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2026-04-06T09:32:56Z

Oberflächenelement: Kleinschreibung für nicht substantivistisch verwendete Zahl

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Das '''Oberflächenintegral''' oder '''Flächenintegral''' ist eine Verallgemeinerung des eindimensionalen [[Integralrechnung|Integralbegriffes]] zwecks Anwendung auf ebenen oder gekrümmten [[Reguläre Fläche|Flächen]]. Das Integrationsgebiet <math>\mathcal F</math> ist also nicht ein eindimensionales [[Intervall (Mathematik)|Intervall]], sondern eine [[2D|zweidimensionale]] [[Menge (Mathematik)|Menge]] im zwei- oder dreidimensionalen Raum. Für eine allgemeinere Darstellung im <math>n</math>-dimensionalen Raum <math> \mathbb R^n </math> mit <math> n \geq 2 </math> siehe: [[Integralrechnung#Oberflächenintegrale|Integration auf Mannigfaltigkeiten]].

Es wird generell zwischen einem [[Skalar (Mathematik)|skalaren]] und einem [[Vektor|vektoriellen]] Oberflächenintegral unterschieden, je nach Form des [[Integralrechnung|Integranden]] und des sogenannten ''Oberflächenelements''. Sie lauten
:<math>\iint_{\mathcal F} f\, \mathrm d\sigma</math> mit skalarer Funktion <math> f </math> und skalarem Oberflächenelement <math> \mathrm{d}\sigma </math> sowie
:<math>\iint_{\mathcal F} \vec{v}\cdot \mathrm d\vec{\sigma}</math> mit vektorwertiger Funktion <math> \vec{v} </math> und vektoriellem Oberflächenelement <math> \mathrm d \vec{\sigma} </math>.
:<math>\iint_{\mathcal F} \vec{f}\mathrm d\sigma</math> mit vektorwertiger Funktion <math> \vec{f} </math> und skalarem Oberflächenelement <math> \mathrm d {\sigma} </math>.
:<math>\iint_{\mathcal F} p\,\mathrm d\vec\sigma</math> mit skalarer Funktion <math> p </math> und vektorwertigem Oberflächenelement <math> \mathrm d \vec{\sigma} </math>.

== Begriffe und Definitionen ==
Bei der Integration über Flächen treten [[Parameterdarstellung|Parametrisierungen]] der Fläche an die Stelle der Integrationsvariable und Oberflächenelemente an die Stelle der [[Infinitesimalrechnung|infinitesimalen]] (unendlich kleinen) Intervallbreite <math> \mathrm d x </math>.

=== Parametrisierung ===
Als zweidimensionale Menge lässt sich eine Oberfläche als Funktion von zwei Variablen darstellen ([[Parameterdarstellung|parametrisieren]]). Ist <math> B \subset \mathbb R ^2 </math> eine Menge, deren [[Rand (Topologie)|Rand]] keine doppelten Punkte enthält, [[stetig differenzierbar]], nicht unendlich lang und ferner <math> \varphi </math> eine [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] von <math> B </math> in den <math> \mathbb R^3 </math> ist, so sagt man, <math> \varphi </math> ist ''Parametrisierung'' der Fläche <math> \mathcal F </math>, wenn <math> \mathcal F = \varphi(B) </math> ist. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass ein Großteil der Schwierigkeiten im Umgang mit Oberflächenintegralen mit der Parametrisierung zusammenhängt. Es ist [[a priori]] nicht klar, dass unterschiedliche Parametrisierungen den gleichen Wert für das Integral erzeugen. Ein Koordinatenwechsel für Oberflächenintegrale ist nicht trivial und ist mithin Motivation für die Verwendung von [[Differentialform]]en.

