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2025-04-09T01:24:28Z

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Der '''numerische Wertebereich''' (englisch: ''numerical range'') ist ein Begriff aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Funktionalanalysis]]. Einem stetigen [[Linearer Operator|linearen Operator]] oder allgemeiner einem Element einer [[Banachalgebra]] wird eine Menge des Grundkörpers zugeordnet.
Diese Menge verbindet algebraische Informationen mit Eigenschaften der [[Norm (Mathematik)|Norm]].

== Definitionen ==
In diesem Artikel wird der Grundkörper <math>\Complex</math> der komplexen Zahlen verwendet; im Falle der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] ergeben sich an einigen Stellen Komplikationen, die hier der Einfachheit halber ausgeblendet werden. Es sei <math>A</math> eine [[normierte Algebra]] über <math>\Complex</math> mit Einselement <math>e</math>. Ein stetiges, [[lineares Funktional]] <math>f\colon A\rightarrow \Complex</math> heißt ein ''[[Zustand (Mathematik)|Zustand]]'' auf <math>A</math>, falls <math>\|f\|=1=f(e)</math>, und es sei <math>D(A,e)</math> die Menge aller Zustände auf <math>A</math>; diese ist nach dem [[Satz von Hahn-Banach]] nicht leer. Für ein Element <math>a\in A</math> heißt

:<math> V(A,a) := \{f(a);\, f\in D(A,e)\} \,\subset \, \Complex</math>

der ''numerische Wertebereich'' von <math>a</math>.<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: ''Complete Normed Algebras'', §10, Definition 1.</ref>

Da <math>D(A,e)</math> eine [[Konvexe Menge|konvexe]] und nach dem [[Satz von Banach-Alaoglu]] [[Schwach-*-Topologie|schwach-*]]-[[Kompakter Raum|kompakte]] Teilmenge des [[Dualraum]]s <math>A'</math> ist, muss auch der numerische Wertebereich eine konvexe und kompakte Teilmenge in <math>\Complex</math> sein. Daher ist

:<math>v(A,a) := \sup \{|\lambda|;\, \lambda \in V(A,a)\}</math>

eine endliche Zahl, sie heißt ''numerischer Radius'' von <math>a</math>.<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: ''Numerical Ranges of Operators on Normed Spaces and of Elements of Normed Algebras'', Kapitel 1, §2, Definition 1.</ref>

Für mehrere Elemente <math>a_1,\ldots, a_n \in A</math> definiert man einen ''gemeinsamen numerischen Wertebereich'' durch die Formel

:<math>V(A,a_1,\ldots, a_n) := \{(f(a_1),\ldots,f(a_n));\, f\in D(A,e)\} \subset \Complex^n</math>

und dieser ist ebenfalls eine konvexe und kompakte Menge.<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: ''Numerical Ranges of Operators on Normed Spaces and of Elements of Normed Algebras'', Kapitel 1, §2, Definition 11.</ref>

== Unteralgebren ==
Man kann zeigen, dass der numerische Wertebereich nicht von der umgebenden Algebra abhängt, das heißt, man kann zu kleineren oder größeren Algebren übergehen, solange diese nur das Einselement und die Elemente <math>a</math> bzw. <math>a_1,\ldots, a_n \in A</math> enthalten. Das liegt im Wesentlichen daran, dass sich Zustände auf Unteralgebren wegen des Satzes von Hahn-Banach zu Zuständen auf der größeren Algebra fortsetzen lassen. Insbesondere kann man bei einer normierten Algebra zur [[Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] übergehen, ohne den numerischen Wertebereich dadurch zu verändern.

== Numerischer Index ==
Leicht zeigt man, dass der numerische Radius eine [[Halbnorm]] ist; es handelt sich aber sogar um eine [[Norm (Mathematik)|Norm]], denn es gilt<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: ''Complete Normed Algebras'', §10, Theorem 14.</ref>

:Ist <math>A</math> eine komplexe normierte Algebra, so gilt:
::<math>\frac{1}{e}\|a\| \le v(A,a) \le \|a\|</math> für alle <math>a\in A</math>.

