
:<math> \|f \circ g\| \leq \|f\| \cdot \|g\|. </math>

=== Beschränktheit ===
Die Operatornorm [[Lineare Abbildung|linearer Abbildungen]] zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen ist stets endlich, da die [[Einheitskugel]] eine [[Kompakter Raum|kompakte Menge]] ist, die abgeschlossen und insbesondere beschränkt ist (siehe äquivalente Formulierung der Operatornorm oben). Somit ist im endlichdimensionalen Fall die Operatornorm immer eine echte Norm. Für unendlichdimensionale Vektorräume gilt dies nicht immer. Operatoren, deren Norm unendlich als Wert annimmt, werden [[Unbeschränkter Operator|unbeschränkt]] genannt. Auf Räumen mit solch unbeschränkten Operatoren ist die Operatornorm streng genommen keine echte Norm. Man kann zeigen, dass ein linearer Operator zwischen normierten Räumen genau dann eine endliche Operatornorm hat, wenn er [[Beschränkter Operator|beschränkt]] und damit [[Stetige Funktion|stetig]] ist. Insbesondere wird dadurch der Raum der stetigen linearen Operatoren zu einem [[Normierter Raum|normierten Vektorraum]].

=== Vollständigkeit ===
Falls <math>W</math> [[Vollständiger Raum|vollständig]] ist, ist der Operatorraum <math>L(V,W)</math> mit der Operatornorm ebenfalls vollständig, selbst wenn <math>V</math> nicht vollständig ist.

== Beispiele ==
=== Natürliche Matrixnormen ===
{{Hauptartikel|Natürliche Matrixnorm}}

Da man jeden linearen Operator zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen mithilfe einer Basis als Matrix <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> darstellen kann, sind spezielle [[Matrixnorm]]en, die natürlichen oder [[Natürliche Matrixnorm|induzierten Matrixnormen]], naheliegende Beispiele für Operatornormen. Die wichtigsten dieser natürlichen Matrixnormen sind die drei folgenden.

* Die [[Spaltensummennorm]] ist die durch die [[Norm (Mathematik)#Summennorm|Summennorm]] induzierte Norm:
::<math>\| A \|_1 = \max_{\| x \|_1 = 1} \| Ax \|_1 = \max_{j=1, \ldots ,n} \sum_{i=1}^m | a_{ij} |.</math>
::Sie entspricht der maximalen Betragssumme aller Spalten der Matrix.

* Die [[Spektralnorm]] ist die durch die [[euklidische Norm]] induzierte Norm:
::<math>\| A \|_2 = \max_{\| x \|_2 = 1} \| Ax \|_2 = \sqrt{\lambda_{\max}(A^H A)}.</math>
::Sie entspricht der Quadratwurzel des betragsmäßig größten Eigenwerts von <math>A^{H} A</math>, wobei <math>A^{H}</math> die [[adjungierte Matrix]] (im reellen Fall [[transponierte Matrix]]) zu <math>A</math> ist.

* Die [[Zeilensummennorm]] ist die durch die [[Maximumsnorm]] induzierte Norm:
::<math>\| A \|_\infty = \max_{\| x \|_\infty = 1} \| Ax \|_\infty = \max_{i=1, \ldots ,m}{\sum_{j=1}^n | a_{ij} |}.</math>
::Sie entspricht der maximalen Betragssumme aller Zeilen der Matrix.

Jedoch ist nicht jede Matrixnorm eine Operatornorm. Die [[Gesamtnorm]] und die [[Frobeniusnorm]] sind beispielsweise keine Operatornormen.

=== Der Folgenraum l<sup>2</sup> ===
Sei <math>s = (s_i)_{i \in \N}</math> eine beschränkte [[Folge (Mathematik)|Folge]] und damit ein Element des [[Folgenraum]]s <math>\ell^\infty</math>, der mit der Norm <math>\textstyle \| s \|_{\infty} = \sup _n |s_n|</math> versehen ist. Definiere nun einen Multiplikationsoperator <math>T_s\colon \ell^2 \to \ell^2</math> durch <math>\textstyle a \mapsto (s_i \cdot a_i)_{i \in \N}</math>. Dann gilt für die entsprechende Operatornorm

:<math>\|T_s\| = \sup_{\|a\|_{\ell^2} \neq 0} \frac{\|T_s a\|_{\ell^2}}{\|a\|_{\ell^2}} = \sup_{\|a\|_{\ell^2} = 1} \sqrt{\sum_{i=1}^\infty |s_i \cdot a_i|^2} = \sup_i |s_i| = \|s\|_{\ell^\infty}.</math>

=== Norm eines (Pseudo-)Differentialoperators ===
Seien <math>s, \alpha > 0</math> und sei <math>P \colon H^s(\Omega) \to H^{s+\alpha}(\Omega)</math> ein beschränkter linearer Operator zwischen [[Sobolev-Raum|Sobolev-Räumen]]. Solche Operatoren können als [[Pseudodifferentialoperator]]en dargestellt werden. Unter bestimmten Umständen, insbesondere wenn die Ordnung der Sobolev-Räume ganzzahlig ist, sind die Pseudodifferentialoperatoren ([[Schwache Ableitung|schwache]]) [[Differentialoperator]]en. Der Raum der (Pseudo-)Differentialoperatoren kann mit einer Operatornorm versehen werden. Da die Norm im Sobolev-Raum durch <math>\|f\|_{H^s} = \|(1 + |\cdot|^2)^{\frac{s}{2}} \cdot \mathcal{F}(f)\|_{L^2}</math> gegeben ist, ist die Operatornorm für die (Pseudo)differentialoperatoren durch

:<math>\|P\| = \sup_{\|f\|_{H^s} \neq 0} \frac{\|P f\|_{H^{s + \alpha}}}{\|f\|_{H^s}}
= \sup_{\|f\|_{H^s} \neq 0} \frac{\|(1 + |\cdot|^2)^{\frac{s+\alpha}{2}} \cdot \mathcal{F}(P f)\|_{L^2}} {\|(1 + |\cdot|^2)^{\frac{s}{2}} \cdot \mathcal{F}(f)\|_{L^2}}</math>

gegeben.

== Literatur ==
* [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis'', Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Norm (Mathematik)]]

Operatornorm - Versionsgeschichte

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