Allgemein lässt sich eine Fläche im <math>\mathbb{R}^{3}</math> mit zwei Parametern <math>u</math> und <math>v</math> in folgender Form darstellen:
:<math>\varphi \colon B\to \mathbb{R}^{3},\quad \left( u,v \right)\mapsto \vec{\varphi}\left( u,v \right)=\left( \begin{matrix}
x\left( u,v \right) \\
y\left( u,v \right) \\
z\left( u,v \right) \\
\end{matrix} \right)</math>

Auf der Fläche <math>\vec{\varphi} \left( u,v \right)</math> bilden die [[Kurvenschar]]en <math>u = \text{const}</math> bzw. <math>v = \text{const}</math> die [[Koordinatenlinie]]n. Diese überziehen die Fläche mit einem Koordinatennetz, wobei durch jeden Punkt zwei Koordinatenlinien verlaufen. Somit hat jeder Punkt auf der Fläche eindeutige [[Koordinaten]] <math>\left( u_0, v_0 \right)</math>.

==== Beispiel 1: Parameterdarstellung ====
Die Oberfläche einer Kugel mit Radius <math> R </math> lässt sich wie folgt parametrisieren: <math> B </math> ist das Rechteck <math> [0, \pi] \times [0, 2\pi] </math> und
:<math> \vec{\varphi}(u,v) = \begin{pmatrix} R \sin(u)\cos(v) \\ R \sin(u)\sin(v) \\ R \cos(u)\end{pmatrix} </math>.
Diese Parametrisierung erfüllt die Kugelgleichung <math> x^2 + y^2 + z^2 = R^2 </math> (siehe auch [[Kugelkoordinaten]]). <math>u</math> ist hier der Polarwinkel (meist <math>\vartheta</math> oder <math>\theta</math>) und <math>v</math> der Azimutwinkel (meist <math>\varphi</math> oder <math>\phi</math> bezeichnet).

==== Beispiel 2: Explizite Darstellung ====
Ist <math>f\colon B\to \mathbb{R},\ \left( x,y \right)\mapsto f\left( x,y \right)</math> eine Funktion und die Fläche in der Form <math>z=f(x,y)</math> angegeben, so sind <math>x</math> und <math>y</math> die beiden Parameter; die Parametrisierung der Fläche sieht also wie folgt aus:
:<math>\vec{\varphi} \left( x,y \right)=\left( \begin{matrix}
x \\
y \\
f\left( x,y \right) \\
\end{matrix} \right)</math>

=== Oberflächenelement ===
Wenn im [[1D|eindimensionalen]] Fall das <math> \mathrm{d}x </math> die Breite eines [[Infinitesimalrechnung|unendlich kleinen]] Intervalls darstellt, so liegt es nahe, es im zweidimensionalen Fall durch die Fläche eines unendlich kleinen Flächenstückes <math>\mathrm d \sigma</math> zu ersetzen. Durch die im vorhergehenden Abschnitt beschriebene Parametrisierung kann man an jeden Punkt der Oberfläche zwei [[Tangente]]n legen (siehe auch: [[Krummlinige Koordinaten]]): Einmal die Tangente, die entsteht, wenn man <math> v </math> konstant lässt und <math> u </math> minimal variiert, und einmal mit vertauschten Variablen. Das heißt also zwei Tangenten an die beiden Koordinatenlinien im betrachteten Punkt <math>\left( u_0, v_0 \right)</math>. Diese Tangenten lassen sich durch zwei infinitesimale [[Tangentialraum|Tangentenvektoren]] ausdrücken (sei <math>\vec{\varphi}\left( u, v \right)</math> die parametrisierte Form der Fläche):

:<math>\left.\frac{\partial\vec{\varphi}}{\partial u}\right|_{u_{0},v_{0}}\mathrm{d}u</math>   und   <math>\left.\frac{\partial\vec{\varphi}}{\partial v}\right|_{u_{0},v_{0}}\mathrm{d}v</math>

Im Folgenden wird die kompakte Schreibweise für die [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] verwendet:
:<math>\vec{\varphi}_{u}=\frac{\partial \vec{\varphi}}{\partial u}</math>   und   <math>\vec{\varphi}_{v}=\frac{\partial \vec{\varphi}}{\partial v}</math>

