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2021-07-20T10:13:54Z

splines alleine helfen nicht

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In der [[Numerische Mathematik|Numerischen Mathematik]] bezeichnet man mit '''numerischer Differentiation''' die näherungsweise Berechnung der [[Differentialrechnung|Ableitung]] aus gegebenen Funktionswerten, meist mittels eines [[Differenzenquotient]]en. Dies ist nötig, falls die Ableitungsfunktion nicht gegeben ist oder die Funktion selbst nur indirekt, beispielsweise über Messwerte, zur Verfügung steht. Im Gegensatz dazu wird beim [[Automatisches Differenzieren|automatischen Differenzieren]] der Code, der die betrachtete Funktion definiert, um eine Ableitungsfunktion erweitert.

Alternativ kann man auch differenzierbare [[Approximation]]en von Funktionen wie zum Beispiel kubische [[Smoothing Splines]] verwenden. Ist man nicht am gesamten Funktionsverlauf, sondern nur an einzelnen Stellen interessiert, so existieren spezielle Formeln.
[[Image:Derivative.svg|230px|right]]

== Differenzenquotient ==
{{Hauptartikel|Differenzenquotient}}
[[Datei:Gesamtfehler.png|mini|Fehlerverhalten der numerischen Differentiation, für kleine h ist der Fehler aufgrund von [[Auslöschung (Numerik)|Auslöschung]] groß, während der Fehler bei größeren h (wo die Maschinengenauigkeit ausreicht) linear wächst.]]
Ein naheliegender Ansatz ist die Verwendung des Vorwärtsdifferenzenquotienten:
:<math>f'(x) = \frac{f(x+h)-f(x)}{h} + \mathcal O(h)</math>.

<math>\mathcal O(h)</math> beschreibt, dass der Fehler linear mit der Schrittweite <math>h</math> anwächst. Für weitere Details der <math>\mathcal O</math>-Notation siehe [[Landau-Symbole]].
Ist der Abstand (h) der Funktionswerte gering, so wäre bei beliebig genauer Rechnung die Näherung zunächst besser. Allerdings tritt bei der Berechnung mittels [[Gleitkommazahl]]en [[Auslöschung (Numerik)|Auslöschung]] auf, weswegen das gewählte h von der [[Maschinengenauigkeit]] abhängige Schranken nicht unterschreiten darf.

Eine bessere Näherung als den Vorwärtsdifferenzenquotient erhält man durch Verwendung des zentralen Differenzenquotienten:
:<math>f'(x) = \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} +\mathcal O(h^2)</math>
Für den zentralen Differenzenquotienten ist die optimale Schrittweite <math>h</math> in der Größenordnung der dritten Wurzel der [[Maschinengenauigkeit]]<ref>{{Literatur |Autor=Tim Sauer |Titel=Numerical analysis |Auflage=Third edition |Ort=[Hoboken, New Jersey] |Datum=2018 |ISBN=978-0-13-469645-4 |Seiten = 248}}</ref>.

Unter Benutzung von Taylorreihenentwicklungen höherer Ordnung lassen sich Finite-Differenzenquotienten mit kleinerem Fehlerterm herleiten, wenn <math>|h|<1</math>:

:<math>f'(x)= \frac{1}{12 h} \left(-f(x+2h) + 8f(x+h) - 8f(x-h) + f(x-2h) \right) + \mathcal O(h^4)</math>

== Numerische Differentiation unter Verwendung komplexer Variable ==
Ein Problem bei der Anwendung eines klassischen Differenzenquotienten ist die Wahl einer optimalen Schrittweite <math>h</math>. Ein zu großes <math>h</math> führt zu Rundungsfehlern, während ein zu kleines <math>h</math> zu [[Auslöschung (numerische Mathematik)|Auslöschung]] führt. Die numerische Auslöschung infolge der Subtraktion kann durch die komplexwertige Approximation
:<math>f'(x) = \frac{\Im(f(x + \mathrm{i} h))}{h} + \mathcal{O}(h^2)</math>
verhindert werden.<ref>W. Squire, G. Trapp (1998) Using Complex Variables to Estimate Derivatives of Real Function, ''SIAM Rev.'', 40(1):110-112. {{DOI|10.1137/S003614459631241X}}</ref>

=== Herleitung ===
Wir betrachten die [[Taylorreihe]] von <math>f(x+h)</math> am Entwicklungspunkt <math>x</math>
:<math>f(x+h) = f(x) + h f'(x) + \frac{h^2 f''(x)}{2} + \frac{h^3 f'''(x)}{6} + \dots</math>
Abbruch nach dem linearen Glied und Umstellung nach <math>f'(x)</math> liefert den oben genannten Vorwärtsdifferenzenquotienten. Wir ersetzen nun die reelle Schrittweite <math>h</math> durch die imaginäre Schrittweite <math>\mathrm{i}h</math> und erhalten
:<math>f(x+\mathrm{i}h) = f(x) + \mathrm{i}h f'(x) - \frac{h^2 f''(x)}{2} - \frac{\mathrm{i}h^3 f'''(x)}{6} + \dots</math>
Betrachten wir nun nur den Imaginäranteil dieser Taylorreihe, so erhalten wir
:<math>\Im (f(x+\mathrm{i}h)) = h f'(x) - \frac{h^3 f'''(x)}{6} + \dots</math>
was bei Abbruch nach dem linearen Glied auf die oben angegebene Näherung der Ableitung mit dem Fehler <math>\mathcal{O}(h^2)</math> führt.

== Numerische Differentiation verrauschter Daten ==
In praktischer Anwendung sind die Funktionswerte oft [[Rauschen (Physik)|verrauscht]].
Das einfache Anwenden finiter Differenzenmethoden auf [[Rauschen (Physik)|verrauschte]] Daten führt dazu, dass die erhaltene numerische Ableitung starke Ausreißer hat. Es gibt für verrauschte Daten spezielle Methoden um die Ableitung dennoch zuverlässig zu berechnen, beispielsweise kann die Datenreihe zunächst [[Glätten (Mathematik)|geglättet]] werden oder eine approximierende Funktion durch [[Ausgleichungsrechnung]] gefunden werden und anschließend die numerische Differentiation durchgeführt werden<ref>{{Literatur |Autor=Karsten Ahnert, Markus Abel |Titel=Numerical differentiation of experimental data: local versus global methods |Sammelwerk=Computer Physics Communications |Band=177 |Nummer=10 |Datum=2007-11 |ISSN=0010-4655 |DOI=10.1016/j.cpc.2007.03.009 |Seiten=764–774}}</ref>.
Bei der [[Kantendetektion]] werden beispielsweise [[Sobel-Operator]]en verwendet, die gleichzeitig eine Glättung durchführen. Eine weitere Möglichkeit bietet die Verwendung von geglätteten Splines (auch Ausgleichssplines).

== Literatur ==
* Hans Rudolf Schwarz: ''Numerische Mathematik.'' 4., überarbeitete und erweiterte Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1997, ISBN 3-519-32960-3.
* Martin Hanke-Bourgeois: ''Grundlagen der numerischen Mathematik und des wissenschaftlichen Rechnens.'' B. G. Teubner, Stuttgart u. a. 2002, ISBN 3-519-00356-2.
* [[Martin Hermann (Mathematiker)|Martin Hermann]]: ''Numerische Mathematik, Band 2: Analytische Probleme''. 4., überarbeitete und erweiterte Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin und Boston 2020. ISBN 978-3-11-065765-4.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Numerische Mathematik]]

Numerische Differentiation - Versionsgeschichte

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