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2025-08-25T08:11:03Z

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In der [[Abstrakte Algebra|abstrakten Algebra]] ist ein '''Nullteiler''' eines [[Ring (Algebra)|Ringes]] <math>R</math> ein Element <math>a</math>, für das es ein vom Nullelement <math>0</math> verschiedenes Element <math>b</math> gibt, so dass <math>a b = 0</math>. Dieses letztere Produkt wird gelegentlich als '''Nullprodukt''' bezeichnet.

Das Nullelement <math>0</math> ist als neutrales Element der Addition gleichzeitig [[absorbierendes Element]] der Multiplikation. Deshalb ist es selbst ein Nullteiler, ein ''trivialer Nullteiler''. Ferner wird ein Nullprodukt, das einen Faktor <math>0</math> enthält, trivialerweise <math>=0</math>, weshalb Produkte mit einem bekannten Faktor <math>0</math> zur Definition des Begriffs Nullteiler nicht herangezogen werden.

== Definition ==
Ist <math>R</math> ein Ring und <math>a \in R</math>, dann unterscheidet man zwischen:<ref>{{Literatur |Autor=[[B. L. van der Waerden]] |Titel=Algebra I |Auflage=8. |Verlag=Springer |Ort=Berlin New York |Datum=1971 |ISBN=3-540-03561-3 |Seiten=36}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=[[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]] |Titel=Lehrbuch der Algebra |Auflage=4. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Wiesbaden |Datum=2017 |ISBN=978-3-658-19217-4 |Seiten=172}}</ref><ref name=":0">{{Literatur |Autor=[[Jens Carsten Jantzen]], [[Joachim Schwermer]] |Titel=Algebra |Auflage=2. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2014 |ISBN=978-3-642-40532-7 |Seiten=85}}</ref>
* '''Linksnullteiler''': Es gibt ein Element <math>b \in R\setminus\{0\}</math>, so dass <math>a b = 0</math>.
* '''Rechtsnullteiler''': Es gibt ein Element <math>b \in R\setminus\{0\}</math>, so dass <math>b a = 0</math>.
* '''(zweiseitiger) Nullteiler''': <math>a</math> ist sowohl Links- als auch Rechtsnullteiler.
* '''Linksnichtnullteiler''': <math>a</math> ist kein Linksnullteiler.
* '''Rechtsnichtnullteiler''': <math>a</math> ist kein Rechtsnullteiler.
* '''(zweiseitiger) Nichtnullteiler''': <math>a</math> ist weder Links- noch Rechtsnullteiler, oft auch '''reguläres Element''' genannt.

In nichtkommutativen Ringen müssen Linksnullteiler keine Rechtsnullteiler sein und umgekehrt, bei kommutativen Ringen hingegen fallen die zwei mal drei Begriffe schlicht zu ''Nullteiler'' bzw. ''Nichtnullteiler'' zusammen.

Man nennt von <math>0</math> verschiedene Links-, Rechts- oder zweiseitige Nullteiler '''echt''' (dann sind beide Faktoren <math>\ne 0</math>). Ein Ring ohne echte Links- und ohne echte Rechtsnullteiler heißt '''nullteilerfrei'''.

Ein nullteilerfreier, kommutativer Ring mit Einselement <math>1 \neq 0</math> heißt ''[[Integritätsring]]''.

== {{Anker|Satz vom Nullprodukt}}Satz vom Nullprodukt ==
Für nullteilerfreie Ringe <math>R</math> gilt per Definition:
: Ist <math>a b = 0</math> für zwei Elemente <math>a, b \in R </math>, dann ist <math>a = 0</math> oder <math>b = 0 .</math>
Diese Aussage wird auch, vor allem in der [[Schulmathematik]], als '''Satz vom Nullprodukt''' bezeichnet.<ref>{{Literatur |Autor=Bärbel Barzel, Matthias Glade, Marcel Klinger |Titel=Algebra und Funktionen: Fachlich und fachdidaktisch |Auflage=1. |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2021 |ISBN=978-3-662-61392-4 |Seiten=35}}</ref> Der Satz vom Nullprodukt gilt insbesondere im Bereich der reellen Zahlen und kann dort manchmal vorteilhaft benutzt werden, um Gleichungen aufzulösen.

=== Beispiel ===
Gesucht sind die reellen Zahlen, welche die Gleichung <math>2x^2-6x=0</math> erfüllen. Durch Ausklammern erhält man die äquivalente Gleichung <math>2x(x-3)=0</math>. Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt nun <math>2x=0</math> oder <math>x-3 = 0</math>. Also hat die Gleichung die beiden Lösungen <math>x_1 = 0</math> und <math>x_2 = 3</math>.

