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[[Datei:Hepia-cmefe-Kalex-pilote bd.jpg|mini|Beispiel, simulierte Umströmung eines Sport-Motorrads mit Fahrer]]
[[Datei:CFD Boiler furnace temperature.png|mini|Wärmeverteilung in einem Kesselfeuerraum]]

Als '''numerische Simulation''' bezeichnet man allgemein [[Computersimulation|'''Computersimulationen''']], welche mittels [[Numerische Mathematik|numerischer Methoden]]<ref name="Spektrum-lex">{{Internetquelle |url=https://www.spektrum.de/lexikon/geographie/numerische-simulation/5570 |titel=Numerische Simulation |hrsg=Spektrum.de, Lexika |datum=2001 |abruf=2021-01-31 |sprache=de}}</ref> wie zum Beispiel mit [[Turbulenzmodell]]en durchgeführt werden. Das Thema ist synonym mit der [[Modellierung und Simulation]].

Die mathematisch-[[Modell (Wissenschaft)|modellierten]] Probleme numerischer Simulationen lassen sich oft auf die Lösung von [[Differentialgleichung]]en, Lösung von [[Eigenwerte und Eigenvektoren|Eigenwert- und Eigenvektor-Problemen]], Lösung von [[Lineares Gleichungssystem|linearen Gleichungssystem]]en oder numerische [[Integralrechnung|Berechnung von Integralen]] zurückführen.<ref name="Spektrum-lex" /> Aufgrund der Komplexität der Simulationsprogramme sowie der Unsicherheit der angesetzten Parameter und Randbedingungen werden zur Ergebniskontrolle oft parallel auch begleitende Verfahren, wie beispielsweise [[Analysis|analytische Berechnungen]], eingesetzt.<ref name="HAW-Dankert">{{Internetquelle |autor=Dankert |url=http://www.rzbt.haw-hamburg.de/dankert/numet1_2.pdf |titel=Numerische Methoden |hrsg=HAW Hamburg |datum=2014 (PDF) |archiv-url=https://web.archive.org/web/20181104154007/http://www.rzbt.haw-hamburg.de/dankert/numet1_2.pdf |archiv-datum=2018-11-04 |abruf=2021-01-31 |sprache=de}}</ref>

Weitere mathematisch-wissenschaftliche Grundlagen bilden die [[Numerische Mathematik|Numerik]], [[Numerische Integration]], [[Differentialgleichung|Differentialgleichungen]]<ref>{{Literatur |Autor=Sören Bartels |Titel=Numerical Approximation of Partial Differential Equations |Verlag=Springer International Publishing |Ort=Cham |Datum=2016 |Sprache=en |Reihe=Texts in Applied Mathematics |BandReihe=64 |ISBN=978-3-319-32353-4 |DOI=10.1007/978-3-319-32354-1}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=J. W. Thomas |Titel=Numerical Partial Differential Equations |Verlag=Springer New York |Ort=New York, NY |Datum=1999 |Sprache=en |Reihe=Texts in Applied Mathematics |BandReihe=33 |ISBN=978-1-4612-6821-5 |DOI=10.1007/978-1-4612-0569-2}}</ref>, [[Finite-Differenzen-Methode|Finite Differenzen]] (FD), [[Finite-Elemente-Methode|Finite Elemente]] (FEM) und [[Algorithmus|Algorithmik]]. Zu den Verfahren gehören z. B. [[Runge-Kutta-Verfahren|Runge-Kutta]], [[Finite Difference Time Domain]] (FDTD), Alternating-Direction Implicit (ADI)<ref>{{Literatur |Autor=Qin Sheng |Titel=ADI Methods |Sammelwerk=Encyclopedia of Applied and Computational Mathematics |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2015 |Sprache=en |ISBN=978-3-540-70528-4 |Seiten=25–33 |DOI=10.1007/978-3-540-70529-1_435}}</ref> oder das [[Crank-Nicolson-Verfahren]].

