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2025-06-18T17:44:32Z

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{{Infobox Polyeder
|Name= Oktaederstumpf
|Bild= Truncatedoctahedron.svg
|Bildtext= 3D-Ansicht eines abgestumpften Oktaeders ([[:Datei:Truncatedoctahedron.gif|Animation]])
|Flächen= 14
|Flächentyp= 8 Sechsecke, 6 Quadrate
|Ecken= 24
|Eckentyp= 24 × {4.6.6}
|Kanten= 36
|Symmetriegruppe= [[Oktaedergruppe]] <math>O_h</math>
|Schläfli= t{3,4}
|Dual= [[Tetrakishexaeder]]
|Netz= Oktaederstumpfnetz.svg
|Netztext= [[Netz (Geometrie)|Körpernetz]] eines Oktaederstumpfs
}}

[[Datei:Truncated Octahedron with Construction.svg|mini|Entstehung des Oktaederstumpfs aus einem Oktaeder]]
[[Datei:Truncated octahedron wireframe.stl|mini|[[Drahtgittermodell]] eines Oktaederstumpfs]]
Der '''Oktaederstumpf''' (auch '''abgestumpftes Oktaeder''') ist ein [[Polyeder]] ''(Vielflächner),'' das zu den [[Archimedische Körper|archimedischen Körpern]] zählt und durch Abstumpfung der sechs Ecken eines [[Oktaeder]]s entsteht. Anstelle der Ecken befinden sich nun dort sechs [[Quadrat (Geometrie)|Quadrate]]; aus den acht regelmäßigen [[Dreieck]]en werden regelmäßige [[Sechseck]]e (Hexagon). Er hat 14 Flächen, 36 Kanten und 24 Ecken, an denen sich je drei Kanten treffen. Der Oktaederstumpf tritt gegenüber verwandten Polyedern dadurch hervor, dass er lückenlos den Raum füllt.

== Eigenschaften ==

Der Oktaederstumpf weist mehrere [[Symmetrie (Geometrie)|Symmetrien]] auf. Seine 24 [[Ecke]]n sind alle gleichwertig: An jeder Ecke treffen sich ein Quadrat und zwei regelmäßige Sechsecke, und durch Drehung des Körpers kann jede Ecke auf eine beliebige andere Ecke abgebildet werden. Im [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystem]] mit ''x-'', ''y-'' und ''z-''Achse lässt sich der Oktaederstumpf so am Koordinatenursprung zentrieren, dass die Koordinaten seiner Ecken [[Permutation|Permutationen]] von (0, ±1, ±2) sind. Die Kantenlänge ist dann <math>a=\sqrt{2}</math>.

Fügt man bei der Abstumpfung eines Oktaeders zum Oktaederstumpf die sechs abgeschnittenen [[Pyramide (Geometrie)|Pyramiden]] derart paarweise zusammen, dass ihre quadratischen Grundflächen aufeinandertreffen, so entstehen drei vollwertige Oktaeder.

Der zum Oktaederstumpf [[Dualität (Mathematik)#Dualität von Polytopen|duale Körper]] ist das [[Tetrakishexaeder]].

=== Raumfüllung ===
Oktaederstümpfe [[Raumfüllung|füllen den Raum]] lückenlos aus, wenn sie – wie in den folgenden Grafiken gezeigt – zu einer Parkettierung des Raums aneinandergefügt werden. Aus diesem Grund wurde seine Form unter anderem als Grundbaustein für [[Schaum]], [[Werkstoff]]e<ref>{{Patent
|Land=DE|V-Nr=102006050393
|V-Datum=2008-04-30
|Titel=Lastaufnehmende Raumgitterstruktur, Leichtbauelement und Verfahren zu dessen Herstellung
}} sowie die darauf aufbauende Firma http://www.octamold.com/</ref><ref>{{Patent
|Land=DE|V-Nr=4431290
|V-Datum=1996-06-04
|Titel=Kernreaktor mit im Reaktorcore befindlicher loser Schüttung
|Anmelder=[[Forschungszentrum Jülich]]
}}</ref>
und für modulare [[Raumschiff]]e oder [[Raumstation]]en<ref>{{Literatur |Autor=O. L. de Weck, W. D. Nadir, J. G. Wong, G. Bounova und T. M. Coffee |Titel=Modular Structures for Manned Space Exploration: The Truncated Octahedron as a Building Block |Sammelwerk=1st Space Exploration Conference: Continuing the Voyage of Discovery |Ort=Orlando, Florida |Datum=2005 |Online=[http://spacelogistics.mit.edu/pdf/3_48_AIAA-2005-2764.pdf Online] |Format=PDF |KBytes=2400 |Abruf=2021-09-01}}</ref> vorgeschlagen.