== Beispiele ==
* Der Ring <math>\mathbb{Z}</math> der [[Ganze Zahlen|ganzen Zahlen]] ist nullteilerfrei,<ref name=":1">{{Literatur |Autor=Christian Karpfinger |Titel=Algebra: Gruppen – Ringe – Körper |Auflage=6. |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2024 |ISBN=978-3-662-68655-3 |Seiten=195}}</ref> der Ring <math>\mathbb{Z}^2</math> (mit komponentenweiser Addition und Multiplikation) enthält zum Beispiel die Nullteiler <math>(0, 1)</math> und <math>(1, 0)</math>, denn <math>(0, 1) \cdot (1, 0) = (0, 0)</math> und <math>(1, 0) \cdot (0, 1) = (0, 0)</math>.

* Jeder [[Körper (Algebra)|Körper]] ist nullteilerfrei, denn jedes von <math>0</math> verschiedene Element hat ein multiplikatives Inverses.

* Der [[Restklassenring]] <math>\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}</math> hat die Nullteiler 2, 3 und 4, denn es ist <math>2 \cdot 3 \equiv 4 \cdot 3 \equiv 0 \mod 6</math>.

* Allgemein ist für eine natürliche Zahl <math>n>1</math> der Restklassenring <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> genau dann nullteilerfrei (sogar ein Körper), wenn <math>n</math> eine [[Primzahl]] ist.<ref name=":1" />
* Der [[Polynomring]] <math>K[x]</math> über einem beliebigen Körper <math>K</math> ist nullteilerfrei.<ref>{{Literatur |Autor=Gerd Fischer, Boris Springborn |Titel=Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger |Auflage=19. |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2020 |ISBN=978-3-662-61644-4 |Seiten=77}}</ref>

* Der Ring der reellen 2×2-Matrizen enthält beispielsweise die Nullteiler
:: <math>
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\ 2 & 2
\end{pmatrix}
\quad \text{und} \quad
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\ -1 & -1
\end{pmatrix}</math>
:denn
:: <math>
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\ 2 & 2
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\ -1 & -1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\ 0 & 0
\end{pmatrix}.
</math>

* Allgemein sind in einem [[Matrizenring]] über einem Körper oder Integritätsring genau die [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] Nullteiler, deren [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] <math>0</math> ist. Hier gibt es trotz fehlender Kommutativität keinen Unterschied zwischen Links- und Rechtsnullteilern.<ref name=":0" />

== Eigenschaften ==

* In Ringen ist ein Element ungleich Null genau dann Links-, Rechts- oder zweiseitiger Nichtnullteiler, wenn es links-, rechts- bzw. zweiseitig [[kürzbar]] ist.<ref>Kurt Meyberg: ''Algebra.'' Band 1. Hanser, München u. a. 1980, ISBN 3-446-13079-9, Lemma 3.2.15</ref>

* In einem Ring mit Einselement sind echte Nullteiler  (linke oder rechte) nicht invertierbar, d. h. keine [[Einheit (Mathematik)|Einheiten]]. Sei nämlich <math>a \ne 0</math> bspw. ein linker Nullteiler, es gibt also ein <math>b \ne 0</math> mit <math>a b = 0</math>. Angenommen nun, <math>a</math> wäre invertierbar, es gäbe also ein <math>c</math> mit <math>c a = 1</math>, dann ergäbe sich der Widerspruch
:: <math>b = (c a) b = c (a b) = c \, 0 = 0</math>.
: Im Fall eines Rechtsnullteilers sind die Terme zu spiegeln.
: In einem nichtkommutativen Ring mit Einselement gilt: Ein Linksnullteiler hat kein Linksinverses, jedoch kann ein Linksnullteiler ein Rechtsinverses haben; analog für Rechtsnullteiler. Ein beidseitiger Nullteiler hat demnach kein Inverses.

* Ist <math>a</math> ein Linksnullteiler, dann ist für jedes <math>b</math> das Produkt <math>b a</math> ebenfalls ein Linksnullteiler (oder gleich null). Das Produkt <math>a b</math> muss hingegen kein Links- oder Rechtsnullteiler sein (siehe dazu das Beispiel des Matrixrings <math>R</math> im Artikel [[Einheit (Mathematik)]], dessen Elemente <math>A</math> und <math>B</math> einseitige Nullteiler sind, die jeweils einseitige Inverse voneinander sind, da <math>A B = E</math> die [[Einheitsmatrix]] ist).

== Siehe auch ==
* [[Topologischer Nullteiler]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebra]]

Nullteiler - Versionsgeschichte

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