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2026-02-17T13:41:55Z

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[[Datei:Nullstelle.svg|300px|mini|Nullstellen graphisch: einfache Nullstelle mit [[Vorzeichenwechsel]] (also mit [[Nulldurchgang]]), doppelte Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel]]
'''Nullstelle''' ist ein Begriff der Mathematik im Zusammenhang mit [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]].

== Definition ==
Nullstellen einer Funktion sind diejenigen Werte des [[Definitionsbereich]]s, denen der Wert Null zugeordnet ist.

In der mathematischen Praxis sind das oft Funktionen vom Typ
: <math>f\colon D \to \mathbb R</math> mit <math>D \subseteq \mathbb R</math>
oder
: <math>f\colon D \to \mathbb C</math> mit <math>D \subseteq \mathbb R.</math>
Bei der Darstellung einer Funktion <math>D \to \mathbb R</math> als Graph in einem [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinatensystem]] (<math>y = f(x)</math>) sind das also Punkte des Graphen auf der <math>x</math>-Achse, bei an diesen Stelle [[Stetige Funktion|stetigen Funktionen]] also [[Schnittpunkt]]e oder [[Berührung (Mathematik)|Berührungspunkte]] des Graphen mit der <math>x</math>-Achse.

Nullstellen von [[Polynom]]funktionen werden auch als '''Wurzeln''' bezeichnet.

== Nullstellen reellwertiger Funktionen ==
=== Definition ===
Ein [[Element (Mathematik)|Element]] <math>x_0</math> der [[Definitionsmenge]] <math>D</math> einer [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f\colon D\to\mathbb R</math> heißt ''Nullstelle'' von <math>f</math>, wenn <math>f\left(x_0\right)=0</math> gilt. Man sagt dann auch: <math>f</math> ''hat eine Nullstelle'' bei <math>x_0</math> oder <math>f</math> ''verschwindet'' an der Stelle <math>x_0.</math>

==== Beispiel ====
: <math>f\left(x\right)= x^2 - 9</math>
<math>3</math> und <math>-3</math> sind Nullstellen der Funktion <math>f</math>, denn
<math>f(3)= 3^2 - 9 = 0</math> und
<math>f(-3)= (-3)^2 - 9 = 0</math>.

<math>0</math> ist keine Nullstelle, denn
<math>f(0)= 0^2 - 9 = -9 \ne 0</math>.

=== Mehrfache Nullstellen ===
==== Definitionen ====
[[Datei:NičlePolinoma.gif|mini|Polynom mit Nullstellen der Ordnung 1, 2 und 3]]
Ist <math>f\colon D \to \R</math> stetig (z. B. eine Polynomfunktion) und an der Nullstelle <math>x_0 \in D</math> differenzierbar, so kann man die Nullstelle <math>x_0</math> „herausteilen“. Genauer: Es gibt eine in <math>x_0</math> stetige Funktion <math>g\colon D \to \R</math>, sodass <math>f(x) = (x - x_0) \, g(x)</math> für alle <math>x \in D</math>.

Es gibt dann zwei Fälle:
# <math>g(x_0) \ne 0</math>. In diesem Fall nennt man <math>x_0</math> eine ''einfache Nullstelle.''
# <math>g(x_0) = 0</math>, d. h. auch <math>g</math> hat in <math>x_0</math> eine Nullstelle. Oder anders ausgedrückt: Auch nachdem man die Nullstelle <math>x_0</math> aus <math>f</math> herausgeteilt hat, bleibt <math>x_0</math> immer noch eine Nullstelle. In diesem Fall nennt man <math>x_0</math> eine ''mehrfache Nullstelle'' von <math>f</math>.

Um zu bestimmen, ob <math>x_0</math> eine einfache oder eine mehrfache Nullstelle ist, benutzt man die Tatsache, dass der Wert <math>g(x_0)</math> gleich der Ableitung von <math>f</math> an der Stelle <math>x_0</math> ist. Für eine differenzierbare Funktion <math>f</math> bekommt man also folgendes Kriterium:

: Eine Nullstelle <math>x_0</math> von <math>f</math> ist genau dann eine mehrfache Nullstelle, wenn <math>f'(x_0) = 0</math> ist.