Zusätzlich gibt es mehrere Raumfüllungen mit Lücken, die auf Oktaederstümpfen aufbauen. Diese entsprechen der [[Kristallstruktur]] von [[Zeolith A]], [[Zeolith X]], [[Zeolith Y]], [[Sodalith#Kristallstruktur|Sodalith]] und [[Faujasit]].

<gallery>
Truncated octahedra.jpg
Bitruncated Cubic Honeycomb.svg
Truncated Octahedron in Grid.svg
</gallery>

== Formeln ==
{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! colspan="2" style="background:#C0C0FF"| Größen eines Oktaederstumpfs mit Kantenlänge ''a''
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Volumen]]  ≈ 11,31 a3'''
| <math>V = 8\sqrt{2}\cdot a^3 </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Flächeninhalt|Oberflächeninhalt]]  ≈ 26,78 a2'''
| <math>A_O = 6 \left(1+ 2\sqrt{3} \right) \cdot a^2</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Umkugel]]radius  ≈ 1,58 a'''
| <math>r_u = \frac{a}{2} \sqrt{10} </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''[[Kantenkugel]]radius  = 1,5 a'''
| <math>r_k = \frac{3}{2} \, a </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''1. Flächenwinkel  ([[Sechseck|Hexagon]]–Hexagon)  ≈ 109° 28′ 16″'''
| <math>\beta_1=2\arctan\sqrt{2}\approx 109{,}47^\circ</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''2. Flächenwinkel  (Hexagon–[[Quadrat (Geometrie)|Quadrat]])  ≈ 125° 15′ 52″'''
| <math>\beta_2=180^\circ -\arctan\sqrt{2}\approx 125{,}26^\circ</math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"| '''Ecken[[raumwinkel]]  = π'''
| <math>\Omega=\beta_1+2\beta_2-\pi= \pi </math>
|-
|class="hintergrundfarbe5"|''' [[Sphärizität (Geologie)|Sphärizität]]  ≈ 0,90992'''
| <math> \Psi = \frac{4\, \sqrt [3] {9 \,\pi}} {3 + 6 \sqrt{3}} </math>
|}

== Herleitung der Formeln ==
[[Datei:Oktaeder-stumpf-20-20.svg|mini|Oktaederstumpf]]
[[Datei:Oktaeder-stumpf-ag.svg|mini|Oktaederstumpf: Grundriss und Aufriss, das Oktaeder ist grün]]
Der Oktaederstumpf entsteht durch Abschneiden der Spitzen eines regulären Oktaeders so, dass die Kanten des Oktaeders auf 1/3 gekürzt werden. Bezeichnet <math>a_0</math> die Länge der Kante des Oktaeders, <math>h_0</math> die Höhe des Oktaeders und <math> a</math> die Kantenlänge des Oktaederstumpfes, so gilt
:<math>a_0=3a, \quad h_0=\frac{a_0}{\sqrt{2}}=\frac{3a}{\sqrt{2}}
</math>

Aus dem zweiten Bild erkennt man:

Der ''Kantenkugelradius'' ist <math> \ r_k=\frac{a_0}{2}=\frac{3a}{2}</math>

Der ''Umkugelradius'' ist
:<math>r_u = \sqrt{r_k^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac a 2 \sqrt{10}</math>

Die größte Kugel, die in einen Oktaederstumpf passt, berührt nur die Sechsecke und hat den Radius
:<math>r_i = \frac a 2 \sqrt{6}\approx 1{,}225\;a </math>

Die Kugel, die die Quadrate von innen berührt, hat den Radius <math>a\sqrt{2}\approx 1{,}414\;a</math>.

