imported>Daniel5Ko: Die Eigenschaften unterscheiden das Oloid von anderen Körpern. Nicht: Das Oloid unterscheidet die Eigenschaften von anderen Körpern.

2024-04-30T01:12:52Z

Die Eigenschaften unterscheiden das Oloid von anderen Körpern. Nicht: Das Oloid unterscheidet die Eigenschaften von anderen Körpern.

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{| class="wikitable float-right"
|+ Formeln zum Oloid
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| Anzahl der Ecken
|style="text-align:center"| <math>0</math>
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| Anzahl der Kanten ||style="text-align:center"| <math>2</math>
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| Kantenlänge ||style="text-align:center"| <math>\tfrac{4}{3} \pi r</math>
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| Anzahl der Flächen ||style="text-align:center"| <math>1</math>
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| Oberfläche ||style="text-align:center"| <math>4\pi r^2</math>
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| Volumen ||style="text-align:center"| <math>\approx3{,}05r^3</math>
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| Radius der erzeu-<br> genden Kreise
| rowspan="2" style="text-align:center"| <math>r</math>
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| Seitenlänge des <br> zerlegten Würfels
|}
[[Datei:Oloid structure.svg|mini|Struktur des Oloids]]
Das '''Oloid''' (auch '''Polysomatoloid''' genannt) ist ein [[Körper (Geometrie)|geometrischer Körper]], der 1929 vom Bildhauer und Maschinenbauer [[Paul Schatz]] zusammen mit dem [[Umstülpbarer Würfel|umstülpbaren Würfel]] entdeckt wurde. Es kann definiert werden als die [[konvexe Hülle]] zweier gleich großer, sich senkrecht schneidender [[Kreis]]e, deren Mittelpunkte einen Abstand zueinander haben, der gleich ihrem Radius ist. Es hat keine Ecken, zwei Kanten, nämlich je einen 240°-[[Kreisbogen|Bogen]] der beiden sich schneidenden Kreise, und ist ansonsten [[Differenzierbare Mannigfaltigkeit|glatt]]. Es besitzt Eigenschaften, die es deutlich von anderen Körpern unterscheiden, und gilt als Plausibilitätshinweis für die von Schatz begründete Inversionskinematik.

Ein '''Sphericon''' unterscheidet sich vom Oloid im Wesentlichen dadurch, dass es ebenso lang wie breit wie hoch ist <math>(l=b=h=2r)</math>, während das Oloid 1,5-mal so lang wie hoch ist <math>(l=1,5b=1,5h=3r)</math>.

== Kontext ==
[[Datei:OLOID.jpg|mini|hochkant=1|[[Umstülpbarer Würfel]] <br>(6 Tetraeder mit blauen Außenseiten)<br>Die Enden der Diagonale (weiße Linie konstanter Länge) bewegen sich auf zwei gekreuzten Kreisbögen (blau und rot) hin und her, die Linie selbst bewegt sich auf einer [[Regelfläche]].]]
[[Datei:Oloid (2 Kreisscheiben und Geradenschar der Regelfläche).jpg|mini|hochkant=1|Oloid-Modell: 2 Kreisscheiben aus Pappe mit Bindfäden, welche die Geradenschar der [[Regelfläche]] darstellen.]]

Paul Schatz entdeckte in den 1920er Jahren eine [[Partition (Mengenlehre)|Zerlegung]] des [[Würfel (Geometrie)|Würfels]] in drei Teile, von denen einer aus sechs unregelmäßigen [[Tetraeder]]n besteht. Verbindet man diese gelenkig an ihren je zwei im Würfel benachbarten Kanten, so entsteht eine komplett umstülpbare Kette.

Die ausgebreitete Kette hat zwischen gegenüberliegenden Gelenken drei gleich lange Diagonalen. Das sind die Raumdiagonalen des ursprünglichen Würfels, die auch während des Umstülpens erhalten bleiben und somit konstante Länge haben. Schatz beobachtete den Weg, den eine solche Diagonale beim Umstülpen der Kette nimmt, und entdeckte dabei das Oloid. Fixiert man eines der Tetraeder und beobachtet den Weg der ihm gegenüberliegenden Diagonale (Abbildung links), so erkennt man, dass die von ihr überstrichene Fläche eine [[Regelfläche]] und die Oberfläche eines geometrischen Körpers ist, den Schatz Oloid nannte.

