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Der '''Nullvektor''' ist in der [[Mathematik]] ein spezieller [[Vektor]] eines [[Vektorraum]]s, und zwar das eindeutig bestimmte [[Neutrales Element|neutrale Element]] bezüglich der [[Vektoraddition]]. Beispiele für Nullvektoren sind die Zahl [[Null]], die [[Nullmatrix]] und die [[Nullfunktion]]. In einem [[Skalarproduktraum]] ist der Nullvektor [[orthogonal]] zu allen Vektoren des Raums. In einem [[Normierter Raum|normierten Raum]] ist er der einzige Vektor mit [[Norm (Mathematik)|Norm]] Null. Jeder [[Untervektorraum]] eines Vektorraums enthält zumindest den Nullvektor, wobei der kleinste Untervektorraum der [[Nullvektorraum]] ist. Der Nullvektor wird zur Definition einiger zentraler Begriffe der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] wie [[lineare Unabhängigkeit]], [[Basis (Vektorraum)|Basis]] und [[Kern (Algebra)|Kern]] verwendet. Er spielt eine wichtige Rolle bei der Lösungsstruktur [[Lineare Gleichung|linearer Gleichungen]].

== Definition ==
Der Nullvektor ({{enS|zero vector}}) eines [[Vektorraum]]s <math>V</math> ist der eindeutig bestimmte [[Vektor]] <math>0_V \in V</math>, für den

:<math>v + 0_V = 0_V + v = v</math>

für alle Vektoren <math>v \in V</math> gilt. Er ist damit das [[Neutrales Element|neutrale Element]] bezüglich der [[Vektoraddition]].

== Notation ==
Der Nullvektor wird meist mittels der Ziffer [[Null]] durch <math>\vec 0</math>, <math>\mathbf 0</math> oder einfach nur <math>0</math> bezeichnet. Der Nullvektor ist jedoch im Allgemeinen von dem Nullelement des [[Skalarkörper]]s <math>K</math> des Vektorraums verschieden, das ebenfalls durch <math>0</math> dargestellt wird. Wenn Verwechslungsgefahr besteht, wird daher der Nullvektor mit <math>0_V</math> und die skalare Null mit <math>0_K</math> bezeichnet. Gelegentlich wird der Nullvektor auch durch <math>\vec o</math>, <math>\mathbf o</math> oder <math>\mathfrak{o}</math> als [[o|kleines o]] notiert.

Als einziger Vektor der [[Euklidische Ebene|euklidischen Ebene]] kann der Nullvektor nicht durch einen [[Pfeil (Symbol)|Pfeil]] grafisch dargestellt werden, da ihm keine [[Richtung]] zugeordnet werden kann.

== Beispiele ==
* Im Vektorraum <math>\R</math> der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] ist der Nullvektor die [[Zahl]] <math>0</math> und damit gleich der Null des Skalarkörpers.

* Im Vektorraum <math>\Complex</math> der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] ist der Nullvektor die Zahl <math>0 + 0i</math> und entspricht damit ebenfalls der skalaren Null.

* Im [[Koordinatenraum]] <math>K^n</math> ist der Nullvektor das [[Tupel|''n''-Tupel]] <math>(0_K, \ldots , 0_K)</math> bestehend aus den Nullelementen des Körpers <math>K</math>.

* Im [[Matrizenraum]] <math>K^{m \times n}</math> ist der Nullvektor die [[Nullmatrix]], deren Elemente alle gleich <math>0_K</math> sind.

* Im [[Folgenraum]] <math>{\mathbb K}^\N</math> ist der Nullvektor die [[Folge (Mathematik)|Folge]] <math>(0_{\mathbb K}, 0_{\mathbb K}, \ldots)</math> und nicht zu verwechseln mit dem Begriff der [[Nullfolge]].

* In einem [[Funktionenraum|linearen Funktionenraum]], das heißt einem Vektorraum, der aus Funktionen von einer Menge <math>A</math> in einen Vektorraum <math>W</math> besteht, ist der Nullvektor die [[Nullfunktion]] <math>f \equiv 0_W</math>, wobei <math>0_W</math> der Nullvektor des [[Zielmenge|Zielraums]] ist.

== Eigenschaften ==
=== Eindeutigkeit ===
Der Nullvektor eines Vektorraums ist eindeutig. Gäbe es nämlich zwei verschiedene Nullvektoren <math>0</math> und <math>\bar 0</math>, dann gilt sofort

:<math>0 = 0 + \bar 0 = \bar 0</math>

und somit Gleichheit der beiden Vektoren.

