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2025-06-07T17:12:35Z

Zusammenhang mit dem Kommutator

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Eine '''Observable''' ({{laS|''observabilis''}} ‚beobachtbar‘) ist in der [[Physik]], insbesondere der [[Quantenphysik]], der formale Name für eine [[Messgröße]] und den ihr zugeordneten [[Operator (Mathematik)|Operator]] (siehe auch [[hermitescher Operator]]), die im [[Zustand (Quantenmechanik)|Zustandsraum]], einem [[Hilbertraum]], wirken.<ref>{{Literatur |Autor=Jürgen Audretsch |Titel=Verschränkte Systeme |Verlag=Wiley-VCH |Ort=Weinheim |Datum=2005 |ISBN=3-527-40452-X}}</ref> Beispiele sind die [[Energie]], die Ortskoordinaten, die Koordinaten des [[Impuls (Physik)|Impulses]] und die Komponenten des [[Spin]]s eines [[Teilchen]]s.

== Von-Neumannsche Theorie ==
Im traditionellen [[John von Neumann|von-Neumannschen]] mathematischen Formalismus der [[Quantenmechanik]] werden Observable durch [[selbstadjungiert]]e, [[dicht definiert]]e [[linearer Operator|lineare Operatoren]] <math>A</math> auf einem [[Hilbertraum]] <math>\mathcal{H}</math> dargestellt. Diese Theorie verallgemeinert die [[Born’sche Wahrscheinlichkeitsinterpretation|Bornsche Wahrscheinlichkeitsinterpretation]].

Das Ergebnis einer [[Quantenmechanische Messung|Messung]] der Observablen <math>A</math> eines quantenmechanischen Systems, dessen [[Zustand (Quantenmechanik)|Zustand]] durch einen [[normierter Vektor|normierten Vektor]] <math>|\Psi\rangle\in\mathcal{H}</math> beschrieben wird ([[Wellenfunktion]] in [[Bra-Ket-Notation]]), ist [[Zufall|zufällig]]. Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmter Messwert <math>a</math> auftreten kann, ist gegeben durch die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

:<math>P[a] = \langle \Psi|\lambda_A(a)|\Psi \rangle</math>

wobei <math>\lambda_A</math> das [[Spektralmaß]] von <math>A</math> nach dem [[Spektralsatz]] bezeichnet.

Wird der quantenmechanische Zustand des Systems allgemeiner durch einen [[Dichteoperator]] <math>\rho</math> beschrieben, so ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Messergebnisses gegeben durch

:<math>P[a] = \operatorname{Spur}(\lambda_A(a) \, \rho)</math>

wobei <math>\operatorname{Spur}</math> die [[Spur (Mathematik)|Spurabbildung]] bezeichnet.

Der [[Erwartungswert]] <math>\langle A \rangle</math> des Messergebnisses, also der Erwartungswert der Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P</math>, ist gegeben durch <math>\langle\Psi|A|\Psi\rangle</math> bzw. durch <math>\operatorname{Spur}(A \, \rho)</math>.

Die [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] <math>\sigma_A</math>, auch <math>\Delta A</math>, der Observablen <math>A</math> ist die Wurzel aus der mittleren quadratischen Abweichung der Einzelwerte <math>a</math> vom Erwartungswert <math>\langle A \rangle</math>, also
:<math>\sigma_A = \sqrt{\langle \Psi | (A-\langle A \rangle)^2 | \Psi \rangle }</math> bzw. <math>\sqrt{\text{Spur}((A-\langle A \rangle)^2 \rho)}</math>

Im Spezialfall, dass das Spektrum von <math>A</math> diskret und einfach ist, sind die möglichen Messergebnisse die [[Eigenwert]]e von <math>A</math>. Die Wahrscheinlichkeit, den Eigenwert <math>a</math> als Messergebnis zu finden, lautet dann <math>|\langle\phi_a|\Psi\rangle|^2</math> bzw. <math>\langle\phi_a|\rho\phi_a\rangle</math>, wobei <math>\phi_a</math> einen normierten [[Eigenvektor]] zum Eigenwert <math>a</math> bezeichnet.

'''Beispiele:'''
* Der Observablen „Ort“ eines Teilchens in einer Dimension entspricht (in Ortsdarstellung) der Multiplikationsoperator mit <math>x</math> über dem [[Lp-Raum|Lebesgue-Raum]] <math>L^2(\mathbb{R})</math>, der [[Ortsoperator]].
* Der Observablen „Impuls“ eines Teilchens in einer Dimension entspricht (in Ortsdarstellung) der [[Differentialoperator]] <math>- \mathrm i \hbar \tfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math> über <math>L^2(\mathbb{R})</math>; genauer gesagt dessen selbstadjungierte [[Fortsetzung (Mathematik)|Fortsetzung]], der [[Impulsoperator]]. Hierbei bezeichnet <math>\hbar</math> die [[reduzierte Planck-Konstante]].
* Der Observablen „Energie“ entspricht der [[Hamiltonoperator]].

== Beschreibung durch POVM ==
{{Hauptartikel|Positive Operator Valued Probability Measure|titel1=Positive Operator Valued Probability Measure (POVM)}}
Die Beschreibung von Zeitmessungen passt nicht in den traditionellen von-Neumann’schen Formalismus, z. B. der Ankunftszeit eines Teilchens in einem [[Teilchendetektor|Detektor]]. Eine genauere realistische formale Modellierung realer Experimente zeigt, dass auch die meisten realen Messungen an Quantensystemen nicht genau durch von-Neumann’sche Observable beschrieben werden. Diese Defekte behebt die allgemeinere Beschreibung quantenmechanischer Observablen durch POVM.

== Zusammenhang mit dem Kommutator ==
Abhängig vom Wert ihres [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]]s (genauer: vom Wert des Kommutators ihrer Operatoren) bezeichnet man zwei Observable als:
* kommutierende bzw. vertauschende Observable, wenn ihr Kommutator den Wert 0 hat. Sie sind [[Kommensurabilität (Quantenmechanik)|kommensurabel]], d. h. sie können gleichzeitig beliebig genau gemessen werden. Siehe auch [[Vollständiger Satz kommutierender Observablen]].
* inkommensurable bzw. nicht vertauschende Observable, wenn ihr Kommutator einen Wert ungleich 0 hat; sie können ''nicht'' gleichzeitig beliebig genau gemessen werden.
** [[komplementäre Observablen]], wenn ihr Kommutator einen Wert von <math>\mathrm i \hbar</math> aufweist. Ein Beispiel hierfür sind Ort und Impuls.

== Literatur ==
{{Siehe auch|Mathematische Formulierung der Quantenmechanik}}

== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Quantenfeldtheorie]]
[[Kategorie:Theoretische Chemie]]

Observable - Versionsgeschichte

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