Die Komplexität verschiedener numerischer Simulationen ist sehr unterschiedlich. Daher gehören Probleme wie Festigkeitsberechnungen<ref name="Festigkt-2021">https://www.fem-berechnung-simulation.de/festigkeitsnachweise.html, abgerufen am 31. Januar 2021.</ref> oder Schwingungsanalysen von Gebäuden ([[Teilsicherheitskonzept]]) und Maschinenteilen<ref name="FH-Dortmd-2015" /> mittlerweile zum Standardwerkzeug der Konstrukteure – bei anderen Vorgängen (Wettervorhersagen, Klimaberechnungen) bewegt man sich dagegen an den oder jenseits der Grenzen der Leistungsfähigkeit moderner Computer. Hinzu kommen noch grundsätzliche Probleme wie das [[Chaosforschung|chaotische Verhalten]] vieler dynamischer [[System|Systeme]].

Bekannte Beispiele sind Wetter- und [[Klimamodell|Klimaprognose]]n, [[Numerische Strömungsmechanik|numerische Strömungssimulation]]<ref name="Spektrum-lex" /> oder Festigkeits- und Steifigkeitsberechnungen.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.lsm.uni-rostock.de/ressourcen/cfd-visualisierung/numerische-simulation |titel=Numerische Simulation am Lehrstuhl Strömungsmechanik (2021) |hrsg=Universität Rostock |abruf=2021-01-31 |sprache=de}}</ref><ref name="FH-Dortmd-2015">{{Internetquelle |url=https://www.fh-dortmund.de/de/fb/5/forschung/fspcomputersim/kompetenzen/fem.php |titel=Festigkeitsanalyse (FEM) |hrsg=Fachhochschule Dortmund |datum=2015-06-29 |abruf=2021-01-31 |sprache=de}}</ref>

== Vorgehensweise ==
{{Quelle|Dies betrifft in erster Linie die Abschnitte Vorgehensweise und auch Beispiele. 31. Januar 2021.}}
Numerische Simulationen lassen sich in folgende Schritte unterteilen:

=== Modellierung ===
In der Modellierung (Modellaufbau) werden die grundlegenden Eigenschaften einer Simulation in Form mathematischer Modelle formuliert.<ref name="Uni-Heidelbg">[https://conan.iwr.uni-heidelberg.de/old-site/teaching/simwer_ss2009/Kapitel1.pdf Universität Heidelberg, ''Einführung in die numerische Simulation'', Kapitel 1, (PDF), abgerufen am 2. Februar 2021].</ref> Die Modelle werden in der Regel unabhängig von einer konkreten Aufgabenstellung entwickelt.

=== Parametrisierung ===
Bei der Parametrisierung werden Modelle ausgewählt, mit konkreten Rechenwerten ausgestattet und so miteinander verknüpft, dass das Gesamtmodell möglichst gut einen konkreten Anwendungsfall darstellt. Ungenaue Kenntnis der Modelle oder der Randbedingungen ist die häufigste Fehlerquelle bei Simulationen.

=== Berechnung ===

Bei den numerischen Methoden handelt es sich um besondere Rechenverfahren, die unter das Teilgebiet der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] fallen.<ref name="Uni-Heidelbg"/> Die eigentliche Berechnung erfolgt durch Starten eines Lösungsprogrammes, des so genannten ''Lösers''. Dieses führt die eigentliche Berechnung durch und speichert die Berechnungsergebnisse. Da eine geschlossene Lösung der Systeme in der Regel nicht möglich ist, werden iterative Lösungsverfahren angewendet, um eine Näherungslösung zu finden. Bei nahezu allen Simulationsberechnungen müssen sehr große Datenmengen verarbeitet werden. Dennoch kann die Rechenzeit je nach Simulationsverfahren stark variieren. Daher werden in diesem Bereich häufig [[Parallelrechner]], [[Vektorrechner]] oder PC-[[Computercluster|Cluster]] verwendet, bei denen viele Einzelrechner gleichzeitig an einem Ergebnis arbeiten.<ref name="Juelich-2010">{{Internetquelle |autor=Andreas Galonska |url=https://www.osti.gov/etdeweb/servlets/purl/21461373/?type=download |titel=Entwicklung eines automatischen Validierungssystems für Simulations-codes der Fusionsforschung |hrsg=insbesondere Kapitel 2(.2), Jülich Supercomputing Centre (JSC) |datum=2010-03 |abruf=2021-02-02 |sprache=de}}</ref> Allerdings lässt sich die Geschwindigkeit solcher Berechnungen nicht beliebig steigern, da mit der Zahl der beteiligten Rechenkerne in der Regel auch der Kommunikationsaufwand steigt ([[Skalierbarkeit]]).