=== Skalarmultiplikation ===
Für alle Skalare <math>\alpha \in K</math> aus dem Skalarkörper gilt

:<math>\alpha \cdot 0_V = 0_V</math>

und analog dazu für alle Vektoren <math>v \in V</math> des Vektorraums

:<math>0_K \cdot v = 0_V</math>,

was direkt aus den beiden Distributivgesetzen in Vektorräumen durch Wahl von <math>\alpha = \beta = 0_K</math> bzw. <math>u = v = 0_V</math> folgt. Zusammen gilt damit

:<math>\alpha \cdot v = 0_V \Leftrightarrow \alpha = 0_K</math> oder <math>v = 0_V</math>,

denn aus <math>\alpha \cdot v = 0_V</math> folgt entweder <math>\alpha = 0_K</math> oder <math>\alpha \neq 0_K</math> und dann <math>v = \alpha^{-1} \cdot 0_V = 0_V</math>.

=== Spezielle Räume ===
* In einem [[Normierter Raum|normierten Vektorraum]] gilt für die [[Norm (Mathematik)|Norm]] des Nullvektors

::<math>\| 0_V \| = 0_\R</math>

: und der Nullvektor ist der einzige Vektor mit dieser Eigenschaft, was aus der [[Definitheit]] und der [[Homogene Funktion|absoluten Homogenität]] der Norm folgt.

* In einem [[Skalarproduktraum]] (einem euklidischen- bzw. unitären Vektorraum), also einem Vektorraum mit einem [[Skalarprodukt]], ist der Nullvektor [[orthogonal]] zu allen Vektoren des Raums, das heißt für alle Vektoren <math>v \in V</math> gilt

::<math>\langle 0_V , v \rangle = \langle v , 0_V \rangle = 0_K</math>,

: was aus der [[Lineare Abbildung|Linearität]] bzw. [[Semilineare Abbildung|Semilinearität]] des Skalarprodukts folgt. Insbesondere ist der Nullvektor damit auch zu sich selbst orthogonal. Wegen der Definitheit des Skalarprodukts ist der Nullvektor ist der einzige Vektor mit dieser Eigenschaft.

* In einem [[Halbnormierter Raum|halbnormierten Raum]] kann es mehr als einen Vektor geben, dessen Norm null ist und ein solcher Vektor wird dann (neben <math>0_V</math>) manchmal deutsch in einem weiteren Sinn ebenfalls Nullvektor (englisch {{lang|en|''null vector''}}) genannt. In diesen Fällen entspricht dieser allgemeinere Begriff eines Nullvektors jedoch nicht der obigen Standard-Definition.<ref name="Null&Zero">[https://math.stackexchange.com/questions/3235686/what-is-the-difference-between-zero-vector-and-null-vector What is the difference between zero vector and null vector?]. Auf: stackexchange.com (Mathematichs)</ref>

* Vektorraum mit Pseudo-Skalarprodukt (pseudo-euklidische oder pseudo-unitäre Vektorräume) stellen einen weiteren Spezialfall dar. Diese Vektorräume besitzen eine nicht (notwendig) [[positiv definit]]e [[Bilinearform#symmetrisch|symmetrische Bilinearform]] (in der theoretischen Physik auch eine [[Allgemeine Relativitätstheorie#Metriken|Metrik]] genannt) bzw. im [[Komplexe Zahl|komplexen Fall]] eine [[hermitesche Sesquilinearform]]. Hier werden in ähnlicher Weise über <math>0_V</math> hinaus alle Vektoren <math>v</math> mit

::<math>v \cdot v = 0</math>

:deutsch entgegen der Standard-Definition als Nullvektor (en. {{lang|en|''null vector''}}) bezeichnet. Die Menge aller dieser Vektoren wird Nullkegel (en. {{lang|en|''null cone''}}) genannt.<ref>[https://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=82952 Der Nullkegel NK(s) <nowiki>[einer Form/Metrik s]</nowiki>]. Auf: matheplanet.com (Matroids Matheplanet).</ref> Physikalisch bedeutsam ist das Beispiel des vierdimensionalen [[Minkowski-Raum|Minkowski-Vektorraums]], bei dem diese Vektoren genau die [[lichtartig]]en Vektoren bezeichnen,<ref name="Null&Zero" /> und der Nullkegel die [[Hyperfläche]] des [[Lichtkegel]] darstellt.