Die erste Beschreibung der mathematischen Eigenschaften aus analytischer Sicht erfolgte 1997.<ref> Hellmuth Stachel und Hans Dirnböck: ''The Development of the Oloid'', Heldermann-Verlag, 1997 ([http://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg01_05/jgg0113.pdf PDF])</ref>

Das Oloid ist Teil des Oloid-Rührers, der zum Umwälzen und Belüften von Wasser, z. B. in der Abwasserreinigung und [[Gewässersanierung]], eingesetzt wird.<ref>Krajewski-Pumpentechnik, 2. Teichbelüftung/Umwälzung (Oloid-Rührer) {{Webarchiv|url=http://www.krajewski-pumpentechnik.de/de/Aktuelles/body_aktuelles.html |wayback=20110611020609 |text=Archivierte Kopie }}</ref> Eine weitere Anwendungsform als Alternative zum [[Propeller|Schiffspropeller]] hat bislang nicht das Stadium von Prototypen und Versuchen überschreiten können.

== Eigenschaften ==
[[Datei:Developed-oloid-surface.svg|mini|hochkant=1|Die Spur, die ein Oloid beim Abrollen hinterlässt, ist gleich seinem [[Netz (Geometrie)|Netz]]]]
Das Oloid ist einer der wenigen bekannten Körper, die über ihre gesamte [[Flächeninhalt|Oberfläche]] abrollen.<ref>[https://www.youtube.com/watch?v=HuiPJgsAeQA Abrollen eines Oloids], YouTube-Video</ref> Seine Oberfläche ist als Ganzes eine [[abwickelbare Fläche]]. Im Unterschied zum [[Kegel (Geometrie)|Kegel]] oder [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]] lässt sich die komplette Oberfläche des Oloids (und nicht nur eine [[Mantelfläche]]) knickfrei aus einem [[zusammenhängender Raum|einzelnen]] Stück [[Pappe]] herstellen.

Setzt man es auf eine [[schiefe Ebene|Schräge]], so rollt es in einer taumelnden Bewegung hinunter, ohne dabei jemals über seine Kanten zu poltern. Bemerkenswert ist, dass die Oberfläche genau so groß ist wie die einer [[Kugel]], die den gleichen Radius hat wie die beiden das Oloid erzeugenden Kreise.

Der Winkel an den Mittelpunkten der Kanten beträgt 60°. Betrachtet man das Oloid senkrecht zu den beiden Kanten, so bilden die Konturen im [[Schnitt (Darstellung)|Querschnitt]] exakt ein [[Quadrat]], was bei handwerklich hergestellten Oloiden eine Qualitätseinschätzung möglich macht, da leichte Unsymmetrien schnell erkannt werden.

== Mathematik ==
[[Datei:Oloid-rainbow.jpg|miniatur|hochkant=1|Der Farbverlauf illustriert die Lage der Verbindungsstrecken zwischen den Kanten für den gesamten Parameterbereich von <math>t</math>]]
Im Weiteren sei <math>r</math> der Radius der erzeugenden Kreise. Die beiden Kanten haben jeweils eine Länge von <math>\tfrac{4}{3} \pi r</math>. Die Oberfläche ist eine Regelfläche: Zu jedem Punkt <math>x</math> einer Kante gibt es (bis auf Spiegelung) genau einen Punkt <math>y</math> auf der anderen Kante, sodass die Verbindungsstrecke <math>\bar{xy}</math> komplett auf der Oberfläche des Oloids liegt. Die Länge dieser Strecke ist für alle Punkte <math>\sqrt{3} r</math>, eben die Länge der drei Raumdiagonalen der Tetraederkette und des zerlegten Würfels, der somit eine Seitenlänge von <math>r</math> hat.