Sind diese Tangenten in keinem Punkt der Fläche parallel, so spricht man von einer ''regulären Parametrisierung''. Das [[Kreuzprodukt]] der Tangentenvektoren ist dann ein Vektor, dessen Länge ungleich null ist.
:<math>\left|\left| \vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v \right|\right| \neq 0</math>

Die beiden Tangentenvektoren liegen in der [[Tangentialebene]] der Fläche am betrachteten Punkt. Der Flächeninhalt des von beiden Tangentenvektoren aufgespannten [[Parallelogramm]]s entspricht nun gerade dem Betrag ihres [[Kreuzprodukt]]es.

Ist nun <math> \vec{\varphi}(u,v) </math> eine reguläre Parametrisierung der Oberfläche, so definiert man:

* ''Skalares Oberflächenelement''  
:<math> \mathrm d \sigma = \left|\left| \vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v \right|\right| \mathrm{d}u \,\mathrm{d}v</math>

* ''Vektorielles Oberflächenelement''  
:<math> \mathrm d \vec{\sigma} = \hat{n} \ \mathrm d \sigma = \vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v \ \mathrm{d}u \,\mathrm{d}v </math>     mit dem [[Normalenvektor#Flächen im dreidimensionalen Raum|Einheitsnormalenvektor]] des Flächenelements     <math>\hat{n} = \frac{\vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v}{\left|\left| \vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v \right|\right|}</math>
Gemäß den Eigenschaften des Kreuzprodukts steht das vektorielle Oberflächenelement senkrecht auf der Fläche, sein Betrag entspricht gerade der Größe des infinitesimalen Flächenstücks.

In der oben vorgestellten Form ist das vektorielle Oberflächenelement nicht [[Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da seine [[Orientierung (Mathematik)#Orientierung einer Mannigfaltigkeit|Richtung]] davon abhängt ob man <math> \vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v </math> oder <math> \vec{\varphi}_v \times \vec{\varphi}_u = - \left( \vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v \right)</math> berechnet. Die beiden Möglichkeiten sind antiparallel zueinander. Betrachtet man geschlossene Oberflächen, vereinbart man meist, dass das nach außen weisende vektorielle Oberflächenelement zu verwenden ist.

==== Beispiel 1: Parameterdarstellung ====
Die Oberfläche der Kugel mit Radius R kann, wie oben gezeigt, durch den Polarwinkel <math>u</math> und den Azimutwinkel <math>v</math> parametrisiert werden. Das Flächenelement ergibt sich aus folgender Rechnung:
:<math>\begin{align}
& \vec{\varphi}=R\left( \begin{matrix}
\sin u\ \cos v \\
\sin u\ \sin v \\
\cos u \\
\end{matrix} \right),\quad \vec{\varphi}_{u}=R\left( \begin{matrix}
\cos u\ \cos v \\
\cos u\ \sin v \\
-\sin u \\
\end{matrix} \right),\quad \vec{\varphi}_{v}=R\left( \begin{matrix}
-\sin u\ \sin v \\
\sin u\ \cos v \\
0 \\
\end{matrix} \right), \\
& \pm \left( \vec{\varphi}_{u}\times \vec{\varphi}_{v} \right)=\pm R^{2}\sin u\left( \begin{matrix}
\sin u\ \cos v \\
\sin u\ \sin v \\
\cos u \\
\end{matrix} \right), \quad \left| \left| \pm \left( \vec{\varphi}_{u}\times \vec{\varphi}_{v} \right) \right| \right|=R^{2}\sin u,\\
& \hat{n}=\pm \left( \begin{matrix}
\sin u\ \cos v \\
\sin u\ \sin v \\
\cos u \\
\end{matrix} \right), \quad \mathrm{d}\vec{\sigma }=\hat{n}\, \mathrm{d}\sigma =\hat{n}\ R^{2}\sin u\ \mathrm{d}u \,\mathrm{d}v \\
\end{align}</math>

Beim Normalenvektor sind zwei Lösungen möglich (<math>\pm </math>), abhängig von der Reihenfolge von <math>\vec{\varphi}_{u}</math> und <math>\vec{\varphi}_{v}</math> im Kreuzprodukt. Typischerweise wählt man hier die positive Lösung, bei der <math>\hat n</math> von der [[Krümmung|konvexen]] Kugeloberfläche weg zeigt (sog. „äußere Normale“).

