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{{Dieser Artikel|behandelt die Nutation in der Kreiseltheorie. Für die Bedeutung in der Astronomie siehe [[Nutation (Astronomie)]]. Für weitere Bedeutungen siehe [[Nutation]].}}
[[Datei:Sat sci gmt120.webm|mini|Nutation eines rotierenden CD-Spielers in Schwerelosigkeit]]
Die '''Nutation''' ist die Bewegung der [[Figurenachse]] eines [[Kräftefreier Kreisel|kräftefreien Kreisels]], wenn der [[Drehimpuls]] nicht parallel zu einer der [[Hauptträgheitsachse|Hauptachsen]] des Kreisels ausgerichtet ist.

Bei einem [[symmetrischer Kreisel|symmetrischen Kreisel]] überstreicht durch die Nutation die Figurenachse einen [[Kegel (Geometrie)|Kegel]] mit dem Drehimpuls als Achse. Aufgrund der [[Drehimpulserhaltungssatz|Drehimpulserhaltung]] bleibt der Drehimpuls dabei in Betrag und Richtung konstant.

Provozieren kann man die Nutation durch Anstoßen eines stabil um seine Figurenachse rotierenden Kreisels.

Zusätzlich zur Nutation kann ein Kreisel, auf den ein Drehmoment wirkt, noch eine [[Präzession]]sbewegung ausführen.

== Symmetrischer Kreisel ==
Der symmetrische Kreisel ist ein wichtiger Sonderfall, mit dem sich die Betrachtung der Nutation vereinfacht.

Eine weitere Vereinfachung entsteht, wenn das [[Bezugssystem]] für momentane Betrachtungen am Kreisel ausgerichtet wird. Dabei liegt eine [[Koordinatenachse]] (<math>z</math>) längs der Figurenachse, womit der [[Trägheitstensor]] <math>\bar I</math> als [[Diagonalmatrix]] auftritt. Die nächste Koordinatenachse <math>x</math> wird so gewählt, dass eine Ebene aufgespannt wird, in der sich der Drehimpuls befindet, also der Drehimpulsvektor in einer Dimension den Wert null annimmt: <math>L_y = 0</math>.

[[Datei:Vektorzerlegung Nutation.svg|mini|Vektorzerlegung der Bewegungsparameter am abgeplatteten Kreisel]]
[[Datei:Zeichnung paehler.svg|mini|Vektorzerlegung der Bewegungsparameter am verlängerten Kreisel]]
Nun bleiben im [[Drallsatz|Drehimpulssatz]] nur noch zwei variable Komponenten:

:<math>\vec L = \bar{I} \, \vec \omega</math>.

Hier zeigt sich, dass die [[Winkelgeschwindigkeit]] <math>\vec \omega</math> ''nicht'' parallel zum raumfesten Drehimpuls <math>\vec L</math> liegt, sondern davon abweicht und damit sich zeitlich ändert.

Durch geschickte grafische Vektorzerlegung kann das Bewegungsverhalten des Kreisels allerdings besser beschrieben werden. Die Vektorkomponente ''ω''Fig sei so gewählt, dass sie parallel zur Figurenachse liegt, und die zweite Vektorkomponente ''ω''Nut so, dass sie parallel zum Drehimpuls liegt. Weil sich bei der Drehung eines symmetrischen Kreisels um seine Figurenachse weder dessen Ausrichtung im Raum noch der Trägheitstensor ändert, gilt die Bewegung ''ω''Fig als „neutral“.

Spannender dagegen ist die Winkelgeschwindigkeit ''ω''Nut; mit ihr wird der Kreisel samt dem eingangs definierten Koordinatensystem um den Drehimpulsvektor geschwenkt. Damit zeigt sich, dass Figurenachse, Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit des symmetrischen Kreisels in konstanter räumlicher Beziehung zueinander stehen und stets in einer Ebene liegen. Die Figurenachse und die Winkelgeschwindigkeit überstreichen jeweils den Mantel eines Kegels, dessen Kegelachse der Drehimpuls bildet.

Anhand der Grafik zur Vektorzerlegung kommt man zunächst auf die folgenden Gleichungen:

:<math>\omega_x = \sin \alpha \, \omega_\text{Nut}</math>

:<math>L_x = \sin \alpha \, L</math>

Über den Drehimpulssatz ergibt sich durch geschicktes Einsetzen:

:<math>L_x = \omega_x \, I_x \quad \Leftrightarrow \quad \omega_x
= \frac{L_x}{I_x}
= \frac {\sin \alpha \, L }{I_x}
= \sin \alpha \, \omega_\text{Nut}</math>

Wenn gilt <math display="inline">\omega_z \gg \omega_x</math>, dann lässt sich folgende Näherungsrechnung aufstellen:

:<math>\omega_\text{Nut}
= \frac{L }{I_x}
\approx \frac{I_z}{I_x} \, \omega</math>

Ein abgeplatteter Kreisel, der gestoßen wurde, flattert anschließend mit einer [[Frequenz]], die oberhalb seiner Rotationsfrequenz liegt. Durch die hohe Frequenz findet meist eine schnelle [[Dämpfung]] der Nutation statt, und die Figurenachse richtet sich bald nach dem Drehimpuls aus.

Eine ausführliche mathematische Beschreibung der Kreiselbewegung wird durch die [[Eulersche Gleichungen (Kreiseltheorie)|eulerschen Gleichungen]] ermöglicht.

== Bedeutung ==
* Astronomische Beobachtungen
* Atomphysik (z. B. [[Magnetresonanztomographie|MRT]])

== Weblinks ==
* [https://pawn.physik.uni-wuerzburg.de/physikonline/video1/m6_starrerk/m2versuch7.html Kreisel mit Rotation, Präzession und Nutation]

{{Normdaten|TYP=s|GND=4582659-6}}

[[Kategorie:Klassische Mechanik]]
[[Kategorie:Wikipedia:Artikel mit Video]]
[[Kategorie:Kreiseltheorie]]

Nutation (Physik) - Versionsgeschichte

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