Die Seitenlänge des oben erwähnten Quadrats, das die Konturen in einem bestimmten Blickwinkel bilden, ist <math>\sqrt{2}r</math>, womit der minimale [[Quader]], der das Oloid umfasst, die Maße <math>3r \cdot \sqrt{2}r \cdot \sqrt{2}r </math> hat.

=== Konstruktion ===
Für eine [[Einbettung (Mathematik)|Einbettung]] in den [[dreidimensional]]en [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] setze den Mittelpunkt des liegenden Kreises auf den [[Koordinatensystem|Ursprung]], den des stehenden Kreises auf <math>(r,0,0)</math>. Damit ist für <math>t \in \left[\tfrac{\pi}{3},\tfrac{5\pi}{3}\right]</math> der Punkt <math>x=(x_1,x_2,0)</math> auf der liegenden Kante gegeben durch <math>x_1 = r \cos{t}</math> und <math> x_2=r\sin{t}</math>. Der [[Satz des Pythagoras]] liefert dann die beiden Punkte auf der stehenden Kante, die zu <math>x</math> einen Abstand von <math>\sqrt{3}r</math> haben: <math>y=(y_1,0,\pm y_3)</math> mit <math>y_1=\tfrac{r}{1-\cos{t}}</math> und <math>y_3= \tfrac{r \sqrt{1-2\cos{t}}}{1-\cos{t}}</math>. Je nach [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] ist dies ein Punkt auf der oberen oder unteren Hälfte des Oloids. Für theoretische Betrachtungen ist aufgrund der Symmetrien im Oloid eine Einschränkung des Parameterbereichs von <math>t</math> auf beispielsweise <math>\left[\pi,\tfrac{5\pi}{3}\right]</math> (also auf die Hälfte der Oberfläche und weiter auf ein Viertel mittels Festlegung des Vorzeichens in <math>y_3</math>) möglich. Auch zur Visualisierung kann dies sinnvoll sein. Damit umgeht man das singuläre Verhalten einiger der relevanten Funktionen an den Intervallgrenzen, also den Endpunkten der liegenden Kante.

=== Parametrisierung der Oberfläche ===
Mit Hilfe der [[Geradengleichung]] <math>x_i+s(y_i-x_i)</math> = 0 gelangt man nun zu folgender Parametrisierung der Oberfläche: <math>\Phi\colon [0,1] \times\left[\tfrac{\pi}{3},\tfrac{5\pi}{3}\right] \to \mathbb R^3</math>, <math>\Phi(s,t)= (\Phi_1,\Phi_2,\pm \Phi_3)</math> mit
: <math>\Phi_1= r \left (\frac{s}{1-\cos{t}}+(1-s)\cos{t}\right )</math>
: <math>\Phi_2=r(1-s)\sin{t}</math>
: <math>\Phi_3= r\frac{s \sqrt{1-2\cos{t}}}{1-\cos{t}}</math>

Für <math>s=0</math> ist dies ein Punkt auf der liegenden Kante, für <math>s=1 </math> auf der stehenden. Eine Koordinatendarstellung ist durch die [[Oloid#Die Oloid-Fläche|unten stehende]] algebraische Fläche gegeben.

=== Parametrisierung des Volumens ===
Aus der Oberflächenparametrisierung erhält man eine Parametrisierung für den vollen Körper, indem man nur <math>\Phi_3</math> mit einem Höhenparameter <math>h \in [0, 1]</math> multipliziert: <math>\Psi\colon [0,1] \times [0,1] \times\left[\tfrac{\pi}{3},\tfrac{5\pi}{3}\right] \to \mathbb R^3</math>, <math>\Psi(h,s,t)= (\Psi_1,\Psi_2,\pm \Psi_3)</math> mit
: <math>\Psi_1= \Phi_1</math>
: <math>\Psi_2=\Phi_2</math>
: <math>\Psi_3=h \, \Phi_3</math>

Für <math>h=1</math> ergibt dies die Oberfläche, für <math>h=0</math> die waagrechte Schnittfläche durch die Mitte des Oloids. Zu beachten ist, dass <math>\Psi</math> einen Teil der Symmetrien bricht, weshalb hier der Definitionsbereich von <math>t</math> nur noch auf die Hälfte (und nicht mehr auf ein Viertel) eingeschränkt werden kann.

