2001:638:A07:132:FFFF:198B:47F7:546: /* Satz der offenen Abbildung für holomorphe Funktionen */

2023-02-09T13:04:46Z

Satz der offenen Abbildung für holomorphe Funktionen

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Das '''Offenheitsprinzip''', bisweilen auch '''Satz von der offenen Abbildung''' oder '''Offenheitssatz''' genannt, ist ein Prinzip der [[Funktionentheorie]] und besagt, dass Bilder [[Offene_Menge|offener Mengen]] unter [[Holomorphe Abbildung|holomorphen Abbildungen]], die auf keiner [[Zusammenhängender_Raum|Zusammenhangskomponente]] der offenen Menge konstant sind, wieder offen sind. Höherdimensionale Aussagen dieser Art gelten nicht. Man kann aus dem Offenheitsprinzip das [[Maximumprinzip (Mathematik)|Maximumprinzip]] für holomorphe Funktionen folgern. Umgekehrt kann auch das Maximumsprinzip zum Beweis des Offenheitsprinzips genutzt werden, da man ersteres auch aus der [[Mittelwerteigenschaft]] herleiten kann.

== Satz der offenen Abbildung für holomorphe Funktionen ==
Sei <math> U \subseteq \mathbb{C}</math> offen und <math>f\colon U \to \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion, die auf keiner Zusammenhangskomponente von <math>U</math> konstant ist. Dann ist <math>f(U)</math> eine offene Menge.

Eine unmittelbare Folgerung ist die '''Gebietstreue''' holomorpher Funktionen:<br>
Sei <math>f \colon G \to \Complex</math> eine nicht-konstante, holomorphe Funktion auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>G</math>, dann ist <math>f(G)</math> ebenfalls ein Gebiet.

== Quellen ==
*George Marinescu: [http://www.mi.uni-koeln.de/~gmarines/FKT_THEO_09/ ''Funktionentheorie'']. Vorlesungsskript 2009, Uni Köln, S. 41–42
*Eberhard Freitag, Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1''. Springer 2006, ISBN 9783540317647, S. 123 ({{Google Buch|BuchID=fp14VkqV88sC|Seite=123|Linktext=eingeschränkte Online-Version|Land=DE}})

[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Offene Abbildung, Funktionentheorie]]

Offenheitsprinzip - Versionsgeschichte

2001:638:A07:132:FFFF:198B:47F7:546: /* Satz der offenen Abbildung für holomorphe Funktionen */