imported>He3nry: Schützte „Nullvektorraum“: aktueller Anlass, siehe Versionsgeschichte ([Bearbeiten=Nur angemeldete, nicht neue Benutzer] (bis 20. Januar 2020, 20:45 Uhr (UTC)) [Verschieben=Nur angemeldete, nicht neue Benutzer] (bis 20. Januar 2020, 20:45 Uhr (UTC)))

2019-12-20T20:45:54Z

Schützte „Nullvektorraum“: aktueller Anlass, siehe Versionsgeschichte ([Bearbeiten=Nur angemeldete, nicht neue Benutzer] (bis 20. Januar 2020, 20:45 Uhr (UTC)) [Verschieben=Nur angemeldete, nicht neue Benutzer] (bis 20. Januar 2020, 20:45 Uhr (UTC)))

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Der '''Nullvektorraum''' (auch '''Nullraum''') ist in der [[Mathematik]] ein [[Vektorraum]], der nur aus einem [[Vektor]], dem [[Nullvektor]], besteht. Der Nullvektorraum ist bis auf [[Isomorphie (Mathematik)|Isomorphie]] der einzige Vektorraum mit [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] <math>0</math> und seine [[Basis (Vektorraum)|Basis]] ist die [[leere Menge]]. Jeder Vektorraum enthält den Nullvektorraum als kleinstmöglichen [[Untervektorraum]]. Bezüglich der [[direkte Summe|direkten Summe]] und des [[direktes Produkt|direkten Produkts]] von Vektorräumen wirkt der Nullvektorraum als [[neutrales Element]]. In der [[Kategorientheorie|Kategorie]] der Vektorräume über einem gegebenen [[Körper (Algebra)|Körper]] ist der Nullvektorraum das [[Nullobjekt (Kategorientheorie)|Nullobjekt]].

== Definition ==

Der Nullvektorraum <math>(\{ 0 \}, +, \cdot)</math> ist ein [[Vektorraum]] über einem beliebigen [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> bestehend aus der [[Einelementige Menge|einelementigen Menge]] <math>\{ 0 \}</math> versehen mit der einzig möglichen [[Vektoraddition]] gegeben durch

:<math>0 + 0 = 0</math>

und der einzig möglichen [[Skalarmultiplikation]] gegeben durch

:<math>\alpha \cdot 0 = 0</math>

für alle Skalare <math>\alpha \in K</math>. Der [[Vektor]] <math>0</math> ist somit das [[Neutrales Element|neutrale Element]] bezüglich der Vektoraddition und wird [[Nullvektor]] genannt.

== Eigenschaften ==

=== Vektorraumaxiome ===

Der Nullvektorraum erfüllt die Axiome eines [[Vektorraum]]s:

*<math>(\{ 0 \}, +)</math> ist eine [[abelsche Gruppe]], nämlich die [[triviale Gruppe]]
*es gelten die Assoziativ- und Distributivgesetze der Skalarmultiplikation, das heißt für alle <math>\alpha, \beta \in K</math>:
**<math>\alpha \cdot (\beta \cdot 0) = \alpha \cdot 0 = 0 = (\alpha \cdot \beta) \cdot 0</math>
**<math>\alpha \cdot (0 + 0) = \alpha \cdot 0 = 0 = 0 + 0 = \alpha \cdot 0 + \alpha \cdot 0</math>
**<math>(\alpha + \beta) \cdot 0 = 0 = 0 + 0 = \alpha \cdot 0 + \beta \cdot 0</math>
*das [[Einselement]] <math>1 \in K</math> ist neutral:
**<math>1 \cdot 0 = 0</math>

=== Basis und Dimension ===
Die einzige [[Basis (Vektorraum)|Basis]] des Nullvektorraums ist die [[leere Menge]], denn für die [[lineare Hülle]] der leeren Menge gilt

:<math>\langle \emptyset \rangle = \{ 0 \}</math>.

Die [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] des Nullvektorraums ist somit

:<math>\dim(\{ 0 \}) = | \emptyset | = 0</math>.

Umgekehrt ist jeder nulldimensionale Vektorraum über einem gegebenen Körper [[isomorph]] zum Nullvektorraum.

=== Darstellung als Untervektorraum ===

Ist <math>V</math> ein beliebiger Vektorraum über einem Körper <math>K</math>, dann gibt es in ihm ein eindeutig bestimmtes neutrales Element bezüglich der Vektoraddition, den Nullvektor <math>0_V</math>. Die Menge <math>U = \{ 0_V \}</math> bildet dann einen [[Untervektorraum]] von <math>V</math>, denn sie ist nichtleer und [[Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)|abgeschlossen]] bezüglich der Vektoraddition sowie der Skalarmultiplikation, das heißt:

* <math>U \neq \emptyset</math>
* <math>0_V + 0_V = 0_V \in U</math>
* <math>\alpha \cdot 0_V = 0_V \in U</math> für alle <math>\alpha \in K</math>

Der Raum <math>\{ 0_V \}</math> ist damit, wie jeder einelementige Vektorraum, isomorph zum Nullvektorraum und wird der Nullvektorraum des Vektorraums <math>V</math> genannt. Da ein Untervektorraum mindestens ein Element enthalten muss, ist der Nullvektorraum der kleinstmögliche Untervektorraum eines Vektorraums. Für den Schnitt zweier [[Komplementärraum|komplementärer]] Untervektorräume <math>U_1</math> und <math>U_2</math> eines Vektorraums <math>V</math> gilt stets

:<math>U_1 \cap U_2 = \{ 0_V \}</math>.

=== Summen und Produkte ===

Bezüglich der [[direkte Summe|direkten Summe]] und des [[direktes Produkt|direkten Produkts]] von Vektorräumen wirkt der Nullvektorraum als neutrales Element, das heißt für jeden Vektorraum <math>V</math> gilt

:<math>\{0\}\oplus V\cong V\cong V\oplus\{0\}</math>   bzw.   <math>\{0\}\pi V\cong V\cong V\pi\{0\}</math>.

Für das [[Tensorprodukt]] dagegen wirkt er als [[absorbierendes Element]], das heißt

:<math>\{0\}\otimes V\cong\{0\}\cong V\otimes\{0\}</math>.

=== Kategorientheorie ===

In der [[Kategorientheorie|Kategorie]] aller Vektorräume über einem gegebenen Körper mit den [[lineare Abbildung|linearen Abbildungen]] als [[Morphismus|Morphismen]] ist der Nullvektorraum das [[Nullobjekt (Kategorientheorie)|Nullobjekt]]: Von jedem Vektorraum aus existiert genau eine lineare Abbildung in den Nullvektorraum und vom Nullvektorraum existiert in jeden Vektorraum genau eine lineare Abbildung, nämlich jeweils die [[Nullfunktion]], die gerade der jeweilige [[Nullmorphismus]] ist.

== Siehe auch ==
* [[Nullring]], der Nullvektorraum kann stets auch als Ring und damit als Algebra aufgefasst werden
* [[Nullmodul]], die Verallgemeinerung des Nullvektorraums als Modul

== Literatur ==

* {{Literatur|Autor=[[Gilbert Strang]]|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Springer|Ort=Berlin u. a.|Jahr=2003|ISBN=3-540-43949-8}}

[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Nullvektorraum - Versionsgeschichte

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