imported>Tea2min: Siehe auch Numerische Simulation und Wissenschaftliches Rechnen.

2026-02-24T13:07:18Z

Siehe auch Numerische Simulation und Wissenschaftliches Rechnen.

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Die '''numerische Mathematik''', auch kurz '''Numerik''' genannt, beschäftigt sich als [[Teilgebiet der Mathematik]] mit der Konstruktion und [[Analyse]] von [[Algorithmus|Algorithmen]] für [[Kontinuum (Mathematik)|kontinuierliche]] mathematische Probleme.<ref>[[Lloyd Nicholas Trefethen|Lloyd N. Trefethen]]: ''{{lang|en|The definition of numerical analysis.}}'' In: ''SIAM News.'' Nr. 25, 6. November 1992 ([http://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/publication/PDF/1992_55.pdf PDF-Datei], ≈ 228 [[Kilobyte|KB]]).</ref><ref>Lloyd N. Trefethen schrieb dazu: ''„[…] unsere zentrale Aufgabe ist es, Größen zu berechnen die typischerweise unberechenbar sind, dies aus analytischer Sicht und blitzschnell.“'' (oder in Englisch: ''{{lang|en|[…] our central mission is to compute quantities that are typically uncomputable, from an analytical point of view, and to do it with lightning speed.}}''; in ''{{lang|en|The Definition of Numerical Analysis}}'', ''[[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]]'', 1992, siehe auch Ausschnitt bei ''[https://books.google.de/books?id=_0eqrQFkM-EC&pg=PA45&lpg=PA45&dq=%22The+Definition+of+Numerical+Analysis%22+%22our+central+mission+is+to+compute+quantities+that+are+typically+uncomputable,+from+an+analytical+point+of+view,+and+to+do+it+with+lightning+speed%22&source=bl&ots=SbrhAJjm7u&sig=i7ANndzk0CyEKAZKQaW5QRk2HNQ&hl=de&sa=X&ved=0ahUKEwjYyLDugPXMAhUDtxQKHZ2ABkEQ6AEIHjAC#v=onepage&q=%22The%20Definition%20of%20Numerical%20Analysis%22%20%22our%20central%20mission%20is%20to%20compute%20quantities%20that%20are%20typically%20uncomputable%2C%20from%20an%20analytical%20point%20of%20view%2C%20and%20to%20do%20it%20with%20lightning%20speed%22&f=false Google Bücher]'')</ref> Hauptanwendung ist dabei das [[Approximation|näherungsweise]] Berechnen von Lösungen durch [[Approximationsalgorithmus|Approximationsalgorithmen]] mit Hilfe von [[Computer]]n.

== Überblick ==
Interesse an solchen Algorithmen besteht meist aus einem der folgenden Gründe:
# Es gibt zu dem Problem keine explizite Lösungsdarstellung (so zum Beispiel bei den [[Navier-Stokes-Gleichungen]] oder dem [[Dreikörperproblem]]) oder
# die Lösungsdarstellung existiert, ist jedoch nicht geeignet, die Lösung schnell zu berechnen, oder liegt in einer Form vor, in der [[Rechenfehler]] sich stark bemerkbar machen (zum Beispiel bei vielen [[Potenzreihe]]n).

Unterschieden werden zwei Typen von Verfahren: Einmal direkte, die nach endlich vielen exakten Rechenschritten die exakte Lösung eines Problems liefern, und auf der anderen Seite Näherungsverfahren, die nur [[Approximation]]en liefern. Ein direktes Verfahren ist beispielsweise das [[Gaußsches Eliminationsverfahren|gaußsche Eliminationsverfahren]], welches die Lösung eines [[Lineares Gleichungssystem|linearen Gleichungssystems]] liefert. Näherungsverfahren sind unter anderem [[Numerische Quadratur|Quadraturformeln]], die den Wert eines Integrals näherungsweise berechnen, oder auch das [[Newton-Verfahren]], das [[Iteration|iterativ]] bessere Approximationen an eine Nullstelle einer Funktion liefert.

Da in Anwendungen die Lösungen nur auf endliche Genauigkeit benötigt werden, kann ein iteratives Verfahren auch bei der Existenz eines direkten Verfahrens sinnvoller sein, wenn es in kürzerer Zeit eine hinreichende Genauigkeit liefert.