Falls <math>f</math> öfter differenzierbar ist, dann kann man diesen Prozess wiederholen. Man definiert:

Es sei <math>k</math> eine [[natürliche Zahl]]. Eine (mindestens) <math>(k-1)</math>-mal [[differenzierbar]]e Funktion <math>f\colon D\to\mathbb R</math> auf einer offenen Teilmenge <math>D\subseteq\mathbb R</math> hat in <math>x_0\in D</math> eine (mindestens) <math>k</math>-''fache Nullstelle'' oder eine ''Nullstelle der Ordnung (mindestens)'' <math>k</math>, wenn <math>f</math> selbst und die ersten <math>k-1</math> [[Differentialrechnung|Ableitungen]] von <math>f</math> an der Stelle <math>x_0</math> den Wert Null annehmen:
:<math>f(x_0)=0,\quad f'(x_0)=0,\quad f''(x_0)=0,\quad\dotsc,\quad f^{(k-1)}(x_0)=0.</math>

Sei <math>f</math> nun mindestens <math>k</math>-mal differenzierbar. Ist <math>x_0</math> eine <math>k</math>-fache Nullstelle, aber keine <math>(k+1)</math>-fache, also
:<math>f(x_0)=0,\quad f'(x_0)=0,\quad f''(x_0)=0,\quad\dotsc,\quad f^{(k-1)}(x_0)=0, \quad f^{(k)}(x_0) \ne 0,</math>
so nennt man <math>k</math> die ''Ordnung'' oder ''Vielfachheit'' der Nullstelle.

==== Beispiel 1 ====
:<math>f(x) = x^3 - 3 x^2 + 3x -1</math>
mit den Ableitungen
:<math>f'(x) = 3x^2 - 6x + 3, \quad f''(x) = 6x - 6, \quad f'''(x) = 6</math>.
Es gilt <math>f(1) = 1 -3 + 3 -1 = 0</math>, also ist <math>x_0 = 1</math> eine Nullstelle von <math>f</math>. Weiter gilt
:<math>f'(1) = 3-6+3 = 0, \quad f''(1) = 6 -6 = 0, \quad</math> aber <math>f'''(1) = 6 \ne 0.</math>
Somit ist 1 eine dreifache, aber keine vierfache Nullstelle von <math>f</math>, also eine Nullstelle der Vielfachheit 3.

==== Beispiel 2 ====
:<math>f(x) = x^6-14x^5+80x^4-238x^3+387x^2-324x+108</math>
mit den Ableitungen
:<math>f'(x) = 6x^5 - 70x^4 +320x^3-714x^2+774x-324</math>
:<math>f''(x)=30x^4-280x^3+960x^2-1428x+774</math>
:<math>f^{(3)}=120x^3-840x^2+1920x-1428</math>
Es gilt
:<math>f(1) =1 - 14 + 80 - 238 + 387 - 324 + 108 = 0</math>
:<math>f(2) =64 - 448 + 1280 - 1904 + 1548 - 648 + 108 = 0</math>
:<math>f(3) = 0</math>
Also sind 1, 2 und 3 Nullstellen
Des Weiteren ist
:<math>f'(1) = -8</math>
:<math>f'(2) = 0</math>
:<math>f''(2) = -2</math>
:<math>f'(3) = 0</math>
:<math>f''(3) = 0</math>
:<math>f^{(3)}(3) = 12</math>
Somit ist 1 eine einfache, 2 eine doppelte und 3 eine dreifache Nullstelle von <math>f</math>.

