imported>Christian1985: HC: Entferne Kategorie:Mathematischer Grundbegriff

2025-12-17T17:11:36Z

HC: Entferne Kategorie:Mathematischer Grundbegriff

Neue Seite

Ein '''Operator''' ist eine [[Mathematik|mathematische]] Vorschrift, durch die man aus [[Mathematisches Objekt|mathematischen Objekten]] neue Objekte bilden kann. Er kann eine standardisierte [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] oder eine Vorschrift über Funktionen sein. Anwendung finden die Operatoren bei '''Rechenoperationen''', also bei manuellen oder bei maschinellen Berechnungen.
[[Datei:Basic arithmetic operators.svg|mini|Einige Operatoren für die vier [[Grundrechenarten]]: [[Pluszeichen|Plus]], [[Minuszeichen|Minus]], [[Malzeichen|Mal]] und [[Geteiltzeichen|Geteilt]].]]

== Operator ==
Standardisierte Operatoren werden in der Mathematik meist dann definiert, wenn es sich um eine häufige, immer wiederkehrende Vorschrift handelt, meist eine [[Einstellige Verknüpfung|ein-]] oder [[zweistellige Verknüpfung]]. Die Argumente dieser Verknüpfung heißen Operanden. Die Operatoren werden durch ein spezielles, kennzeichnendes [[mathematisches Symbol]] (ein spezielles [[Schriftzeichen]] der [[Formelschreibweise]]) dargestellt.<ref name="Church">{{Literatur|Autor=Alonzo Church|Titel=Introduction to Mathematical Logic|Verlag=Princeton University Press|Jahr=1996|ISBN=0691029067|Seiten=39|Online={{Google Buch|BuchID=JDLQOMKbdScC|Seite=39}}}}</ref>

Beispiele:
* die für die [[Grundrechenarten]] verwendeten Operatoren, also das [[Pluszeichen]] „+“ für [[Addition]], das [[Minuszeichen]] „−“ für [[Subtraktion]], die [[Malzeichen]] „·“, „×“ oder „*“ für die [[Multiplikation]], und für die [[Division (Mathematik)|Division]] die [[Geteiltzeichen]] „÷“, „:“, „/“ und der [[Bruchstrich]]
* der einstellige Operator für die [[Additiv Inverses|Gegenzahl]], der ebenfalls mit Minus „−“ geschrieben wird
* das [[Verkettungszeichen]] „<math>\circ</math>“ für die [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] von Funktionen
* der [[Klasse (Mengenlehre)|Klassenbildungsoperator]] <math>\{\mid\}</math>

== {{Anker|Operand}} Operand ==
Die Argumente, auf die man einen Operator anwendet, heißen Operanden. Beim Ausdruck <math>1+2</math> sind also die Zahlen <math>1</math> und <math>2</math> die Operanden, die mit dem zweiseitigen Operator <math>+</math> verknüpft sind.

== Operatoren in der Funktionalanalysis ==
In der [[Funktionalanalysis]] hat man es mit [[Vektorraum|Vektorräumen]] zu tun, deren Elemente selbst Funktionen sind. Um die Elemente dieser Vektorräume besser von den Abbildungen zwischen solchen Vektorräumen zu unterscheiden, nennt man letztere auch ''Operatoren''. Abbildungen von Funktionenräumen in den Körper der reellen oder komplexen Zahlen heißen auch Funktional.<ref>Klaus Deimling: ''Nichtlineare Gleichungen und Abbildungsgrade.'' Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1974, ISBN 3-540-06888-0.</ref> Spezielle Klassen von Operatoren sind etwa [[Kompakter Operator|kompakte Operatoren]] oder [[Fredholm-Operator]]en.

=== Beispiele ===
Bekannte Beispiele für Operatoren, die einer Funktion eine Zahl oder eine andere Funktion zuordnen, sind:
* Der [[Differentialoperator]] <math>\textstyle \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> zur Bildung von [[Differential (Mathematik)|Differentialen]].
* Der [[Volterraoperator]] <math>\textstyle \int_0^t</math> zur Bildung des [[Bestimmtes Integral|bestimmten Integrals]]. Operatoren wie diese, die einer Funktion eine Zahl zuordnen, nennt man [[Funktional]].
* Der [[Nabla-Operator]] <math>\nabla</math> zur Bestimmung des [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] einer mehrdimensionalen Funktion.

=== Lineare und nichtlineare Operatoren{{Anker|Nichtlinearer Operator}} ===
{{Hauptartikel|Linearer Operator}}

In der Funktionalanalysis betrachtet man Eigenschaften von Abbildungen zwischen (unendlichdimensionalen) [[Banachraum|Banachräumen]]. [[Lineare Abbildung]]en heißen lineare Operatoren, nichtlineare Abbildungen werden nichtlineare Operatoren genannt.

== Operatoren der Physik ==
{{Hauptartikel|Observable}}
Observablen in der [[Quantenmechanik]] sind Operatoren. Sie werden meist nach der zu messenden Größe benannt: der Operator zur Ortsmessung heißt dann der '''[[Ortsoperator]]''' <math>\hat{\mathbf{x}}</math>. Entsprechend gibt es den '''[[Impulsoperator]]''' <math>\hat{\mathbf{p}}</math>, den [[Spin#Spinoperator|'''Spinoperator''']] <math>\hat{\vec{\mathbf{s}}}</math> usw.

Der Operator zur Energie wird '''[[Hamilton-Operator]]''' genannt und mit <math>\hat H</math> bezeichnet. Er kommt insbesondere in der [[Schrödinger-Gleichung]] <math>\mathrm{i}\hbar\tfrac{\partial}{\partial t} |\,\psi (t) \rangle = \hat{H} |\,\psi (t) \rangle</math> vor.

Der '''[[Dichteoperator]]''' <math>\rho</math> gibt für ein [[Ensemble (Physik)|Ensemble]] die Wahrscheinlichkeit an, mit der sich ein herausgegriffenes System in einem bestimmten Zustand befindet.

=== Weitere Operatoren mit Verwendung in der theoretischen oder mathematischen Physik ===

* [[Casimir-Operator]]
* [[D’Alembert-Operator|D'Alembert-Operator]]
* [[Dirac-Operator]]
* [[Hermitescher Operator]]
* [[Hodge-Stern-Operator]]
* [[Laplace-Operator]]
* [[Liouville-Gleichung|Liouville-Operator]]
* [[Schrödinger-Operator]]
* [[Zeitentwicklungsoperator]]
* [[Pfadordnung|Pfadordnungsoperator]] (siehe auch [[Wick-Theorem]])

== Siehe auch ==
* [[Logischer Operator]]
* [[Operatorrangfolge]]
* [[Operatorenrechnung]]
* [[Operatorenschreibweise]]

== Literatur ==
* ''Formelzeichen, Formelsatz, Mathematische Zeichen und Begriffe''. [[DIN-Taschenbuch]] 202. 1994-07.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Logik]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Operator (Mathematik) - Versionsgeschichte

imported>Christian1985: HC: Entferne Kategorie:Mathematischer Grundbegriff