imported>Drahkrub: Änderung 253938264 von Jolokob rückgängig gemacht: Oprechnung nach Mikusinski ist bereits im Abschnitt darüber mit Hauptartikelhinweis verlinkt

2025-03-06T07:56:18Z

Änderung 253938264 von Jolokob rückgängig gemacht: Oprechnung nach Mikusinski ist bereits im Abschnitt darüber mit Hauptartikelhinweis verlinkt

Neue Seite

{{Dieser Artikel|behandelt Operatoren im Kontext der [[Signaltheorie]]. Für allgemeine Operatoren und Theorie siehe [[Operator (Mathematik)]].}}

Unter '''Operatorenrechnung''' versteht man in der [[Elektrotechnik]] und der [[Systemtheorie (Ingenieurwissenschaften)|Systemtheorie der Nachrichtentechnik]] verschiedene historisch gewachsene mathematische [[Kalkül]]e zur Beschreibung des Verhaltens von [[Lineares zeitinvariantes System|linearen zeitinvarianten Systemen]].<ref>{{Literatur |Autor=[[Alfred Mertins]] |Titel=Signaltheorie: Grundlagen der Signalbeschreibung, Filterbänke, Wavelets, Zeit-Frequenz-Analyse, Parameter- und Signalschätzung |Verlag=Springer Fachmedien Wiesbaden |Ort=Wiesbaden |Datum=2020 |ISBN=978-3-658-29647-6 |DOI=10.1007/978-3-658-29648-3 |Online=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-658-29648-3 |Abruf=2022-11-10}}</ref> Anstelle der „klassischen“ Beschreibung durch [[Differentialgleichung]]en und [[Differentialgleichungssystem]]e und deren aufwändiger Lösung beschreibt die Operatorenrechnung das Verhalten der elementaren Bauelemente und der komplexen Systeme durch Operatoren und führt damit die Differentialgleichungen auf [[algebraische Gleichung]]en zurück. Grundlegend wird in der Applikation heutzutage von '''Transformationen''', wie z. B. der [[Laplace-Transformation|Laplace-]], [[Fourier-Transformation|Fourier-]] oder [[Z-Transformation]], gesprochen.<ref>{{Literatur |Autor=Helmut Ulrich, Stephan Ulrich |Titel=Laplace-Transformation, Diskrete Fourier-Transformation und z-Transformation: Grundlagen und Anwendungen zu Elektrotechnik, Informatik, Kommunikations- und Regelungstechnik |Verlag=Springer Fachmedien Wiesbaden |Ort=Wiesbaden |Datum=2022 |ISBN=978-3-658-31876-5 |DOI=10.1007/978-3-658-31877-2 |Online=https://link.springer.com/10.1007/978-3-658-31877-2 |Abruf=2022-11-10}}</ref>

Mathematisch liegt dabei ein in den Dimensionen endlicher [[Funktionenraum|Funktionenvektorraum]] vor, welcher sich immer auch explizit algebraisch formulieren lässt.<ref>{{Literatur |Autor=[[Sadri Hassani]] |Titel=Operator Algebra |Sammelwerk=Mathematical Physics |Verlag=Springer International Publishing |Ort=Cham |Datum=2013 |Sprache=en |ISBN=978-3-319-01194-3 |DOI=10.1007/978-3-319-01195-0_4 |Seiten=101–136 |Online=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-01195-0_4 |Abruf=2022-11-10}}</ref>

Ein System wird dabei durch den folgenden einfachen algebraischen Zusammenhang beschrieben:

: <math>\mathrm{Wirkung = Systemcharakteristik \star Ursache}</math>

In allen Operatorenrechnungen verschwindet der Unterschied zwischen den Signalen und den Systemcharakteristiken. Beide werden gleichwertig durch die jeweiligen Operatoren repräsentiert.

Die unterschiedlichen Operatorenrechnungen entstanden in der nachfolgend gegebenen historischen Reihenfolge:

== Die komplexe Wechselstromrechnung ==
{{Hauptartikel|Komplexe Wechselstromrechnung}}
Diese [[Komplexe Wechselstromrechnung|symbolische Methode der Wechselstromrechnung]] führt (als sogenannte „jω-Rechnung“) den komplexen [[Widerstandsoperator]] (und andere) ein, ist aber an stationäre [[sinus]]förmige Signale gebunden. Auch die Einführung der [[Komplexe Frequenz|komplexen Frequenz]] in der [[Erweiterte symbolische Methode der Wechselstromtechnik|erweiterten symbolischen Methode]] kann daran prinzipiell nichts ändern.