Ein Sechseck hat denselben Neigungswinkel <math>\gamma</math> wie die Seitenflächen des Oktaeders. Es gilt:
:<math>\tan\gamma= \frac{h_0}{a_0/2}=\sqrt{2} </math>
Hieraus ergibt sich der ''Winkel'' <math>\beta_1</math> zwischen ''zwei Sechsecken''. Er ist (wie beim Oktaeder zwischen den Dreiecken):
:<math>\beta_1=2\gamma=2\arctan\sqrt{2}\approx 109{,}47^\circ</math>

Der ''Winkel'' <math>\beta_2</math> ''zwischen einem Sechseck und einem Quadrat'' ist (siehe Bild)
:<math>\beta_2=180^\circ -\gamma=180^\circ -\arctan\sqrt{2}\approx 125{,}26^\circ</math>

Da in einer Ecke zwei Sechsecke mit dem Winkel <math>\beta_1</math> und ein Quadrat mit den beiden Sechsecken mit dem Winkel <math>\beta_2</math> zusammentreffen, ergibt sich aus der ''[[Raumwinkel|Ebenenformel]]'' für die Berechnung eines ''Raumwinkels'':
:<math>\Omega=\beta_1+\beta_2+\beta_2-\pi=2\arctan\sqrt{2}+2\left(\pi-\arctan\sqrt{2}\right) -\pi</math>
:<math>\quad =\pi </math>

Dem Oktaeder werden 6 halbe reguläre Oktaeder der Kantenlänge <math>a</math> abgeschnitten. Das Volumen des großen Oktaeders nimmt also um 3 mal das Volumen des kleinen Oktaeders ab:

Das ''Volumen'' des Oktaederstumpfes ist
:<math>V = \frac{\sqrt{2}}{3}\;a_0^3 - 3 \frac{\sqrt{2}}{3}\;a^3 = 8\sqrt{2}\cdot a^3</math>

Die Oberfläche des großen Oktaeders nimmt um die Oberfläche von 3 kleinen Oktaedern ab und nimmt um die Fläche von 6 Schnittquadraten zu:

Die ''Oberfläche'' ist
:<math>A_O=2\sqrt{3}\; a_0^2 -3\cdot2\sqrt{3}a^2+6a^2=18\sqrt{3}a^2-6\sqrt{3}a^2+6a^2</math>
:<math>\quad =6\left(2\sqrt{3}+1\right)\cdot a^2</math>

''Koordinaten:'' 
Für die obigen Bilder wurden die 24 Punkte des Oktaederstumpfes wie folgt koordinatisiert:
:<math>\left(\pm\frac a 2, \pm\frac a 2, \pm\sqrt{2}a \right), \quad \left(\pm a, \pm a, \pm \frac a \sqrt{2}\right)</math>
:<math>\left(\pm\sqrt{2}a, \pm\frac a 2, 0 \right), \quad \left(\pm\frac a 2, \pm\sqrt{2}a, 0\right)</math>

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Norbert Treitz
|Titel=Kelvins Vermutung
|Datum=
|Online=http://www.wissenschaft-online.de/kelvin/kelvin.htm}}
* {{cite web
| author = Robert A. Freitas, Jr.
| title = Uniform space-filling using only truncated octahedra
| publisher = Figure 5.5 of [http://www.nanomedicine.com/NMI.htm Nanomedicine, Volume I: Basic Capabilities], Landes Bioscience, Georgetown TX 1999
| url = http://www.nanomedicine.com/NMI/Figures/5.5.jpg
| accessdate = 2011-07-31}}
* {{cite web
| author = George W. Hart
| title = VRML model of truncated octahedron
| publisher = [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vp.html Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra]
| url = http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/truncated_octahedron.wrl
| accessdate = 2011-07-31}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Truncated octahedron|Oktaederstumpf}}
{{Wiktionary}}
* {{MathWorld|id=TruncatedOctahedron|title=Oktaederstumpf}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Archimedische Körper}}

[[Kategorie:Archimedischer Körper]]

Oktaederstumpf - Versionsgeschichte

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