Unterschiedliche Verfahren werden nach [[Zeitkomplexität|Laufzeit]], [[Stabilität (Numerik)|Stabilität]] und [[Robustheit]] verglichen. Gelegentlich existieren jedoch auch (abweichend von rein numerischen Verfahren) [[Seminumerischer Algorithmus|seminumerische Verfahren]], die zur Lösung bestimmter Problemklassen besser geeignet sind als unspezialisierte numerische Lösungen.

== Geschichte ==
Der Wunsch, mathematische Gleichungen zahlenmäßig (auch näherungsweise) lösen zu können, besteht seit der [[Antike]]. Die alten Griechen kannten bereits Probleme, die sie nur näherungsweise lösen konnten, wie die Berechnung von Flächen ([[Integralrechnung]]) oder der [[Kreiszahl]] <math>\pi</math>. In diesem Sinne kann [[Archimedes]], der für beide Probleme Algorithmen lieferte, als der erste bedeutende Numeriker bezeichnet werden.

Die Namen klassischer Verfahren zeigen deutlich, dass der [[Algorithmus|algorithmische]] und [[Approximation|approximative]] Zugang zu mathematischen Problemen immer wichtig war, um rein theoretische Aussagen fruchtbar nutzen zu können. Konzepte wie [[Konvergenzgeschwindigkeit]] oder [[Stabilität (Numerik)|Stabilität]] waren auch beim Rechnen per Hand sehr wichtig. So lässt beispielsweise eine hohe Konvergenzgeschwindigkeit darauf hoffen, schnell mit der Berechnung fertig zu werden. Und schon [[Carl Friedrich Gauß|Gauß]] bemerkte, dass sich seine Rechenfehler beim gaußschen Eliminationsverfahren manchmal desaströs auf die Lösung auswirkten und sie so komplett unbrauchbar machten. Er zog deswegen das [[Gauß-Seidel-Verfahren]] vor, bei dem man Fehler durch das Ausführen eines weiteren Iterationsschrittes leicht ausgleichen konnte.

Um das monotone Durchführen von Algorithmen zu erleichtern, wurden im 19. Jahrhundert mechanische [[Rechenmaschine]]n entwickelt und schließlich in den 1930er-Jahren der erste Computer von [[Konrad Zuse]]. Der [[Zweiter Weltkrieg|Zweite Weltkrieg]] beschleunigte die Entwicklung dramatisch und insbesondere [[John von Neumann]] trieb im Rahmen des [[Manhattan-Projekt]]s sowohl mathematisch als auch technisch die Numerik voran. Die Zeit des [[Kalter Krieg|Kalten Krieges]] war vor allem von militärischen Anwendungen wie [[Wiedereintritt]]sproblemen geprägt, doch die Steigerung der Rechnerleistung seit den 1980er-Jahren hat zivile Anwendungen in den Vordergrund treten lassen. Ferner hat sich der Bedarf nach schnellen Algorithmen mit dem Geschwindigkeitszuwachs entsprechend verstärkt. Für viele Probleme hat die Forschung dies leisten können, und so hat sich die Geschwindigkeit der Algorithmen seit Mitte der 1980er-Jahre um etwa dieselbe Größenordnung verbessert wie die [[Hauptprozessor|CPU]]-Leistungen. Heutzutage sind numerische Verfahren, zum Beispiel die [[Finite-Elemente-Methode]], in jedem technischen oder wissenschaftlichen Bereich präsent und Alltagswerkzeug.

== Fehleranalyse ==
Ein Aspekt bei der Analyse der Algorithmen in der Numerik ist die [[Fehler#Fehleranalyse und Fehlerbereinigung|Fehleranalyse]]. Bei einer numerischen Berechnung kommen verschiedene Typen von [[Fehler]]n zum Tragen: Beim Rechnen mit [[Gleitkommazahl]]en treten unvermeidlich [[Rundungsfehler]] auf. Diese Fehler lassen sich zwar zum Beispiel durch eine Erhöhung der Stellenzahl verkleinern, ganz beseitigen kann man sie aber nicht, da jeder [[Computer]] prinzipiell nur mit endlich vielen Stellen rechnen kann.

Wie das Problem auf Störungen in den Anfangsdaten reagiert, wird mit der [[Kondition (Mathematik)|Kondition]] gemessen. Hat ein Problem eine große Kondition, so hängt die Lösung des Problems empfindlich von den Anfangsdaten ab, was eine numerische Lösung erschwert, insbesondere da Rundungsfehler als Störung der Anfangsdaten aufgefasst werden können.