==== Beispiel 2: Explizite Darstellung ====
Ist die Fläche in der Form <math>z=f(x,y)</math> angegeben, so drückt man das Flächenelement durch die Differentiale der Koordinaten <math>x</math>, <math>y</math> aus.

:<math>\vec{\varphi}=\left(\begin{matrix}x\\
y\\
f(x,y)\end{matrix}\right),\quad\vec{\varphi}_{x}=\left(\begin{matrix}1\\
0\\
f_{x}\end{matrix}\right),\quad\vec{\varphi}_{y}=\left(\begin{matrix}0\\
1\\
f_{y}\end{matrix}\right)</math>

:<math>\pm\left(\vec{\varphi}_{x}\times\vec{\varphi}_{y}\right)=\pm\left(\begin{matrix}-f_{x}\\
-f_{y}\\
1\end{matrix}\right),\quad\left|\left|\pm\left(\vec{\varphi}_{x}\times\vec{\varphi}_{y}\right)\right|\right|=\sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}\ ,\quad \hat{n}=\pm\frac{1}{\sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}\left(\begin{matrix}-f_{x}\\
-f_{y}\\
1\end{matrix}\right)</math>

Somit sind Flächenelement und vektorielles Flächenelement gleich:

:<math>\mathrm{d}\sigma=\sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y</math>

:<math>\mathrm{d}\vec{\sigma}=\hat{n}\ \sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\begin{pmatrix}-f_{x}\\
-f_{y}\\
1\end{pmatrix}\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y</math>

=== Projektion auf Fläche mit bekanntem Flächenelement ===

Wir gehen im Folgenden davon aus, dass eine Fläche <math>A</math> mit ihrem Flächenelement <math>\mathrm{d}A</math> und zugehörigem Normalenvektor <math>\hat{n}_A</math> bekannt ist. Z. B.
* [[xy-Ebene]]:
:<math>\mathrm{d}A=\mathrm{d}x\mathrm{d}y</math>   und   <math>\hat{n}_A=\hat{e}_z= \left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)</math>
* Mantelfläche eines Kreiszylinders mit Radius <math>\rho</math>:
:<math>\mathrm{d}A=\rho\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z</math>   und   <math>\hat{n}_A=\hat{e}_\rho= \left( \begin{matrix} \cos \varphi \\ \sin \varphi \\ 0 \\ \end{matrix} \right)</math>
* Kugeloberfläche mit Radius <math>r</math>:
:<math>\mathrm{d}A=r^2\sin \vartheta\mathrm{d}\vartheta\mathrm{d}\varphi</math>   und   <math>\hat{n}_A=\hat{e}_r= \left( \begin{matrix} \sin \vartheta \ \cos \varphi \\ \sin \vartheta \ \sin \varphi \\ \cos \vartheta \\ \end{matrix} \right)</math>

Für eine weitere Fläche <math>\mathcal F</math> mit Normalenvektor <math>\hat{n}_{\mathcal{F}}</math> soll das Flächenelement <math>\mathrm{d}\sigma</math> ermittelt werden. Die Fläche ist etwa durch <math>g(x,y,z)=0</math> gegeben und somit der Normalenvektor gleich <math>\hat{n}_{\mathcal{F}}=\nabla g/\|\nabla g\|</math>.