=== Auswertung und Darstellung ===
Die Ergebnisse der Berechnung bezeichnet man als Rohdaten. Diese liegen als digitale Ergebnisdateien vor, die nun so aufbereitet werden müssen, dass sie für Menschen verständlich sind. Die dazu erforderliche Auswertung ist ein elementarer Bestandteil der Simulation. Für die Auswertung kommen zum einen statistische Methoden zum Einsatz, die Daten zusammenfassen oder analysieren. Ein wichtiger Aspekt liegt aber auch in der Möglichkeit, Daten grafisch aufzubereiten.

== Einsatzbereiche ==
Die Einsatzgebiete von numerischen Simulationen sind vielfältig. Einige wichtige oder bekannte Beispiele sind:

===Naturwissenschaften===
*Biologie: Bakterienvermehrung, Mutationen, [[Gentechnik]], Ökologie, Artenvielfalt
*Chemie, als Teil der [[Theoretische Chemie]]<ref>{{Internetquelle |url=https://idw-online.de/de/news314948 |titel=Ab initio Simulation: RUB-Chemiker veröffentlicht erstes Standardwerk |sprache=de |archiv-url=http://web.archive.org/web/20250515011549/https://idw-online.de/de/news314948 |archiv-datum=2025-05-15 |abruf=2026-02-28}}</ref>
*Physik ([[Computerphysik]]): [[Standardmodell]] der Elementarteilchen, [[Gittereichtheorie]], [[Phasenübergang|Phasenübergänge]], Strömungsmechanik
*Astronomie: [[Urknall]], [[Kernfusion]]
*Meteorologie: Wetter- und Klimamodelle<ref name="Spektrum-lex"/>
*Geowissenschaften: [[Plattentektonik]], [[Gezeiten]], [[Erdbeben]], [[Gebirgsbildung]], hydraulische und hydrochemische Prozesse

===Ingenieurwissenschaften===
*Architektur und Bauingenieurwesen:<ref>[https://www.bauen-aktuell.eu/thema/simulation bauen-aktuell.eu, ''Simulation'', abgerufen am 31. Januar 2021].</ref><ref>[https://www.bauen-aktuell.eu/wohnungslueftung-nach-erneuerter-din-1946-6-was-auf-planer-zukomm bauen-aktuell.eu vom 9. Dezember 2019, ''Wohnungslüftung nach erneuerter DIN 1946-6: Was auf Planer zukommt''], abgerufen am 31. Januar 2021.</ref> Statische und dynamische Festigkeitsberechnungen (Gebäude, Brücken)<ref name="Festigkt-2021"/>
[[Datei:Copper Traces Image.jpg|mini|Berechnete Temperaturen in einem [[Integrierter Schaltkreis|IC]] samt Zuleitungen]]
*Chemieingenieurwesen und Verfahrenstechnik:<ref>{{Internetquelle |autor=Erwin Dieterich, Gheorge Sorescu und Gerhart Eigenberger |url=https://core.ac.uk/download/pdf/147538775.pdf |titel=Numerische Methoden zur Simulation verfahrenstechnischer Prozesse (PDF) |hrsg=Chem.-Ing.-Tech. 64 |datum=1992 |abruf=2021-02-02 |sprache=de}}</ref> Verbrennungsvorgänge und chemischen Reaktionen (Verbrennungsmotoren,<ref>Peter Gerlinger, Effiziente numerische Simulation turbulenter Verbrennung 2005, Springer, ISBN 978-3-540-27535-0</ref> Ausbeute bei chemischen Synthesen)
*Maschinenbau: Flugsimulatoren, Schwingungsanalyse an [[Elektrische Maschine|elektrischen Maschinen]], Spannungen und Verformungen (elastisch und plastisch, z. B. virtuelle [[Crashtest]]s mittels [[Finite-Elemente-Methode]]n)
*Technische Physik: Halbleiterbauelemente, Wärmeleitvorgänge,<ref name="FH-Dortmd-2015"/> Optische Systeme (Linsensysteme, Laser, thermische Verformungen durch Absorption), [[Fusionsreaktor]]en,<ref name="Juelich-2010" /><ref>[https://na.math.kit.edu/loechel/research/eigenvalue/einstieg.php Karlsruher Institut für Technologie, Institut für Angewandte und Numerische Mathematik 1, ''Mathematik schafft Energie'', abgerufen am 2. Februar 2021].</ref> [[Teilchenbeschleuniger|Beschleuniger]] und Kernreaktionen
* Verkehrsplanung<ref name="Spektrum-lex"/>

