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2025-03-13T13:47:31Z

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'''Operatoralgebren''' werden im mathematischen Teilgebiet der [[Funktionalanalysis]] studiert. Es handelt sich dabei um Verallgemeinerungen der [[Matrix (Mathematik)|Matrizenalgebren]] der [[lineare Algebra|linearen Algebra]].

== Einführung ==
Sind <math>E,F,G</math> [[Normierter Raum|normierte]] Räume und <math>A:E\rightarrow F</math> und <math>B:F\rightarrow G</math> [[Beschränkter Operator|stetige]], [[Linearer Operator|lineare Operatoren]], so ist auch deren [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] ein stetiger, linearer Operator <math>B\circ A: E\rightarrow G</math>, und für die [[Operatornorm]]en gilt <math>\|B\circ A\| \le \|B\|\cdot \|A\|</math>.
Daher wird der Raum <math>L(E)</math> der stetigen, linearen Operatoren von <math>E</math> in sich mit der Komposition als Multiplikation zu einer [[Normierte Algebra|normierten Algebra]], die bei [[Vollständiger Raum|vollständigem]] <math>E</math> sogar eine [[Banachalgebra]] ist.

Diese Algebren und ihre Unteralgebren nennt man Operatoralgebren, wobei der Fall, dass <math>E</math> ein [[Hilbertraum]] ist, besonders intensiv untersucht wird. Manche Autoren verstehen unter dem Begriff Operatoralgebra nur diesen Hilbertraumfall, das gilt insbesondere für ältere Literatur. So tragen die grundlegenden von 1936 bis 1943 erschienenen Arbeiten von [[Francis J. Murray]] und [[John von Neumann]] den Titel ''On rings of operators''<ref>F.J. Murray, J. von Neumann: ''On rings of operators.'' Ann. of Math. (2), Band 37, 1936, Seiten 116–229.</ref><ref>F.J. Murray, J. von Neumann: ''On rings of operators II.'' Trans. Amer. Math. Soc., Band 41, 1937, Seiten 208–248</ref><ref>F.J. Murray, J. von Neumann: ''On rings of operators IV.'' Ann. of Math. (2), Band 44, 1943, Seiten 716–808.</ref> und behandeln Algebren, die man heute [[Von-Neumann-Algebra|Von-Neumann-Algebren]] nennt.

== Banachalgebren als Operatoralgebren ==
Jede normierte Algebra <math>\mathcal{A}</math> kann als Operatoralgebra dargestellt werden. Die sogenannte [[linksreguläre Darstellung]] von <math>\mathcal{A}</math>, die jedem Element <math>A</math> den Operator <math>\ell_A\in L(\mathcal{A})</math> zuordnet, wobei <math>\ell_A(B):= AB</math>, ist ein isometrischer Homomorphismus, falls <math>\mathcal{A}</math> ein [[Einselement]] besitzt. Ist kein Einselement vorhanden, so [[Adjunktion (Einselement)|adjungiere]] man eines.

Welche Homomorphismen von einer Banachalgebra in eine Operatoralgebra existieren, wird in der [[Darstellungstheorie]] untersucht.<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: ''Complete Normed Algebras''. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, Kapitel III, Representation Theory</ref> Ein besonderes Interesse gilt dabei [[Hilbertraum-Darstellung|Darstellungen auf Hilberträumen]], das heißt Homomorphismen in die Operatoralgebra über einem Hilbertraum, was zu den Begriffen ''Von-Neumann-Algebra'' und ''[[C*-Algebra]]'' führt.<ref>[[Jacques Dixmier]]: ''Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann'', Gauthier-Villars, 1957 (ISBN 2-87647-012-8)</ref><ref>Jacques Dixmier: ''Les C*-algèbres et leurs représentations'', Gauthier-Villars, 1969 (ISBN 2-87647-013-6)</ref>

== Bedeutung ==
Operatoralgebren über [[Banachraum|Banachräumen]], speziell über Hilberträumen, erlauben die Einführung zusätzlicher [[Topologie (Mathematik)|Topologien]] wie etwa die [[Starke Operatortopologie|starke]] oder [[schwache Operatortopologie]], wobei gerade letzterer wegen der [[Kompakter Raum|Kompaktheit]] der [[Einheitskugel]] eine besondere Bedeutung zukommt.<ref>[[Richard Kadison|R.V. Kadison]], [[John Ringrose|J. R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras'', Band I, 1983, ISBN 0-12-393301-3, Theorem 5.1.3</ref>

Ein weiteres Strukturelement von Operatoralgebren in <math>L(E)</math>, das in beliebigen Banachalgebren so nicht vorhanden ist, sind invariante [[Unterraum|Unterräume]], das heißt Unterräume <math>U\subset E</math>, für die <math>A(U)\subset U</math> gilt für einzelne oder alle Operatoren <math>A</math> der Algebra. Speziell im Hilbertraumfall sind die [[Orthogonalprojektion]]en auf invariante Unterräume im Allgemeinen nicht in der Operatoralgebra enthalten, sondern in deren [[Von-Neumann-Algebra|Kommutante]].

Die für die [[Quantenmechanik]] wichtigen [[Unbeschränkter Operator|unbeschränkten Operatoren]] auf einem Hilbertraum bilden zwar keine Algebra, können aber mit Operatoralgebren in Zusammenhang gebracht werden.<ref>R.V. Kadison, J. R. Ringrose: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras'', Band I, 1983, ISBN 0-12-393301-3, Kapitel 5.6</ref> Ferner kann man wegen des zu Grunde liegenden Raumes von [[Eigenvektor]]en sprechen, die in der Quantenmechanik die [[Zustand (Quantenmechanik)|Zustände]] repräsentieren.

Operatoralgebren können neben der Operatornorm weitere Normen tragen und bzgl. dieser vollständig sein. Auf Hilberträumen kommt die [[Adjungierter Operator|Adjunktion von Operatoren]] als zusätzliches Strukturelement hinzu und kann eine Involution auf den betrachteten Algebren definieren. Hier sind besonders die [[Schatten-Klasse]]n zu nennen<ref>[[Robert Schatten]]: ''Norm Ideals of Completely Continuous Operators.'' Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 2. Folge, ISBN 3-540-04806-5</ref>, wobei der Spezialfall der [[Spurklasseoperator]]en in Form gemischter Zustände in der mathematischen Formulierung der Quantenmechanik auftritt.

== Weblinks ==
*Higson, Roe: [http://www.personal.psu.edu/ndh2/math/Papers_files/Higson,%20Roe%20-%202006%20-%20Operator%20algebras.pdf Operator algebras]
== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Algebra (Struktur)]]

Operatoralgebra - Versionsgeschichte

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