imported>Bahnwerker: /* Weblinks */ webarchiv

2026-04-09T07:40:15Z

Weblinks: webarchiv

Neue Seite

Die '''Operatorenrechnung nach Heaviside''' beschreibt eine nach [[Oliver Heaviside]] benannte empirische [[Operatorenrechnung]], welche 1887
in seinem berühmten Werk {{lang|en|„Electromagnetic Theory“}} veröffentlicht wurde. ({{EnS|''operator calculus''}} oder {{lang|en|''operational calculus''}})

== Allgemeines ==
Der Sinn der Operatorenrechnung ist es bei der Lösung von [[Differentialgleichung]]en die Operation des [[Differentialrechnung|Differenzierens]] durch die algebraische Operation des [[Multiplikation|Multiplizierens]] mit einem [[Operator (Mathematik)|Operator]] zu ersetzen und damit eine meist relativ schwierig lösbare Differentialgleichung in eine leichter lösbare [[algebraische Gleichung]] zu „transformieren“. Heaviside baute, basierend auf Vorarbeiten von [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] und [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]], als erster die Operatorenrechnung zu einem [[Kalkül]] aus und löste damit viele der zur damaligen Zeit anstehenden theoretischen Probleme der [[Elektrotechnik]].

Dazu verallgemeinerte er die [[komplexe Wechselstromrechnung]], in der <math>\mathrm{j}\omega=\frac {d}{dt}</math> die Differentiation ersetzt, indem er den [[Differentialoperator]] <math>p=\frac {d}{dt}</math> einführt und ihn ohne tiefere Begründung wie einen multiplikativen Faktor nutzt:

:<math>p\cdot f(t)=\frac {d}{dt} f(t)=\frac {df(t)}{dt}=f'(t)</math>

Schließlich trennt er <math>p</math> von den Zeitfunktionen und gibt den entstehenden Ausdrücken eine „eigene Existenz“ als Operator. Intuitiv folgert er, dass der Kehrwert <math>\frac {1}{p}</math> logischerweise den Operator für die Integration darstellt.

Die Heavisidesche Operatorenrechnung (auch als Heaviside-Kalkül bezeichnet) stellt eine Verallgemeinerung der [[Erweiterte symbolische Methode der Wechselstromtechnik|erweiterten symbolischen Methode]] auf nichtstationäre Signale dar und ist damit ein Vorläufer der modernen Operatorenrechnungen, wie der [[Laplacetransformation]] und der [[Operatorenrechnung nach Mikusiński]].

== Beispiel ==
[[Datei:Tiefpass.svg|mini|RC-Glied]]
Es soll der Verlauf der Spannung von ua(t) am Kondensator eines [[RC-Glied]]es berechnet werden, wenn an dessen Eingang die Gleichspannung Ue zum Zeitpunkt t = 0 „eingeschaltet“ wird. Mit der Schreibweise von Heaviside für den [[Heaviside-Funktion|Einheitssprung]] als „fette Eins“ gilt also ue(t) = Ue·'''1'''.

Aus der Schaltung erhält man die Beziehung
:<math>i_C=C\cdot \frac{du_a}{dt}=\frac{u_e-u_a}{R}</math>

Daraus folgt die inhomogene DGL für t ≥ 0:
:<math>RC\cdot \frac{du_a}{dt}+u_a=U_e</math>.

Heaviside setzt nun den Differentialoperator p ein:
:<math>RC\cdot p\cdot u_a+u_a=U_e</math>

Er klammert aus
:<math>(RC\cdot p+1)\cdot u_a=U_e</math>
… und löst nach der gesuchten Größe auf
:<math>u_a=\frac{U_e}{1+pCR}</math>.

Damit ist zwar der „Operator für das Ergebnis“ gefunden, aber was bedeutet dieser Ausdruck? Heaviside versucht die Lösung durch Reihenentwicklung:

:<math>u_a=\frac{U_e}{pCR}\cdot \frac{1}{1+\frac{1}{pCR}}=\frac{U_e}{pCR}\cdot \left(1-\frac{1}{pCR}+\frac{1}{(pCR)^2}-\frac{1}{(pCR)^3}+...\right)</math><math>=U_e\cdot \left(\frac{1}{pCR}-\frac{1}{(pCR)^2}+\frac{1}{(pCR)^3}-\frac{1}{(pCR)^4}+...\right)</math>

Indem man <math>\frac{1}{p}</math> als Integrationsoperator (angewendet auf den Einheitssprung) interpretiert, erhält man die Reihenglieder (die aber für t < 0 verschwinden):
:<math>\frac{1}{pCR}\cdot 1=\frac{1}{RC}\int ^{t}_{0}1\cdot d\tau=t/RC </math>
:<math>\frac{1}{(pCR)^2}\cdot 1=\frac{1}{pCR}\cdot \left(\frac{1}{pCR}\cdot 1\right)=\frac{1}{(RC)^2}\int ^{t}_{0}\tau\cdot d\tau=\frac{(t/RC)^2}{2}</math>
und allgemein
:<math>\frac{1}{(pCR)^n}\cdot 1=\frac{(t/RC)^n}{n!}</math>.
Also
:<math>u_a=U_e\cdot \left(t/RC-\frac{(t/RC)^2}{2}+\frac{(t/RC)^3}{6}-\frac{(t/RC)^4}{24}+...\right)</math><math>=U_e\cdot \left(1-\left(1-t/RC+\frac{(t/RC)^2}{2}-\frac{(t/RC)^3}{6}+\frac{(t/RC)^4}{24}-...\right)\right)</math>
Hier muss man nun – wie Heaviside – „mit geschultem Auge“ erkennen, dass sich hinter dieser Reihe die [[Exponentialfunktion]] (mit negativem Argument) versteckt und erhält damit die in sich geschlossene Lösung (für t ≥ 0):
:<math>u_a=U_e\cdot \left(1-e^{-t/RC}\right)</math>.