Das numerische Verfahren ersetzt ferner das kontinuierliche mathematische Problem durch ein diskretes, also endliches Problem. Dabei tritt bereits der sogenannte ''[[Diskretisierung]]s[[fehler]]'' auf, der im Rahmen der [[Konsistenz (Numerik)|Konsistenzanalyse]] abgeschätzt und bewertet wird. Dies ist notwendig, da ein numerisches Verfahren im Regelfall nicht die exakte Lösung liefert.

Wie sich solche Fehler beim Weiterrechnen vergrößern, wird mit Hilfe der [[Stabilität (Numerik)|Stabilitätsanalyse]] bewertet.

Konsistenz und Stabilität des Algorithmus führen im Regelfall zu Konvergenz (siehe dazu: [[Grenzwert (Funktion)]]).

== Numerische Verfahren ==
Für viele mathematische Probleme, wie zum Beispiel die [[Optimierung (Mathematik)|Optimierung]] oder das Lösen von [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]], existieren eine Vielzahl numerischer Verfahren und Algorithmen.
Eine kommentierte Zusammenstellung von ausgewählten numerischen Verfahren findet man unter [[Liste numerischer Verfahren]].

== Siehe auch ==
* [[Numerische Simulation]]
* [[Wissenschaftliches Rechnen]]

== Literatur ==
* [[Wolfgang Dahmen (Mathematiker)|Wolfgang Dahmen]], Arnold Reusken: ''Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler.'' Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-25544-3.
* [[Peter Deuflhard]], Andreas Hohmann: ''Numerische Mathematik.'' Band 1: ''Eine algorithmisch orientierte Einführung.'' 3., überarbeitete und erweiterte Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-11-017182-1.
* [[Gene H. Golub]], James M. Ortega: ''Wissenschaftliches Rechnen und Differentialgleichungen. Eine Einführung in die Numerische Mathematik'' (= ''Berliner Studienreihe zur Mathematik.'' Band 6). Heldermann, Berlin 1995, ISBN 3-88538-106-0.
* Martin Hanke-Bourgeois: ''Grundlagen der Numerischen Mathematik und des wissenschaftlichen Rechnens.'' Teubner, Stuttgart u. a, 2002, ISBN 3-519-00356-2.
* [[Martin Hermann (Mathematiker)|Martin Hermann]]: ''Numerische Mathematik. Band 1: Algebraische Probleme.'' 4., überarbeitete und erweiterte Auflage. Walter de Gruyter Verlag Berlin, Boston, 2020, ISBN 978-3-11-065665-7.
* [[Martin Hermann (Mathematiker)|Martin Hermann]]: ''Numerische Mathematik. Band 2: Analytische Probleme.'' 4., überarbeitete und erweiterte Auflage. Walter de Gruyter Verlag Berlin, Boston, 2020, ISBN 978-3-11-065765-4.
* Thomas Huckle, Stefan Schneider: ''Numerik für Informatiker.'' Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42387-7.
* [[Ernst Kausen]]: ''Numerische Mathematik mit TURBO-PASCAL.'' Hüthig, Heidelberg 1989, ISBN 3-7785-1477-6.
* [[Reinhard Mennicken]]: ''Numerische Mathematik.'' 3 Bände. 1976–1981.
* Gerhard Opfer: ''Numerische Mathematik für Anfänger. Eine Einführung für Mathematiker, Ingenieure und Informatiker.'' 5., überarbeitete und erweiterte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0413-6.
* Robert Plato: ''Numerische Mathematik kompakt. Grundlagenwissen für Studium und Praxis.'' Vieweg, Braunschweig u. a. 2000, ISBN 3-528-03153-0.
* Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 8. Auflage. Teubner, Stuttgart 2011, ISBN 978-3-8348-1551-4.


== Weblinks ==
{{Wiktionary|Numerik}}
* Gert Lube: [https://lp.uni-goettingen.de/get/text/1012 Numerische Mathematik I] und [https://lp.uni-goettingen.de/get/text/1733 Numerische Mathematik II] (Skript, Georg-August-Universität Göttingen)
* L. Trefethen: [https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/NAessay.pdf Numerical analysis]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4042805-9|LCCN=|NDL=|VIAF=}}

[[Kategorie:Numerische Mathematik| ]]
[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]

Numerische Mathematik - Versionsgeschichte

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