==== Weitere Eigenschaften ====
* Eine Funktion <math>f</math> hat genau dann eine <math>k</math>-fache Nullstelle bei <math>x_0</math>, wenn <math>f</math> eine Nullstelle und <math>f'</math> eine <math>(k-1)</math>-fache Nullstelle bei <math>x_0</math> hat.
* Eine <math>(k-1)</math>-mal stetig differenzierbare Funktion <math>f</math> hat genau dann eine mindestens <math>k</math>-fache Nullstelle bei <math>x_0</math>, wenn es eine [[stetige Funktion]] <math>g</math> gibt, sodass
::<math>f(x)=(x-x_0)^{k-1}g(x)</math> und <math>g(x_0)=0</math>
: gilt.
* Eine <math>k</math>-mal stetig differenzierbare Funktion <math>f</math> hat genau dann bei <math>x_0</math> eine Nullstelle der Vielfachheit <math>k</math>, wenn es eine [[stetige Funktion]] <math>g</math> gibt, sodass
::<math>f(x)=(x-x_0)^k g(x)</math> und <math>g(x_0) \ne 0</math>
: gilt.

* Die Funktion
:<math>f(x)=\begin{cases}\exp\left(-\frac{1}{x^2}\right) & \mbox{wenn}\ x\neq 0 \\ 0 & \mbox{wenn}\ x=0,\end{cases}</math>
hat bei 0 eine Nullstelle der Ordnung unendlich und ist daher [[Analytische Funktion#Beispiele nicht-analytischer Funktionen|nicht analytisch]].

=== Existenz und Berechnung von Nullstellen ===
Aus dem [[Zwischenwertsatz]] kann man unter gewissen Voraussetzungen auf die Existenz einer Nullstelle schließen: Ist von zwei Funktionswerten <math>f(a)</math>, <math>f(b)</math> einer [[Stetige Funktion|stetigen]] Funktion einer positiv und einer negativ, so hat <math>f</math> mindestens eine Nullstelle zwischen <math>a</math> und <math>b</math>. (Anschaulich gesprochen muss der [[Funktionsgraph]], der die beiden Punkte <math>(a,f(a))</math> und <math>(b,f(b))</math> verbindet, die <math>x</math>-Achse schneiden.)

Je nach Funktion kann es schwer oder unmöglich sein, die Nullstellen explizit zu bestimmen, d. h. die Gleichung
:<math>f(x)=0</math>,
auch ''Nullstellengleichung'' genannt,<ref>{{Literatur |Autor=Ilja Nikolajewitsch Bronstein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew |Titel=[[Taschenbuch der Mathematik]] |Auflage=5. |Verlag=Verlag Harri Deutsch |Datum=2001 |ISBN=3-8171-2005-2 |Seiten=907}}</ref> nach <math>x</math> aufzulösen. In diesem Fall kann man Näherungswerte für Nullstellen mithilfe verschiedener [[Numerische Mathematik|numerischer Verfahren]], beispielsweise der [[Bisektion]] (Intervallhalbierungsverfahren), der [[Regula falsi]] oder einer geeigneten [[Fixpunktiteration]] für stetige Funktionen, des [[Newton-Verfahren|Newton-]] oder [[Halley-Verfahren]]s für differenzierbare Funktionen, des [[Weierstraß-(Durand-Kerner)-Verfahren]]s oder des [[Bairstow-Verfahren]]s für Polynome bestimmen.

In der [[Liste numerischer Verfahren]] findet man die Nullstellensuche unter dem Kapitel [[Liste numerischer Verfahren#Nichtlineare Gleichungssysteme|Nichtlineare Gleichungssysteme]].

== Nullstellen von Polynomfunktionen ==
Ist <math>R</math> ein [[Ring (Algebra)|Ring]] und <math>p\in R[X]</math> ein [[Polynom]] über <math>R</math>, so heißt ein Element <math>x\in R</math> ''Nullstelle'' von <math>p</math>, wenn die Einsetzung von <math>x</math> in <math>p</math> Null ergibt:
:<math>p(x)=0.</math>
Ist <math>R\to S</math> ein Ringhomomorphismus, so können analog Nullstellen von <math>p</math> in <math>S</math> definiert werden.