Wir projizieren nun <math>\mathcal F</math> entlang von <math>\hat{n}_{A}</math> auf <math>A</math>. Dann lassen sich die Flächenelemente mittels
<math>\mathrm{d}A=\mathrm{d}\vec{A}\cdot\hat{n}_{A}=|\mathrm{d}\vec{\sigma}\cdot\hat{n}_{A}|=\mathrm{d}\sigma\,|\hat{n}_{\mathcal{F}}\cdot\hat{n}_{A}|</math> für <math>\hat{n}_{\mathcal{F}}\cdot\hat{n}_{A}\neq 0</math> verknüpfen:

:<math>\mathrm{d}\sigma=\frac{\mathrm{d}A}{|\hat{n}_{\mathcal{F}}\cdot\hat{n}_{A}|}=\frac{\|\nabla g\|\,\mathrm{d}A}{|\nabla g\cdot\hat{n}_{A}|}</math>

Dabei darf jede Gerade entlang der Normalenvektoren <math>\hat{n}_{A}</math> die Fläche <math>\mathcal F</math> nur einmal schneiden. Sonst muss man die Fläche <math>\mathcal F</math> aufteilen in kleinere Flächen <math>\mathcal F_1,\,\mathcal F_2,\,\dotsc</math>, deren Projektion dann eindeutig ist, oder eine andere Grundfläche <math>A</math> wählen.

Das vektorielle Flächenelement ist:

:<math>\mathrm{d}\vec{\sigma}=\hat{n}_{\mathcal{F}}\frac{\mathrm{d}A}{|\hat{n}_{\mathcal{F}}\cdot\hat{n}_{A}|}=\frac{\nabla g}{\|\nabla g\|}\frac{\|\nabla g\|\,\mathrm{d}A}{|\nabla g\cdot\hat{n}_{A}|}=\frac{\nabla g\,\mathrm{d}A}{|\nabla g\cdot\hat{n}_{A}|}</math>

==== Beispiel 1 ====

Sei eine Fläche <math>\mathcal F</math> der Form <math>z=f(x,y)</math> gegeben, so gilt <math>g(x,y,z)=z-f(x,y)</math> und damit:

:<math>\nabla g=\begin{pmatrix}-f_{x}\\
-f_{y}\\
1\end{pmatrix}\ ,\quad\|\nabla g\|=\sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}\ ,\quad\hat{n}_{\mathcal{F}}=\frac{\nabla g}{\|\nabla g\|}=\frac{1}{\sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}\begin{pmatrix}-f_{x}\\
-f_{y}\\
1\end{pmatrix}</math>

Diese Fläche wird nun in die <math>xy</math>-Ebene projiziert mit <math>\mathrm{d}A=\mathrm{d}x\mathrm{d}y</math> und <math>\hat{n}_A=\hat{e}_z</math>; dabei ist

:<math>\mathrm{d}\sigma=\frac{\|\nabla g\|\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{|\nabla g\cdot\hat{e}_{z}|}=\frac{\sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{|\hat{e}_z\cdot\hat{e}_z|}=\sqrt{f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y</math>

:<math>\mathrm{d}\vec{\sigma}=\frac{\nabla g\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{|\nabla g\cdot\hat{e}_{z}|}=\begin{pmatrix}-f_{x}\\
-f_{y}\\
1\end{pmatrix}\mathrm{d}x\mathrm{d}y</math>

==== Beispiel 2 ====

Gesucht ist das Flächenelement eines Rotationskörpers um die <math>z</math>-Achse mit <math>\rho=f(z)</math>, also <math>g(\rho,\varphi,z)=\rho-f(z)</math>.

:<math>\nabla g=\hat{e}_{\rho}-f_{z}\hat{e}_{z}\ ,\quad\|\nabla g\|=\sqrt{1+f_{z}^{2}}\ ,\quad\hat{n}_{\mathcal{F}}=\frac{\nabla g}{\|\nabla g\|}=\frac{\hat{e}_{\rho}-f_{z}\hat{e}_{z}}{\sqrt{1+f_{z}^{2}}}</math>

Durch Projektion auf die Mantelfläche eines Kreiszylinders mit Radius <math>\rho=f(z)</math> erhält man das Flächenelement:

:<math>\mathrm{d}\sigma=\frac{\|\nabla g\|\,\rho\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z}{|\nabla g\cdot\hat{e}_{\rho}|}=\frac{\sqrt{1+f_{z}^{2}}\,f(z)\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z}{|( \hat{e}_{\rho}-f_{z}\hat{e}_{z})\cdot\hat{e}_{\rho}|}=\sqrt{1+f_{z}^{2}}\,f(z)\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z</math>

:<math>\mathrm{d}\vec{\sigma}=(\hat{e}_{\rho}-f_{z}\hat{e}_{z})\, f(z)\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}z</math>

== Die Integrale ==

Mit den Parametrisierungen und den Oberflächenelementen kann man nun die Oberflächenintegrale definieren. Diese mehrdimensionalen Integrale sind [[Lebesgue-Integral]]e, können aber in den meisten Anwendungsfällen als mehrfache [[Riemann-Integral]]e berechnet werden.

=== Das skalare Oberflächenintegral ===
Das skalare Oberflächenintegral einer [[Skalarfeld|skalaren Funktion]] <math> f\colon \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R </math> über eine Oberfläche <math> \mathcal F </math> mit regulärer Parametrisierung <math> \varphi \colon B \rightarrow \mathbb R^3 </math> mit <math> B \subset \mathbb R ^2 </math> ist definiert als
:<math> \iint_{\mathcal F} f(\vec{x}) \, \mathrm d \sigma = \iint_{B} f\left(\vec{\varphi}(u,v)\right) \, \|\vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v\| \,\, \mathrm d(u,v) </math>.

Setzt man beispielsweise <math> f(\vec{x}) = 1 </math>, so ist das skalare Oberflächenintegral einfach der ''Flächeninhalt'' der Oberfläche.

'''Beispiel: Oberflächeninhalt einer Kugel'''

Mit dem Flächenelement für [[Kugelkoordinaten]]

:<math>\mathrm{d} \sigma = r^2 \sin \theta \, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\varphi </math>

ergibt sich für den Flächeninhalt <math> A(\mathcal F) </math> der Oberfläche <math> \mathcal F </math> einer Kugel mit dem Radius <math>r</math>:

: <math>A(\mathcal F) = \iint_{\mathcal F} 1\, \mathrm{d}\sigma = \int\limits_{0}^{2\pi} \int\limits_{0}^{\pi} r^2 \sin \theta \, \mathrm{d} \theta \, \mathrm{d}\varphi = r^2 \int\limits_{0}^{2\pi} \int \limits_{0}^{\pi} \sin \theta \, \mathrm{d}\theta\ \mathrm{d}\varphi = r^2 \int\limits_{0}^{2\pi} 2\, \mathrm{d}\varphi = 4 \pi r^2</math>.

=== Das vektorielle Oberflächenintegral ===
Das vektorielle Oberflächenintegral einer [[Vektorfeld|vektorwertigen Funktion]] <math> f\colon \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3 </math> über eine Oberfläche <math> \mathcal F </math> mit regulärer Parametrisierung <math> \varphi \colon B \rightarrow \mathbb R^3 </math> mit <math> B \subset \mathbb R ^2 </math> ist definiert als
:<math> \iint_{\mathcal F} \vec{f}(\vec{x}) \cdot \mathrm d \vec{\sigma} = \iint_B \vec{f}\left(\vec{\varphi}(u,v)\right) \cdot (\vec{\varphi}_u \times \vec{\varphi}_v) \,\, \mathrm d(u,v)=:\Phi_{\mathcal F}(\vec f) </math>.