== Die Übertragungsfunktion ==
Heaviside definiert nun als Charakteristik des Systems eine von den Signalen unabhängige [[Übertragungsfunktion]] als Operator. Für das o. g. Beispiel erhält man:
:<math>H=\frac{u_a}{u_e}=\frac{1}{1+pCR}</math>.
Diese Definition ist identisch mit der Übertragungsfunktion im Sinne der [[Erweiterte symbolische Methode der Wechselstromtechnik|erweiterten symbolischen Methode der Wechselstromtechnik]] und anderer Operatorenrechnungen und hat noch heute überragende Bedeutung.

== Deutung durch Zerlegung ==
Heaviside deutete die in Operatorform erhaltenen Ergebnisse durch [[Partialbruchzerlegung]] oder [[Reihenentwicklung]] (wie im obigen Beispiel). Für die Partialbruchzerlegung entwickelte Heaviside eine zuverlässige Methode, die selbst in den modernen Operatorenrechnungen noch als [[Heavisidescher Entwicklungssatz]] benutzt wird. Praktisch gibt es dabei allerdings Probleme mit der Bestimmung der Wurzeln, wenn der Grad des zu zerlegenden Nenner-Polynoms größer als 4 ist, wenn eine Wurzel 0 ist oder mehrfach auftritt.

Im Gegensatz dazu ist die Zerlegung durch Reihenentwicklung prinzipiell recht schwierig und, je nach Ansatz, verschieden möglich. Das Ergebnis wird mehrdeutig und damit ist diese Methode „für die praktische Ingenieurtätigkeit nicht gut geeignet“. Zerlegt man im o. g. Beispiel den Operator wie folgt in eine Potenzreihe
:<math>u_a=U_e\cdot \frac{1}{1+pCR}=U_e\cdot \left(1-pCR+(pCR)^2-(pCR)^3+...\right)</math>
und interpretiert p als Differentialoperator, dann erhält man ein falsches bzw. sinnloses Ergebnis. Um sicherzugehen, wären mathematisch umfangreiche Untersuchungen zur [[Grenzwert (Folge)|Konvergenz]] bzw. Divergenz der Potenzreihen erforderlich.

== Kritik ==
Heaviside betrachtet die Mathematik als [[Experimentalwissenschaft]] und meinte, dass der Erfolg das Verfahren rechtfertigt. Er machte keinen Unterschied zwischen den Operatoren und den Objekten, auf welche er sie anwendete. Dazu wäre eine mathematische [[Körper (Algebra)|Körpertheorie]] nötig gewesen, die aber zur damaligen Zeit noch nicht ausgearbeitet war. Heaviside setzte immer (implizit) verschwindende Anfangsbedingungen der Differentialgleichungen voraus, also „entladene Energiespeicher“ zum Zeitpunkt 0. Obwohl Heaviside viele damals aktuelle Probleme mit seiner Operatorenrechnung löste, konnte sie sich nicht durchsetzen und war vielen „Angriffen“ der Mathematiker ausgesetzt. Erst durch die Interpretation der Operatoren mit Hilfe der [[Laplacetransformation]] konnte sich die Operatorenrechnung auf der Basis der [[Integraltransformation]] und der [[Funktionentheorie]] in Theorie und Praxis etablieren. Schließlich wurde 1950 vom Mathematiker [[Jan Mikusiński]] eine [[Operatorenrechnung nach Mikusiński|Operatorenrechnung „ohne Laplacetransformation“]] mit algebraischen Methoden mathematisch exakt begründet.

== Weblinks ==
* [https://web.archive.org/web/20080201075132/https://myreckonings.com/wordpress/2007/12/07/heavisides-operator-calculus/ Heaviside’s Operator Calculus] (myreckonings.com, 7. Dezember 2007, englisch, archiviert im [[Internet Archive]] am 1. Februar 2008)

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor = Oliver Heaviside
|Titel = Electromagnetic Theory, Volume 1 (Classic Reprint)
|Verlag = Forgotten Books | Jahr = 2010 | ISBN = 978-1-44008252-8 | Online = [https://archive.org/details/electromagnetict01heavrich Online] }}
* {{Literatur
|Autor = Oliver Heaviside
|Titel = Electromagnetic Theory, Volume 2 (Classic Reprint)
|Verlag = Forgotten Books | Jahr = 2010 | ISBN = 978-1-44008877-3 | Online = [https://archive.org/details/electromagnetict02heavrich Online] }}
* {{Literatur
|Autor = Oliver Heaviside
|Titel = Electromagnetic Theory, Volume 3 (Classic Reprint)
|Verlag = Forgotten Books | Jahr = 2010 | ISBN = 978-1-44008253-5 | Online = [https://archive.org/details/electromagnetict03heavuoft Online] }}
* {{Literatur
|Autor=F. H. Lange
|Titel=Signale und Systeme - Band 1: Spektrale Darstellung
|Jahr=1965 |Ort=Berlin |Verlag=Verlag Technik}}
* {{Literatur
|Autor=[[Gerhard Wunsch]]
|Titel=Geschichte der Systemtheorie
|Jahr=1985 |Ort=Leipzig |Verlag=Akademie-Verlag.}}

[[Kategorie:Systemtheorie (Kybernetik)]]
[[Kategorie:Theoretische Elektrotechnik]]

Operatorenrechnung nach Heaviside - Versionsgeschichte

imported>Bahnwerker: /* Weblinks */ webarchiv