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2021-06-10T14:25:58Z

Kontaktstrukturen

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In der [[Mathematik]] sind '''Offene Bücher''' (engl.: '''open book decompositions''') gewisse Zerlegungen von [[Mannigfaltigkeit]]en, die bei der Klassifikation von [[Kontaktgeometrie|Kontaktstrukturen]] und bei der Konstruktion von [[Blätterung]]en nützlich sind.

== Definition ==

Sei <math>M</math> eine geschlossene orientierte <math>n</math>-Mannigfaltigkeit. Ein ''offenes Buch'' auf <math>M</math> ist ein Paar <math>(B,\pi)</math> mit:
# <math>B</math> ist eine orientierte <math>(n-2)</math>-dimensionale Untermannigfaltigkeit, die ''Bindung'' des offenen Buches.
# <math>\pi\colon M\setminus B\to S^1</math> ist ein [[Faserbündel]], so dass <math>\pi^{-1}(\theta)</math> das Innere einer kompakten <math>(n-1)</math>-dimensionalen Mannigfaltigkeit <math>\Sigma_\theta</math> – der ''Seite'' des offenen Buches – und <math>\partial\Sigma_\theta=B</math> für alle <math>\theta\in S^1</math> ist.

== Existenz ==

Satz von [[James Alexander (Mathematiker)|Alexander]] (1920): Jede geschlossene orientierte 3-Mannigfaltigkeit lässt sich als offenes Buch darstellen.

Satz von Winkelnkemper (1973): Eine einfach zusammenhängende geschlossene Mannigfaltigkeit der Dimension <math>n\ge 6</math> lässt sich als offenes Buch darstellen genau dann, wenn ihre [[Signatur (Mathematik)|Signatur]] verschwindet. (Letzteres trifft insbesondere immer zu, falls <math>n</math> nicht durch 4 teilbar ist.)

== Blätterungen ==

Sei <math>(B,\pi)</math> ein offenes Buch auf einer 3-Mannigfaltigkeit <math>M</math>. Dann hat <math>M-B</math> eine Blätterung durch Fasern von <math>\pi</math> und auf einer Umgebung der Bindung <math>U(B)=B\times D^2</math> kann man die [[Reeb-Blätterung]] definieren, diese hat insbesondere <math>B\times \partial D^2</math> als ein kompaktes Blatt. Durch ''Turbulisierung'' kann man die Blätterung auf <math>M\setminus U(B)</math> tangential zu diesem kompakten Blatt machen, erhält also eine Blätterung auf ganz <math>M</math>.

== Kontaktstrukturen ==

Sei <math>(B,\pi)</math> ein offenes Buch auf einer 3-Mannigfaltigkeit <math>M</math>. Eine Kontaktstruktur <math>\xi=\ker(\alpha)</math> wird von <math>(B,\pi)</math> getragen, wenn
# <math>d\alpha</math> eine positive Volumenform auf jeder Seite <math>\Sigma_\theta</math> ist und
# <math>\alpha>0</math> auf der Bindung <math>B</math>.

Satz von [[William P. Thurston|Thurston]]-Winkelnkemper (1975): Jedes offene Buch trägt eine Kontaktstruktur.

[[Satz von Giroux]] (2000): Jede orientierte Kontaktstruktur wird von einem offenen Buch getragen. Zwei vom selben offenen Buch getragene Kontaktstrukturen sind isotop.

== Literatur ==

* Etnyre: [http://people.math.gatech.edu/~etnyre/preprints/papers/oblec.pdf Lectures on open book decompositions and contact structures] (PDF; 426 kB)
* Martínez: [http://www.math.ist.utl.pt/~martinez/files/obd.pdf Open Book decompositions and contact geometry] (PDF; 223 kB)

== Weblinks ==

* Manifold Atlas: [http://www.map.mpim-bonn.mpg.de/Open_book Open Book]

[[Kategorie:Geometrische Topologie]]
[[Kategorie:Kontaktgeometrie]]

Offenes Buch - Versionsgeschichte

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