Dabei ist <math>e</math> die [[Eulersche Zahl]]. Daher ist

:<math>n(A) := \inf\{v(A,a);\, a\in A, \|a\|=1\} </math>

eine Zahl aus dem Intervall <math>[\tfrac{1}{e},1]</math> und heißt der ''numerische Index'' von <math>A</math>. Für kommutative [[C*-Algebra|C*-Algebren]] ist der numerische Index stets <math>1</math>, für beliebige C*-Algebren kann man zeigen, dass der numerische Index größer-gleich <math>\tfrac{1}{2}</math> ist.<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: ''Numerical Ranges of Operators on Normed Spaces and of Elements of Normed Algebras'', Ende von Kapitel 1, §4.</ref>

== Vergleich mit dem Spektrum ==

Der numerische Wertebereich hängt nicht nur von der [[Algebraische Struktur|algebraischen Struktur]] der betrachteten Algebra <math>A</math> ab, sondern über den Zustandsraum auch von der Norm. Geht man zu einer [[Äquivalente Normen|äquivalenten Norm]] <math>p</math> mit <math>p(e)=1</math> über, bildet den Zustandsraum bzgl. <math>p</math> und daraus den numerischen Wertebereich, so erhält man möglicherweise eine andere Menge, die daher genauer mit <math> V_p(A,a)</math> bzw. <math> V_p(A,a_1,\ldots,a_n)</math> bezeichnet sei. Weiter sei <math>\mathcal{N}_A</math> die Menge aller äquivalenten Algebrennormen mit <math>p(e)=1</math>.

Das [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektrum]] <math>\sigma_A(a)</math> eines Elementes oder das [[Gemeinsames Spektrum|gemeinsame Spektrum]] <math>\sigma_A(a_1,\ldots,a_n)</math> endlich vieler kommutierender Elemente einer komplexen Banachalgebra hingegen hängt nur von der algebraischen Struktur ab und bleibt beim Übergang zu einer äquivalenten Norm erhalten. Daher ist es erstaunlich, dass folgender Zusammenhang besteht, wobei <math>\mathrm{conv}</math> die [[konvexe Hülle]] bezeichne:<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: ''Numerical Ranges of Operators on Normed Spaces and of Elements of Normed Algebras'', Kapitel 1, §2, Theorem 13.</ref>

:Es sei <math>A</math> eine komplexe Banachalgebra, und <math>a_1,\ldots, a_n</math> seien kommutierende Elemente aus <math>A</math>, dann gilt:
::<math>\mathrm{conv}\,\sigma_A(a_1,\ldots,a_n) = \bigcap_{p\in\mathcal{N}_A} V_p(A,a_1,\ldots,a_n)</math>.

Für das Spektrum und den numerischen Wertebereich eines Elementes <math>a\in A</math> gelten überdies die folgenden Formeln für das Maximum der [[Realteil]]e:<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: ''Numerical Ranges of Operators on Normed Spaces and of Elements of Normed Algebras'', Kapitel 1, §2 und §3.</ref>

:<math>
\begin{align}
\max\{\operatorname{Re} \lambda;\, \lambda\in\sigma_A(a)\} \;\;\; & = \inf \left\{\frac{1}{\alpha}\ln \|\exp(\alpha a)\|;\, \alpha > 0 \right\} \\
& = \lim_{\alpha\to \infty}\frac{1}{\alpha}\ln \|\exp(\alpha a)\| \\
\max\{\operatorname{Re} \lambda;\, \lambda\in V(A,a)\} & = \sup \left\{\frac{1}{\alpha}\ln \|\exp(\alpha a)\|;\, \alpha > 0 \right\} \\
& = \lim_{\alpha\to 0}\frac{1}{\alpha}\ln \|\exp(\alpha a)\| \\
& = \inf \left\{\frac{1}{\alpha}(\|1+\alpha a\|-1);\, \alpha > 0 \right\} \\
& = \lim_{\alpha\searrow 0}\frac{1}{\alpha}(\|1+\alpha a\|-1)
\end{align}
</math>

Man beachte zu diesen Formeln, dass in jeder Banachalgebra mit Einselement die [[Exponentialreihe]] <math>\exp(a) := \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}a^k</math> gegen ein von <math>0</math> verschiedenes Element konvergiert und daher der [[Natürlicher Logarithmus|natürliche Logarithmus]] <math>\ln\|\exp(a)\|</math> gebildet werden kann.

== Hermitesche Elemente ==

Ist <math>A</math> eine C*-Algebra, so haben [[Selbstadjungierter Operator|selbstadjungierte Elemente]] <math>a</math>, also solche, die <math>a^*=a</math> erfüllen, bekanntlich ein reelles Spektrum, allerdings gilt hiervon die Umkehrung nicht. Das ist anders, wenn man vom Spektrum zum numerischen Wertebereich übergeht. Daher liegt es nahe, in den Elementen einer beliebigen komplexen Banachalgebra mit Einselement, deren numerischer Wertebereich in den reellen Zahlen liegt, eine Verallgemeinerung selbstadjungierter Elemente zu sehen. Man nennt solche Elemente ''hermitesch'', sie spielen eine wichtige Rolle im [[Satz von Vidav-Palmer]], der die C*-Algebren unter den Banachalgebren charakterisiert.