== Das Heaviside-Kalkül ==
{{Hauptartikel|Operatorenrechnung nach Heaviside}}
[[Oliver Heaviside]] erweiterte die symbolische Methode der Wechselstromrechnung empirisch für beliebige Signale, indem er den [[Differentialoperator]] <math>p = \frac{d}{dt}</math> einführte und ihn wie eine „normale“ Variable gebrauchte. Diese Heavisidesche Operatorenrechnung führte aber bei der („etwas schwierigen“) Interpretation manchmal (d. h. unter nicht konkret zu spezifizierenden Bedingungen) zu fehlerhaften Ergebnissen und war mathematisch nicht exakt begründet.

Eine Erweiterung und Verallgemeinerung des Heaviside-Kalküls stellt das ''HY-Kalkül'' dar<ref>{{Literatur |Autor=Wolfgang Mathis |Titel=Theorie nichtlinearer Netzwerke |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=1987 |ISBN=978-3-540-18365-5 |DOI=10.1007/978-3-642-83227-7 |Online=https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-83227-7 |Abruf=2022-11-10}}</ref>.

== Die Laplace-Transformation ==
{{Hauptartikel|Laplace-Transformation}}
Die von [[Thomas John l'Anson Bromwich]], [[Karl Willy Wagner]], [[John Renshaw Carson]] und [[Gustav Doetsch]] praxistauglich ausgearbeitete [[Laplace-Transformation]] versuchte diese Probleme (ausgehend von der [[Fourier-Transformation]]) durch eine [[Funktionaltransformation]] zu beseitigen. Dazu mussten aber die Menge der beschreibbaren Zeitfunktionen eingeschränkt und zur Begründung verschiedene [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwertprobleme]] gelöst werden. Die Beweisführung der Sätze der Laplace-Transformation ist oft mathematisch „sehr anspruchsvoll“.

== Die Operatorenrechnung nach Mikusiński ==
{{Hauptartikel|Operatorenrechnung nach Mikusiński}}
Diese algebraisch begründete Operatorenrechnung wurde in den 1950er Jahren vom polnischen Mathematiker [[Jan Mikusiński]] entwickelt.<ref>{{Literatur |Autor=R. G. Buschman |Titel=Mikusiński Operators |Sammelwerk=Integral Transformations, Operational Calculus, and Generalized Functions |Verlag=Springer US |Ort=Boston, MA |Datum=1996 |ISBN=978-1-4612-8548-9 |DOI=10.1007/978-1-4613-1283-3_2 |Seiten=63–80 |Online=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4613-1283-3_2 |Abruf=2022-11-10}}</ref> Sie baut auf der Heavisideschen Operatorenrechnung auf und begründet diese mit [[Algebraische Struktur|algebraischen Methoden]] mathematisch exakt neu.

Vorteile der Operatorenrechnung nach Mikusiński
* Ein Operator ist unmittelbar ein mathematisches Modell des Systems.
* Es ist kein Umweg über einen [[Bildbereich]] (Frequenzbereich) nötig, sondern man arbeitet immer im Originalbereich (Zeitbereich).
* Konvergenzuntersuchungen und daraus folgende Einschränkungen sind nicht notwendig.
* Die Arbeit mit Distributionen zur Beschreibung des [[Delta-Distribution|Dirac-Impulses]] (und ähnlicher Signale) ist nicht nötig.
Nachteile der Operatorenrechnung nach Mikusiński
* Die algebraische Begründung ist mathematisch sehr abstrakt und für wenig algebraisch ausgebildete „praktizierende Ingenieure“ unanschaulich.
* Der Übergang zur praktisch oft benutzten „imaginären Frequenz“ und damit die [[Frequenzspektrum|Spektraldarstellung]] von Signalen ist nicht sofort offensichtlich.

Deshalb und aufgrund der umfangreichen Literatur ist sowohl in der ''Praxis der Ingenieurtätigkeit'' als auch in der ''Lehre'' heute noch die [[Laplace-Transformation]] die meist angewandte Methode der Operatorenrechnung.

== Diskrete Operatorenrechnungen ==
Es gibt verschiedene natürliche und technische Systeme, bei denen die von den messbaren (physikalischen, chemischen, biologischen, …) Größen getragene Information nur zu diskreten Zeitpunkten Gültigkeit hat. Das gilt beispielsweise für (digitale) getaktete und (analoge) [[Abtastsystem]]e. Die daraus abstrahierten [[Zeitdiskretes Signal|diskontinuierlichen Signale]] (also Signale mit diskreter Zeit) werden in der Systemtheorie durch [[Folge (Mathematik)|Folgen]] modelliert. Diese treten dann beispielsweise als Eingangs-, Zustands- und Ausgangssignale von Systemen mit diskreter Zeit in Erscheinung. Solche zeitdiskreten Signale und Systeme werden meist durch [[Differenzengleichung]]en beschrieben, welche dann zum Zweck der [[Systemanalyse]] gelöst werden müssen. Sind diese zeitdiskreten Systeme linear und zeitinvariant, dann bietet es sich an, zur Lösung der Differenzengleichungen eine diskrete Operatorenrechnung zu verwenden – analog der oben genannten „kontinuierlichen“ Operatorenrechnungen zur Lösung von Differentialgleichungen.