Mithilfe der [[Polynomdivision]] kann man zeigen, dass <math>x\in R</math> genau dann eine Nullstelle von <math>p</math> ist, wenn <math>p</math> durch <math>X-x</math> teilbar ist, d. h., wenn es ein Polynom <math>q</math> gibt, sodass
:<math>p(X) = (X-x)q(X)</math>
gilt. Diese Aussage wird manchmal auch ''Nullstellensatz'' genannt; es besteht jedoch Verwechslungsgefahr mit dem [[Hilbertscher Nullstellensatz|hilbertschen Nullstellensatz]].

Eine <math>k</math>-''fache Nullstelle'' oder ''Nullstelle der Ordnung'' <math>k</math> ist ein Element <math>x\in R</math>, sodass <math>p</math> durch <math>(X-x)^k</math> teilbar ist. Man nennt <math>k</math> auch die ''Vielfachheit'' oder ''Multiplizität'' der Nullstelle.

=== Bestimmung der Nullstellen von Polynomen ===
Für Polynome über einem [[Körper (Algebra)|Körper]], deren Grad höchstens vier ist, gibt es allgemeine Lösungsformeln mit [[Radikal (Mathematik)#Auflösung eines Polynoms durch Radikale|Radikalen]], um die Nullstellen direkt zu bestimmen:

* Grad 1: ''Siehe'' [[lineare Gleichung]]. Das Polynom <math>ax+b</math> hat für <math>a \neq 0</math> die Nullstelle <math>x=\tfrac{-b}{a}</math>. Für <math>a=0</math> hat es keine Nullstelle, falls <math>b\neq 0</math> und unendlich viele Nullstellen, falls ebenfalls <math>b=0</math>.
* Grad 2: ''Siehe'' [[quadratische Gleichung]].
* Grad 3: ''Siehe'' [[kubische Gleichung]].
* Grad 4: ''Siehe'' [[quartische Gleichung]].

Die Nullstellen des allgemeinen Polynoms fünften und höheren Grades können nicht durch Radikale dargestellt werden ''([[Satz von Abel-Ruffini]]).'' Die Frage, für welche speziellen Polynome fünften oder höheren Grades die Nullstellen durch Radikale angegeben werden können, wird im Rahmen der [[Galoistheorie]] beantwortet.

=== Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten ===
Ist <math>a_n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \dotsb + a_1 X + a_0</math> ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, so ist jede ganzzahlige Nullstelle ein Teiler von <math>a_0</math>.

Aus dem [[Satz über rationale Nullstellen|Lemma von Gauß]] folgt: Ist <math>X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \dotsb + a_1 X + a_0</math> ein normiertes Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, so ist jede rationale Nullstelle ganzzahlig und damit ein Teiler von <math>a_0</math>.

Beispiel:

Die Teiler <math>-2, -1, 1, 2</math> des Absolutglieds von <math>p(X)=X^3-X-2</math> sind keine Nullstellen, also hat <math>p</math> keine rationale Nullstelle. Da jede Faktorisierung von <math>p</math> einen Linearfaktor enthalten müsste, folgt daraus, dass <math>p</math> über <math>\mathbb{Q}</math> [[Irreduzibles Polynom|irreduzibel]] ist.

=== Polynome mit reellen Koeffizienten ===
Polynome ungeraden Grades über den [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] haben stets mindestens eine reelle Nullstelle; das folgt aus dem [[Zwischenwertsatz]]. Eine andere Begründung (sofern man den [[Fundamentalsatz der Algebra]] bereits zur Verfügung hat) ist die folgende: Echt komplexe Nullstellen reeller Polynome treten stets als Paare komplex konjugierter Zahlen auf. Polynome geraden bzw. ungeraden Grades haben also stets gerade bzw. ungerade viele reelle Nullstellen, wenn man jede Nullstelle entsprechend ihrer Vielfachheit zählt. Eine Anwendung des letzteren Prinzips stellt das numerische [[Bairstow-Verfahren]] dar.