Eine anschauliche Vorstellung dieses Integrals geschieht über den [[Fluss (Physik)|Fluss]] <math>\Phi</math> eines [[Vektorfeld]]es <math>\vec{f}</math> durch die Fläche <math> \mathcal F </math>: Die Größe <math> \vec{f} \cdot \mathrm d \vec{\sigma} </math> gibt an, welchen Beitrag zum Gesamtfluss <math>\Phi_{\mathcal F}(\vec f)</math> der infinitesimal-kleine Oberflächen-Vektor <math> \mathrm d \vec{\sigma}=\hat{n}\,\mathrm d\sigma </math> liefert; nämlich wie viel von <math>\vec{f}</math> durch das Oberflächenstück <math>\mathrm d {\sigma}</math> fließt. Der Fluss ist maximal, wenn das Vektorfeld <math>\vec{f}</math> parallel zur Flächennormale <math>\hat{n}</math> steht, und null, wenn <math>\vec{f}</math> senkrecht zu <math>\hat{n}</math> steht, also tangential zur Oberfläche ist – dann "fließt" <math>\vec{f}</math> entlang der Oberfläche, aber nicht durch sie hindurch.

'''Beispiel: Fluss eines Vektorfeldes durch eine Kugeloberfläche'''

Gegeben sei ein [[Radialsymmetrie|radialsymmetrisches]] Vektorfeld
:<math>\vec E(\vec r) = \dfrac{C}{r^2} \cdot \dfrac{\vec r}{r}</math>
mit einer Konstanten <math>C \in \R</math>, dem [[Ortsvektor]] <math>\vec r</math> und seinem Betrag <math>r</math>. Bei dem Vektor <math>\dfrac{\vec r}{r}</math> handelt es sich somit um einen [[Einheitsvektor]] in Richtung des Ortsvektors.
In der Physik ist zum Beispiel das [[Elektrisches Feld|elektrische Feld]] einer Punktladung <math>Q</math> im Koordinatenursprung von dieser Form: siehe [[Coulombsches Gesetz]].

Aus Symmetriegründen verwendet man Kugelkoordinaten. Das vektorielle Oberflächenelement <math>\textstyle \mathrm{d} \vec \sigma</math> für eine Kugel mit Radius <math>r</math> und Mittelpunkt im Koordinatenursprung ist
:<math>\mathrm{d} \vec \sigma =r^2 \sin \theta \cdot \dfrac{\vec r}{r} \, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\varphi </math>.
Für den Fluss <math>\Phi</math> des Vektorfeldes <math>\vec E(\vec r)</math> durch die Oberfläche <math> \mathcal F</math> einer Kugel mit Radius <math>r</math> ergibt sich:
: <math>\Phi = \iint_{\mathcal F} \dfrac{C}{r^2} \cdot \dfrac{\vec r}{r} \, \mathrm{d}\vec \sigma = \int\limits_{0}^{2\pi} \int\limits_{0}^{\pi} \dfrac{C}{r^2} \dfrac{\vec r}{r} \cdot r^2 \sin \theta \cdot \dfrac{\vec r}{r} \, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\varphi = C \int\limits_{0}^{2\pi} \int\limits_{0}^{\pi} \sin \theta \, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\varphi = C \int\limits_{0}^{2\pi} 2 \mathrm{d}\varphi = 4 \pi C</math>.
Der Fluss <math>\Phi</math> des Vektorfeldes durch die Kugeloberfläche ist somit unabhängig vom Kugelradius <math>r</math>. Für das physikalische Beispiel des elektrischen Feldes einer [[Punktladung]] ist dieses Ergebnis ein Spezialfall des [[Gaußsches Gesetz|Gaußschen Gesetzes]] der [[Elektrostatik]].

== Literatur ==
* G. Bärwolff: ''Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure''. 2. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, 2006, ISBN 978-3-8274-1688-9
* K. F. Riley, M. P. Hobson: ''Mathematical Methods for Physics and Engineering''. 3. Auflage. Cambridge University Press, 2006, ISBN 978-0-521-67971-8
* {{Literatur
|Autor=K. Endl / W. Luh
|Titel=Analysis
|Band=2
|Verlag=Akademische Verlagsgesellschaft
|Datum=1973
|ISBN=3-400-00206-2}}

{{SORTIERUNG:Oberflachenintegral}}
[[Kategorie:Integralbegriff]]

Oberflächenintegral - Versionsgeschichte

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