=== Oberflächeninhalt ===
Die Größe der Oberfläche lässt sich mit dem [[Oberflächenintegral]] [[Differentialform#Exakte und geschlossene Formen|exakt]] berechnen. Dazu bildet man den [[euklidische Norm|euklidischen Betrag]] des [[Kreuzprodukt]]s der sechs [[partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] der Oberflächenparametrisierung und integriert dies nach <math>s</math> und <math>t</math>. Es ergibt sich, dass die Oberfläche genau eine Größe von <math>4\pi r^2</math> hat – dasselbe wie eine [[Kugel]] vom Radius <math>r</math>.

Mit der obigen Parametrisierung der Oberfläche und den erwähnten Einschränkungen ergibt sich für den Oberflächeninhalt <math>F</math>:
: <math>F =8\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}\int_0^1 \left| \frac{\partial \Phi}{\partial s} \times \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right| \, ds \, dt= </math>
: <math>8\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}\int_0^1{\sqrt{2}r^2 \frac{(3s-2)\cos{t}+1}{\sqrt{(1- 2 \cos{t})(1- \cos{t})}}} \, ds \, dt =</math>
: <math>8r^2\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{(1- 2 \cos{t})(1- \cos{t})}}\underbrace{\int_0^1(3s\cos{t}- (2 \cos{t}-1) \, ds}_{=\tfrac{1}{2}\left( 2-\cos{t}\right)} \, dt =</math>
: <math>8r^2 \int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} \frac{2- \cos{t}}{\sqrt{2(1-2\cos{t})(1-\cos{t})}} \, dt = </math>
: <math>8r^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2+ \cos{t}}{\sqrt{2(1+2\cos{t})(1+\cos{t})}} \, dt = </math><ref>[http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%282%2B+Cos%28x%29%29%2FSqrt%282*%281+%2B2*Cos%28x%29%29%281%2B+Cos%28x%29%29%29&random=false Berechnung der Stammfunktion zur Oberfläche mit Wolframs Online-Integralrechner]</ref>
: <math>8r^2 \left(\arctan{\sqrt{2}} + \arcsin{\tfrac{1}{\sqrt{3}}} \right) =</math>
: <math>8r^2 \left(\arctan{\sqrt{2}} + \arctan{\tfrac{1}{\sqrt{2}}} \right) = 8r^2 \, \frac{\pi}{2} = 4\pi r^2 . </math>

Die Integraltransformation beruht auf <math>\cos{x}= - \cos{\left(x \pm \pi\right)}</math>, womit man eine [[Stammfunktion]] erhält, bei der mit den entsprechenden Grenzen nur zwei Terme übrigbleiben. Für den [[Arkussinus]] gilt: <math>\arcsin{x} = \arctan{\tfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}}</math> (da <math>|x|<1</math>), und der letzte Schritt ist die [[Arkustangens#Funktionalgleichung|Funktionalgleichung des Arkustangens]].