=== Wirtschaftswissenschaften ===
* Probleme des [[Operations Research]]

===Militär===
* [[Kernwaffe]]n,<ref>{{Internetquelle |url=https://www.fr.de/politik/virtuelle-tests-reale-bomben-11525665.html |titel=Virtuelle Tests für reale Bomben |hrsg=Frankfurter Rundschau |datum=2009-09-29 |abruf=2021-01-31 |sprache=de}}</ref><ref>{{Internetquelle |url=https://www.suedkurier.de/ueberregional/wissenschaft/Simulation-zeigt-Auswirkungen-von-Atombomben-auf-den-eigenen-Heimatort;art1350069,8784814 |titel=Simulation zeigt Auswirkungen von Atombomben auf den eigenen Heimatort |hrsg=Südkurier |datum=2016-06-30 |abruf=2021-01-31 |sprache=de}}</ref> Sprengstoffe, Treibladungen<ref name="Spektrum-1996">{{Internetquelle |autor=Hiltmar Schubert |url=https://www.spektrum.de/magazin/explosivstoffe-fuer-militaerische-anwendungen/823199 |titel=Explosivstoffe für militärische Anwendungen |hrsg=Spektrum.de |datum=1996-08-01 |abruf=2021-01-31 |sprache=de}}</ref> und Projektile

===Unterhaltung===
*[[Computerspiel]]e (Berücksichtigung physikalischer Eigenschaften und Beleuchtung)

== Beispiele==
[[Datei:Simulation_Brandschutz_UBahn.gif|mini|Rauchausbreitung U-Bahn]]

Ein Bereich, in dem numerische Simulationen eingesetzt werden, sind Strömungssimulationen. Luftströmungen werden durch ein Rechenmodell ermittelt, dessen Raum in ein Gitter bestehend aus Zellen oder [[Voxel]] eingeteilt ist ([[Diskretisierung]]).

Der Vorgang hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der digitalen Darstellung von Fotos am Computer, die nun aus einzelnen Bildpunkten ([[Pixel]]n) bestehen. Jedes Pixel besitzt nur einen einzigen Farbwert, obwohl das reale Bild eigentlich kontinuierlich ist, d. h., es werden Bereiche zu gleichfarbigen Flächen zusammengefasst. Bei ausreichend großem Betrachtungsabstand fließen selbst dann die Farbwerte für das Auge scheinbar wieder zu einem kontinuierlichen Bild zusammen. Ist die [[Auflösung (Digitaltechnik)|Auflösung]] der digitalen Bilddarstellung zu gering, dann wirkt das Foto unscharf oder treppenartig.

Anders als bei einem Pixelbild, das nur zwei räumliche Dimensionen und eine Farbinformation hat, bestehen Strömungssimulationen normalerweise aus drei räumlichen Dimensionen. Für jeden der Punkte gibt es – je nach Problem – mehrere Kenngrößen, die ihrerseits voneinander abhängig sein können. Die physikalischen Größen (z. B. Druck oder Temperatur) benachbarter Gitterpunkte ändern sich im Verlauf der Berechnung durch gegenseitige Beeinflussung.