: Bei einem reellen Vektorraum mit einer quadratisch nicht notwendig positiv definiten [[Quadratische Form|quadratischen Form]] <math>\Psi</math> nennt man Vektoren <math>v</math> mit <math>\Psi(v) = 0</math> in einer eindeutigeren Sprechweise isotrop. Die Menge dieser Vektoren heißt Isotroper Kegel (en. {{lang|en|''isotropic cone''}}) oder auch Nullkegel. Bei einem Vektorraum mit Pseudoskalarprodukt ist vermöge <math>\Psi(v) := v \cdot v</math> diese Sprechweise auf diesen Fall übertragbar bzw. mit diesem in Übereinstimmung.<ref>Hermann Dinges: [https://www.math.uni-frankfurt.de/~ismi/dinges/teaching/Home/Geometrie_WS_09.pdf Geometrie für Anfänger – WS 2009/10.] [[Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt am Main|Universität Frankfurt/Main]], 24. April 2010.</ref>

=== Kreuzprodukt ===
Im dreidimensionalen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] <math>V=\R^3</math> ergibt das [[Kreuzprodukt]] eines beliebigen Vektors mit dem Nullvektor <math>0 \in \R^3</math> wieder den Nullvektor, also

:<math>v \times 0 = 0 \times v = 0</math>.

Gleiches gilt für das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst,

:<math>v \times v = 0</math>.

Weiterhin gilt die [[Jacobi-Identität]], das heißt die zyklische Summe wiederholter Kreuzprodukte ergibt ebenfalls den Nullvektor:

:<math>u \times (v \times w) + v \times(w \times u) + w \times ( u \times v ) = 0</math>.

== Verwendung ==
=== Linearkombinationen ===
Zu einer gegebenen [[Familie (Mathematik)|Familie]] von Vektoren <math>(v_i)_{i \in I}</math> mit einer [[Index (Mathematik)#Indexmenge|Indexmenge]] <math>I</math> lässt sich der Nullvektor stets als [[Linearkombination]]

:<math>0_V = \sum_{i \in I} \alpha_i \cdot v_i</math>

ausdrücken. Dabei sind die Vektoren genau dann [[linear unabhängig]], wenn in dieser Linearkombination alle Koeffizienten <math>\alpha_i = 0_K</math> sein müssen. Der Nullvektor kann daher niemals Teil einer [[Basis (Vektorraum)|Basis]] eines Vektorraums sein, denn er ist bereits für sich genommen linear abhängig. Jeder [[Untervektorraum]] eines Vektorraums enthält zumindest den Nullvektor. Die Menge <math>\{ 0_V \}</math>, die nur aus dem Nullvektor besteht, bildet dabei den kleinstmöglichen Untervektorraum eines Vektorraums, den [[Nullvektorraum]]; seine Basis ist die [[leere Menge]] <math>\emptyset</math>, denn die [[leere Summe]] von Vektoren ergibt definitionsgemäß den Nullvektor, also

:<math>\sum_{i \in \emptyset} v_i = 0_V</math>.

=== Lineare Abbildungen ===
Eine [[lineare Abbildung]] <math>T \colon V \to W</math> zwischen zwei Vektorräumen <math>V</math> und <math>W</math> über dem gleichen Skalarkörper <math>K</math> bildet stets den Nullvektor auf den Nullvektor ab, denn es gilt

:<math>T(0_V) = T(0_K \cdot 0_V) = 0_K \cdot T(0_V) = 0_W</math>.

Auf den Nullvektor des Zielraums <math>W</math> können jedoch auch weitere Vektoren aus <math>V</math> abgebildet werden. Diese Menge heißt der [[Kern (Algebra)|Kern]] der linearen Abbildung und sie bildet einen Untervektorraum von <math>V</math>. Eine lineare Abbildung ist genau dann [[Injektivität|injektiv]], wenn der Kern nur aus dem Nullvektor besteht.

=== Lineare Gleichungen ===
Eine homogene [[lineare Gleichung]]

:<math>T(v) = 0_W</math>

besitzt demnach zumindest den Nullvektor <math>v=0_V</math> als Lösung. Sie ist genau dann eindeutig lösbar, wenn der Kern des [[Linearer Operator|linearen Operators]] <math>T</math> nur aus dem Nullvektor besteht. Umgekehrt wird eine [[Lineare Gleichung#Homogenität|inhomogene]] lineare Gleichung

:<math>T(v) = w</math>

mit <math>w \neq 0_W</math> nie durch den Nullvektor gelöst. Eine inhomogene lineare Gleichung ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die zugehörige homogene Gleichung nur den Nullvektor als Lösung besitzt, was eine Folge der [[Superposition (Mathematik)|Superpositionseigenschaft]] ist.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Gilbert Strang]]
|Titel=Lineare Algebra
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin u. a.
|Datum=2003
|ISBN=3-540-43949-8
|DOI=10.1007/978-3-642-55631-9}}

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* {{MathWorld|title=Zero vector|id=ZeroVector}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Nullvektor - Versionsgeschichte

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