=== Volumeninhalt ===
Im Gegensatz dazu enthält jede bisher bekannte Volumenformel für das Oloid mehrere [[elliptisches Integral|elliptische Integrale]], die sich nur [[Numerik|numerisch]] auswerten lassen. Beim analytischen Ansatz mit dem [[Volumenintegral]] des Betrags der [[Jacobideterminante]] der Volumenparametrisierung sorgt die Wahl von <math>\Psi</math> für eine Vereinfachung in den ersten Schritten: Da nur <math>\Psi_3</math> von <math>h</math> abhängt, sind zwei der partiellen Ableitungen gleich null. Damit entfallen zwei Drittel der Terme in der [[Regel von Sarrus|Determinantenberechnung]], insbesondere taucht kein <math>h</math> mehr auf. Die Determinante ist innerhalb der Grenzen stets positiv und damit gleich ihrem Betrag.
:<math>V = 4 \int_{\pi}^{\frac{5\pi}{3}}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \left| \det \, D \Psi \right| \, dh \, ds \, dt=</math>
:<math>4 r^3 \int_{\pi}^{\frac{5\pi}{3}} \frac{\sqrt{1- 2\cos{t}}}{\left(1- \cos{t} \right)^2}
\underbrace{\int_{0}^{1} s \left( \left( 3s-2 \right) \cos{t}+1 \right) \overbrace{\int_{0}^{1} 1 \, dh}^{= 1} \, ds}_{= \tfrac{1}{2}} \, dt=</math>
:<math>2 r^3 \int_{\pi}^{\frac{5\pi}{3}} \frac{\sqrt{1- 2\cos{t}}}{\left(1- \cos{t} \right)^2} \, dt= </math> <math>2 r^3 \int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{\sqrt{1+ 2\cos{t}}}{\left(1+ \cos{t} \right)^2} \, dt= </math><ref>[http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%28sqrt%281%2B2+Cos%28x%29%29%2F%28%281%2B+Cos%28x%29%29^2&random=false Berechnung der Stammfunktion zum Volumen mit Wolframs Online-Integralrechner]</ref>
:<math>2 r^3 \, \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} \, \left(F(\tfrac{\pi}{3} \,|\,\tfrac{4}{3}) + E(\tfrac{\pi}{3} \,|\,\tfrac{4}{3}) \right) =</math>
:<math>2 r^3 \, \left(\tfrac{1}{2} K(\tfrac{3}{4}) + \tfrac{2}{3} E(\tfrac{3}{4}) - \tfrac{1}{6} K(\tfrac{3}{4}) \right) =</math>
:<math>\tfrac{2}{3}r^3 \left( K(\tfrac{3}{4}) + 2E(\tfrac{3}{4}) \right)</math>
:<math>\approx3{,}0524 \; r^3</math>

Dabei lassen sich die unvollständigen elliptischen Integrale erster und zweiter Art (<math>F</math> und <math>E</math>) durch die korrespondierenden vollständigen elliptischen Integrale (<math>K</math> und <math>E</math>) ausdrücken, weil die Argumente über den [[Arkuskosekans]] zusammenhängen.<ref>Die benutzten Identitäten für [http://functions.wolfram.com/EllipticIntegrals/EllipticF/03/01/02/0004/ F] und [http://functions.wolfram.com/EllipticIntegrals/EllipticE2/03/01/02/0004/ E] auf wolfram.com (englisch)</ref>

Die [[irrationale Zahl|irrationale]] Konstante 3,052418468… lässt sich zwar beliebig genau berechnen, aber es sind keine algebraischen Zusammenhänge zu anderen Konstanten bekannt und auch nicht, ob sie [[transzendente Zahl|transzendent]] ist.

=== Die Oloid-Fläche ===
Das Oloid kann als Teil einer [[algebraische Fläche|algebraischen Fläche]] vom Grad 8 (also einer [[Oktik]]) gesehen werden.<ref>[http://www.mathcurve.com/surfaces/orthobicycle/orthobicycle.shtml Oloid und Kontext (französisch)]</ref> Die [[Lösungsmenge]] der definierenden [[Polynomgleichung]] <math>O</math> liefert die Oberfläche eines Oloids mit Radius <math>r=1</math>, eingebettet in den [[dreidimensionaler Raum|dreidimensionalen Raum]] mit den Koordinatenachsen <math>x</math>, <math>y</math> und <math>z</math>, der Mittelpunkt der Fläche liegt bei <math>(\tfrac{1}{2},0,0)</math>. Allerdings sind die einschränkenden Nebenbedingungen, um ausschließlich das Oloid zu erhalten, nicht trivial. Die Polynomgleichung besteht aus 48 [[Term]]en mit ausschließlich [[ganze Zahl|ganzzahligen]] [[Koeffizient]]en, das Maximum der [[Potenz (Mathematik)|Exponentensummen]] der [[Monom]]e ist 8 und es gibt keinen konstanten Term. Ersetzt man <math>x</math> durch <math>(x-\tfrac{1}{2})</math>, wird die Fläche auf der <math>x</math>-Achse so verschoben, dass der Mittelpunkt im Nullpunkt liegt.