Bei der numerischen Simulation auf einem Gitter gelten für die Auflösung ähnliche Regeln wie bei der Darstellung von Fotos am Computer. Ist die räumliche Auflösung zu gering (große Zellen), dann wird die Physik nicht gut abgebildet und es kommt zu Ungenauigkeiten. Daher ist man an einer möglichst hohen räumlichen Auflösung interessiert. Andererseits ist bei einer hohen Auflösung die Rechenleistung oft nicht ausreichend, um in akzeptabler Zeit ein Ergebnis zu erhalten. Die Aufteilung in 100×100×100 Zellen ergibt beispielsweise eine Million Punkte. Halbiert man die Kantenlänge dieser Zellen, so erhöht sich die Zahl auf acht Millionen. Auch bei modernen Rechnern stößt die Auflösung daher sehr schnell an Grenzen der Rechenleistung.

Simulationen in anderen Einsatzbereichen verwenden Systeme, die nicht nur aus drei räumlichen Dimensionen, sondern beispielsweise aus drei räumlichen und einer zeitlichen Dimension bestehen. Für jeden der Gitterpunkte kann es zudem eine Vielzahl von Kenngrößen geben. Neben der beschriebenen kubischen Gitterform, die sich oft aus der Diskretisierung der Dimensionen ergibt, werden auch andere Gitterformen für die Simulation verwendet, beispielsweise bei der Finite-Elemente-Methode. Des Weiteren gibt es Simulationen, die keine Gitterstruktur nutzen, Teilchensystemen wie das einfache [[Modell harter Kugeln]] sind ein Beispiel hierfür.

== Literatur ==
{{Siehe auch|Computersimulation|Computerphysik|Modellierung und Simulation}}
* {{Literatur |Autor=Peter Henrici |Titel=Elements of Numerical Analysis |Verlag=John Wiley & Sons |Ort=New York |Datum=1964 |Sprache=en |Online=[https://archive.org/details/elementsofnumeri0000henr/page/n5/mode/2up Online]}}
* {{Literatur |Autor=Philip J. Davis, Philip Rabinowitz |Titel=Methods of Numerical Integration |Verlag=Academic Press |Ort=New York |Datum=1975 |Sprache=en |Reihe=Computer science and applied mathematics |ISBN=978-0-12-206350-3 |Online=[https://archive.org/details/methodsofnumeric0000davi/page/n5/mode/2up Online]}}
* {{Literatur |Autor=William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling |Titel=Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge, UK |Datum=1986 |Sprache=en |ISBN=978-0-521-30811-3 |Online=[https://archive.org/details/numericalrecipes00pres/page/n3/mode/2up Online]}}
* {{Literatur |Autor=Stig Larsson, Vidar Thomée |Titel=Partial Differential Equations with Numerical Methods |Verlag=Springer Berlin Heidelberg |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2003 |Sprache=en |Reihe=Texts in Applied Mathematics |BandReihe=45 |ISBN=978-3-540-88705-8 |DOI=10.1007/978-3-540-88706-5}}
* {{Literatur |Autor=Sören Bartels |Titel=Numerical Approximation of Partial Differential Equations |Verlag=Springer International Publishing |Ort=Cham |Datum=2016 |Sprache=en |Reihe=Texts in Applied Mathematics |BandReihe=64 |ISBN=978-3-319-32353-4 |DOI=10.1007/978-3-319-32354-1}}
* {{Literatur |Autor=Carl L. Gardner |Titel=Applied Numerical Methods for Partial Differential Equations |Verlag=Springer Nature Switzerland |Ort=Cham |Datum=2024 |Sprache=en |Reihe=Texts in Applied Mathematics |BandReihe=78 |ISBN=978-3-031-69629-9 |DOI=10.1007/978-3-031-69630-5}}
* {{Literatur |Autor=Wolfgang Arendt, Karsten Urban |Titel=Partial Differential Equations: An Introduction to Analytical and Numerical Methods |Verlag=Springer International Publishing |Ort=Cham |Datum=2023 |Sprache=en |Reihe=Graduate Texts in Mathematics |BandReihe=294 |ISBN=978-3-031-13378-7 |DOI=10.1007/978-3-031-13379-4}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Computersimulation]]
[[Kategorie:Numerische Mathematik]]
[[Kategorie:Modellierung und Simulation]]

Numerische Simulation - Versionsgeschichte

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