Typische Verfahren sind die [[Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale]], die [[diskrete Fourier-Transformation]], die diskrete Laplace-Transformation<ref>{{Literatur|Autor=Heinz Dobesch|Jahr=1970|Titel=Laplace-Transformation von Abtastfunktionen – Einführung und Lösung von Differenzengleichungen|Reihe=Kleine Bibliothek für Funktechniker|Ort=Berlin|DNB=456467718|Verlag=Verlag Technik}}</ref>, die [[z-Transformation]] und die D-<ref>{{Literatur|Autor=Michael Gössel|Jahr=1972|Titel=Angewandte Automatentheorie II – Lineare Automaten und Schieberegister|Ort=Berlin|Verlag=Akademie-Verlag|DNB=730050629}}</ref> bzw. [[Zeta-Transformation]]<ref>{{Literatur|Autor=[[Gerhard Wunsch]], Helmut Schreiber|Jahr=1982|Titel=Digitale Systeme – Grundlagen|Ort=Berlin|DNB=840950934|Verlag=Verlag Technik}}</ref>. Insbesondere bei letztgenannten Transformationen werden die Folgen durch [[formale Potenzreihe]]n bzw. ihre [[Erzeugende Funktion|erzeugenden Funktionen]] in „Operatorform“ beschrieben.

Äquivalent zur Operatorenrechnung nach Mikusiński für stetige Signale gibt es eine entsprechende algebraische Begründung für diskrete Signale. Diese beruht auf der [[Diskrete Faltung|diskreten Faltung]] als [[Multiplikation]] des [[Ring (Algebra)|Folgenrings]], der Definition eines speziellen Operators (beispielsweise <math>d=[0,1,0,0,\dots]</math>) und der Konstruktion des [[Quotientenkörper]]s der Folgen.<ref>{{Literatur|Autor=[[Lothar Berg (Mathematiker)|Lothar Berg]]|Jahr=1962|Titel=Einführung in die Operatorenrechnung|DNB=456072675|Ort=Berlin|Verlag=Deutscher Verlag der Wissenschaften}}</ref>

== Literatur ==

=== Fachbücher ===

* {{Literatur |Autor=[[Alfred Mertins]] |Titel=Signaltheorie: Grundlagen der Signalbeschreibung, Filterbänke, Wavelets, Zeit-Frequenz-Analyse, Parameter- und Signalschätzung |Verlag=Springer Fachmedien Wiesbaden |Ort=Wiesbaden |Jahr=2020 |ISBN=978-3-658-29647-6 |DOI=10.1007/978-3-658-29648-3}}
* {{Literatur |Autor=Helmut Ulrich, Stephan Ulrich |Titel=Laplace-Transformation, Diskrete Fourier-Transformation und z-Transformation: Grundlagen und Anwendungen zu Elektrotechnik, Informatik, Kommunikations- und Regelungstechnik |Verlag=Springer Fachmedien Wiesbaden |Ort=Wiesbaden |Jahr=2022 |ISBN=978-3-658-31876-5 |DOI=10.1007/978-3-658-31877-2}}

=== Historische Werke ===
* {{Literatur
|Autor=Jan Mikusiński
|Titel=Operatorenrechnung
|Verlag=Deutscher Verlag der Wissenschaften
|Ort=Berlin
|Datum=1957}}
* {{Literatur
|Autor=F. H. Lange
|Titel=Signale und Systeme
|Band =Band 1: Spektrale Darstellung
|Verlag=Verlag Technik
|Ort=Berlin
|Datum=1965}}
* {{Literatur |Autor=Friedmar Stopp |Titel=Operatorenrechnung |Verlag=Vieweg+Teubner Verlag |Ort=Wiesbaden |Jahr=1992 |ISBN=978-3-8154-2030-0 |DOI=10.1007/978-3-663-10952-5}}
* {{Literatur
|Autor=[[Gerhard Wunsch]]
|Titel=Geschichte der Systemtheorie
|Verlag=Akademie-Verlag
|Ort=Leipzig
|Datum=1985}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Systemtheorie (Kybernetik)]]
[[Kategorie:Theoretische Elektrotechnik]]

Operatorenrechnung - Versionsgeschichte

imported>Drahkrub: Änderung 253938264 von Jolokob rückgängig gemacht: Oprechnung nach Mikusinski ist bereits im Abschnitt darüber mit Hauptartikelhinweis verlinkt