Beispiel:

Das Polynom <math>X^3-2X+4</math> hat die Nullstelle <math>-2</math>, die sich als Teiler des Absolutgliedes leicht erraten lässt. Damit erhält man durch [[Polynomdivision]]
: <math>X^3-2X+4=(X+2)(X^2-2X+2),</math>
woraus sich noch die beiden zueinander komplex konjugierten Nullstellen <math>1+\mathrm i</math> und <math>1-\mathrm i</math> ergeben.

=== Polynome mit ausschließlich reellen Nullstellen ===
Ist <math>P(X)=X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \dotsb + a_1X + a_0</math> ein Polynom, dessen Nullstellen alle reell sind, so liegen diese in dem Intervall mit den Endpunkten
: <math>x_{1,2} = -\frac{a_{n-1}}{n} \pm \frac{n-1}{n}\sqrt{a^2_{n-1} - \frac{2n}{n-1}a_{n-2}}.</math>

Beispiel:

Das Polynom <math>P(X)=X^4 + 5X^3 + 5X^2 - 5X - 6</math> hat die vier reellen Nullstellen −3, −2, −1 und 1. Nutzung der Intervallsformel ergibt
: <math>x_{1,2} = -\frac{5}{4} \pm \frac{3}{4}\sqrt{\frac{35}{3}}</math>.
Gerundet ergibt sich das Intervall
: I = [−3,812; 1,312].
Die Nullstellen befinden sich also im gefundenen Intervall.

Für <math>n = 2</math> geht die Formel über in die bekannte [[p-q-Formel]].

=== Polynome mit komplexen Koeffizienten ===
Der [[Fundamentalsatz der Algebra]] besagt: Jedes nichtkonstante Polynom über den [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] hat mindestens eine Nullstelle. Indem man wiederholt Linearfaktoren zu Nullstellen abspaltet, erhält man die Aussage, dass sich jedes Polynom
: <math>p(X) = a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\dotsb+a_1X+a_0\quad(a_n \ne 0)</math>
über den komplexen Zahlen in der Form
: <math>p(X) = a_n(X-x_1)^{m_1}\dotsm(X-x_k)^{m_k}</math>
schreiben lässt. Dabei sind <math>x_1, \dotsc, x_k</math> die verschiedenen Nullstellen von <math>p</math> und <math>m_1, \dotsc, m_k</math> ihre jeweiligen Vielfachheiten.

=== Polynome über vollständig bewerteten Körpern ===
Es sei <math>K</math> ein vollständig [[Bewertungstheorie|bewerteter]] Körper mit Bewertungsring <math>A</math> und Restklassenkörper <math>k</math>, und es sei <math>p\in A[X]</math> ein normiertes Polynom. Aus dem [[Henselsches Lemma|henselschen Lemma]] folgt: Hat die Reduktion <math>\bar p\in k[X]</math> eine einfache Nullstelle in <math>k</math>, so hat <math>p</math> eine Nullstelle in <math>A</math>.

Beispiel:

Es sei <math>K=\mathbb Q_p</math> der Körper der [[p-adische Zahl|''p''-adischen Zahlen]] für eine Primzahl <math>p</math>. Dann ist <math>A=\mathbb Z_p</math> und <math>k=\mathbb F_p</math>. Das Polynom <math>X^{p-1}-1\in\mathbb Z_p[X]</math> zerfällt über <math>\mathbb F_p</math> in verschiedene Linearfaktoren, also hat es auch über <math>\mathbb Z_p</math> genau <math>p-1</math> Nullstellen, d. h., <math>\mathbb Z_p</math> enthält <math>(p-1)</math>-te [[Einheitswurzel]]n.

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=[[Christian Karpfinger]], [[Kurt Meyberg]]|Titel=Algebra. Gruppe – Ringe – Körper | Auflage=4|Verlag=Springer Spektrum|Ort=Berlin|Datum=2017|ISBN=978-3-662-54721-2}}

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mathematik]]

Nullstelle - Versionsgeschichte

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