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2023-03-26T08:30:21Z

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{{Dieser Artikel|behandelt einen mathematischen Begriff. Für ringförmige Dichtungselemente siehe [[O-Ring]].}}

Der '''Nullring''' oder '''triviale Ring''' ist in der [[Mathematik]] der bis auf [[Isomorphismus|Isomorphie]] eindeutig bestimmte [[Ring (Algebra)|Ring]], der nur aus einem Element – dem [[Nullelement]] – besteht. Das Nullelement ist damit zugleich das [[Einselement]] des Rings. Der Nullring besitzt eine Reihe besonderer Eigenschaften, so ist er beispielsweise der einzige Ring, in dem jedes Element eine [[Einheit (Mathematik)|Einheit]] ist, und der einzige [[Ring mit Eins]], in dem es kein [[maximales Ideal]] gibt. In der [[Kategorientheorie|Kategorie]] der Ringe mit Eins ist der Nullring [[terminales Objekt]] und in der Kategorie aller Ringe das [[Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt|Nullobjekt]].

== Definition ==

Der Nullring <math>(\{ 0 \}, + , \cdot)</math> ist ein [[Ring (Algebra)|Ring]] bestehend aus der [[Einelementige Menge|einelementigen Menge]] <math>\{ 0 \}</math> versehen mit der einzig möglichen [[Addition]] gegeben durch

:<math>0 + 0 = 0</math>

und der einzig möglichen [[Multiplikation]] gegeben durch

:<math>0 \cdot 0 = 0</math>.

Das Element <math>0</math> ist also zugleich das [[Nullelement]] und das [[Einselement]] des Rings.<ref name="artin396">{{Literatur|Autor=Artin|Titel=Algebra|Jahr=1998|Seiten=396}}</ref>

== Eigenschaften ==

Der Nullring ist ein [[Kommutativer Ring|kommutativer]] [[Ring mit Eins]]. Da das Nullelement kein [[Nullteiler]] ist, ist der Nullring nullteilerfrei. Der Nullring ist der einzige Ring, in dem das Nullelement eine [[Einheit (Mathematik)|Einheit]] ist, und sogar der einzige Ring, in dem jedes Element eine Einheit ist. Nach dem [[Lemma von Zorn]] ist er der einzige unitäre Ring, in dem es kein [[maximales Ideal]] gibt.

Jeder Ring <math>R</math>, in dem <math>1=0</math> gilt, ist [[Isomorphismus|isomorph]] zum Nullring, denn dann gilt

:<math>r = 1 \cdot r = 0 \cdot r = 0</math>

für alle Elemente <math>r \in R</math>.<ref name="artin396" /> Man begegnet dem Nullring zum Beispiel, wenn man einen Ring nach sich selbst [[Faktorring|faktorisiert]], oder indem man nach einem [[Abgeschlossenheit (algebraische Struktur)|multiplikativen System]], welches das Nullelement beinhaltet, [[Lokalisierung (Algebra)|lokalisiert]].

Der Nullring ist der einzige Ring, bei dem die [[Division (Mathematik)|Division]] (die Umkehrung der Multiplikation) völlig uneingeschränkt für ''alle'' Elemente, und d. h. in diesem Fall auch durch 0, möglich ist: Das Ergebnis ist 0.

Der Nullring ist kein [[Körper (Algebra)|Körper]], da für diese Strukturen immer <math> 1 \ne 0 </math> gefordert wird. Er ist auch kein [[Integritätsring]], da er für einen beliebigen Ring <math>R</math> isomorph zu <math>R/R</math> ist, der ganze Ring aber kein [[Primideal]] ist.

== Kategorientheorie ==

In der [[Kategorientheorie|Kategorie]] der Ringe mit Eins ist der Nullring [[terminales Objekt]], das heißt von jedem Ring gibt es genau einen [[Morphismus]] in den Nullring. Weiterhin ist jeder Morphismus aus dem Nullring heraus bereits ein [[Isomorphismus]].

In der Kategorie aller Ringe ist der Nullring sogar das [[Anfangsobjekt, Endobjekt und Nullobjekt|Nullobjekt]].

== Siehe auch ==

* [[Nullmodul]]
* [[Nullvektorraum]]

== Literatur ==

* {{Literatur|Autor=[[Michael Artin]]|Titel=Algebra|Verlag=Birkhäuser|Ort=Basel u. a.|Jahr=1998|ISBN=3-76435-938-2}}

== Einzelnachweise ==

<references />

== Weblinks ==

* {{MathWorld|title=Trivial Ring|id=TrivialRing|author=Margherita Barile}}

[[Kategorie:Ring (Algebra)]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]

Nullring - Versionsgeschichte

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