== Versionen für Operatoren ==
Der Begriff des numerischen Wertebereichs geht auf Vorläufer für Operatoren auf normierten Räumen zurück. Sei <math>X</math> ein [[normierter Raum]] und <math>T\in L(X)</math> ein Element aus der Banachalgebra der beschränkten linearen Operatoren auf <math>X</math>. Dann kann man den oben definierten numerischen Wertebereich <math>V(L(X),T)</math> des Elementes <math>T</math> der Banachalgebra <math>L(X)</math> bilden. Für Hilberträume <math>X</math> hat [[Otto Toeplitz]] bereits 1918 die Menge

:<math>W(T) := \{\langle Tx,x\rangle;\, x\in X, \|x\|=1\} </math>

betrachtet,<ref>Otto Toeplitz: ''Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fejer'', Seiten 187–197.</ref> siehe dazu auch den Artikel ''[[Numerischer Wertebereich (Hilbertraum)]]''. Das lässt sich auf beliebige normierte Räume verallgemeinern, indem man das Skalarprodukt <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> durch ein [[semi-inneres Produkt]] <math>[\cdot,\cdot]</math> ersetzt und

:<math>W(T):= \{[Tx,x];\, x\in X, [x,x]=1\} </math>

definiert. [[Friedrich L. Bauer]] untersuchte 1962 die Menge

:<math>V(T):=\{f(Tx);\, x\in X, f\in X', f(x)=1, \|x\|=1, \|f\|= 1\}</math>

zunächst nur in endlichdimensionalen Räumen,<ref>F. L. Bauer: ''On the field of values subordinate to a norm.'' In: ''Numerische Mathematik.'' Bd. 4, 1962, [[DOI:10.1007/BF01386300]], S. 103–113</ref> aber dieselbe Definition kann man auch für beliebige normierte Räume verwenden. Zwischen diesen Begriffen besteht der folgende Zusammenhang:<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: ''Numerical Ranges of Operators on Normed Spaces and of Elements of Normed Algebras.'' Kapitel 1, §9 Theoreme 4 und 8.</ref>

:Sei <math>X</math> ein normierter Raum und <math>T\in L(X)</math>, dann gilt:
::<math>W(T) \subset V(T) \subset V(L(X),T) = \overline{\mathrm{conv}\,W(T)}</math>.

Für normierte Räume kann man den numerischen Index

:<math>n(X) := \inf\{v(L(X),T);\, T\in L(X), \|T\|=1\} </math>

definieren, der damit nichts anderes als der numerische Index der Banachalgebra <math>L(X)</math> und daher ebenfalls eine Zahl aus dem Intervall <math>[\tfrac{1}{e},1] </math> ist. Für Hilberträume der Dimension größer-gleich <math>2</math> kann man zeigen, dass ihr numerischer Index gleich <math>\tfrac{1}{2}</math> ist. Der Banachraum <math>C(\Omega)</math> der stetigen Funktionen auf dem kompakten [[Hausdorffraum]] <math>\Omega</math> hat den numerischen Index <math>1</math>.

== Literatur ==
* [[Frank Bonsall]] & John Duncan: ''Complete Normed Algebras'' (= ''Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete/N.F.'' Bd. 80). Springer, Berlin 1973, ISBN 3-540-06386-2.
* Frank Bonsall & John Duncan: ''Numerical Ranges of Operators on Normed Spaces and of Elements of Normed Algebras'' (= ''London Mathematical Society: Lecture Note Series.'' Bd. 2). CUP, London 1971, ISBN 0-521-07988-8.
* Otto Toeplitz: ''Das algebraische Analogon zu einem Satze von [[Leopold Fejér|Fejer]].'' In: ''[[Mathematische Zeitschrift]].'' Bd. 2, 1918
* [[Friedrich L. Bauer|F. L. Bauer]]: ''On the field of values subordinate to a norm.'' In: ''Numerische Mathematik.'' Bd. 4, 1962, [[DOI:10.1007/BF01386300]], S. 103–113

== Fußnoten ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Numerischer Wertebereich - Versionsgeschichte

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