:<math>O\colon x^8 -3y^8 -3z^8 -6x^4y^4</math>
:<math>-8x^2y^6 -6x^4z^4 -8x^2z^6 +6y^2z^6</math>
:<math>+12x^2y^2z^4 -9y^4z^4 +6y^6z^2 +12x^2y^4z^2</math>
:<math>+6x^4y^2z^2 +4x^7 +12x^3y^4 +4xy^6</math>
:<math>-20xz^6 -36x^3z^4 +12x^3y^2z^2 +24xy^4z^2</math>
:<math>-12x^5z^2 +12x^5y^2 +2x^6 +10y^6</math>
:<math>-2z^6 +22x^2y^4 -46x^2y^2z^2 -50x^2z^4</math>
:<math>-12y^2z^4 -46x^4z^2 +14x^4y^2 -8x^5</math>
:<math>-8xy^4 -8xz^4 -52xy^2z^2 -48x^3z^2</math>
:<math>-16x^3y^2 -7x^4 -11y^4 +z^4</math>
:<math>-18x^2y^2 -6x^2z^2 -10y^2z^2 +4x^3</math>
:<math>+4xy^2 +4xz^2 +4x^2 +4y^2 = 0</math>

<gallery mode="packed">
Oloid_Surface1.png|Das Oloid als Teil einer algebraischen Fläche 8. Grades
Oloid_Surface 2.png|… herausgezoomt …
Oloid_Surface3.png|… noch weiter herausgezoomt
</gallery>

[[Datei:Sphericon net.svg|mini|Ein Sphericon mit Abwicklung]]
== Sphericon ==
Wird ein gleichseitiger, gerader (Kreis-)[[Doppelkegel]] in einer Ebene geschnitten, die beide Spitzen enthält, so haben die Schnittflächen die Form eines Quadrats.
Wird nun eine dieser beiden Kegelhälften um 90° rotiert (Achse senkrecht und mittig zur Schnittfläche) und anschließend wieder mit der anderen Hälfte zusammengefügt, erhält man ein Sphericon.

Die Oberfläche des Sphericon beträgt
:<math>F = 2\sqrt{2}\pi r^2</math>.
Das Volumen beträgt
:<math>V = \frac{2}{3}\pi r^3</math>.
Dies ist die Hälfte des Volumens einer Kugel mit gleichem Radius.

<gallery mode="packed">
Datei:Sphericon-bicone.gif
Datei:Sphericon.jpg
Datei:Sphericon.webm
Datei:Sphericon.gif
</gallery>

== Literatur ==
* Tobias Langscheid, Tilo Richter (Hg.): ''Oloid – Form der Zukunft.'' Mit Beiträgen von Dirk Böttcher, Andreas Chiquet, Heinrich Frontzek u. a., niggli Verlag 2023, ISBN 978-3-7212-1024-8
* Paul Schatz: ''Rhythmusforschung und Technik'' 3. Auflage unter dem Titel: ''Die Welt ist umstülpbar: Rhythmusforschung und Technik.'' niggli Verlag 2008
* Spektrum der Wissenschaft: Mathematische Unterhaltungen III, Artikel: ''Eine Reise in das Reich des Würfels'', Seiten 12–17, Dossier 2/2004
* brand eins: Heft 12, 2017, Seiten 120–127 ''Das Geheimnis des umgestülpten Würfels''

== Weblinks ==
{{commonscat|Oloid surface|Oloid}}
* [http://www.fzk.at/oloid/index.html Franz Zahaurek: ''Das Oloid nach Paul Schatz'']
* [http://www.3d-meier.de/tut3/Seite98.html Jürgen Meier: weitere Details und Visualisierungen]
* [http://www.mathcurve.com/surfaces/orthobicycle/orthobicycle.shtml Mathematischer Kontext zum Oloid mit Abbildungen (französisch)]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Raumgeometrie]]
[[Kategorie:Fluidelement]]

Oloid - Versionsgeschichte

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