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2025-02-23T12:38:51Z

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Als '''Nullmenge''' (oder auch ''<math>\mu</math>-Nullmenge'') bezeichnet man in der [[Mathematik]] eine Teilmenge <math>A</math> eines [[Maßraum]]s <math>(\Omega, \Sigma, \mu)</math> (genauer: <math>A</math> ist ein Element der zugehörigen [[σ-Algebra]] <math>\Sigma</math>), die das [[Maß (Mathematik)|Maß]] null hat. Sie ist nicht mit der [[Leere Menge|leeren Menge]] zu verwechseln; tatsächlich kann eine Nullmenge sogar unendlich viele Elemente enthalten.
Manche Autoren nehmen in der Definition von Nullmenge auch [[Vernachlässigbare Menge|vernachlässigbare Mengen]] hinzu, d. h. solche, die Teilmenge einer Nullmenge, aber nicht notwendigerweise Element der <math>\sigma</math>-Algebra sind und denen deswegen selbst eventuell kein Maß zugeordnet ist. Wird allen Mengen, die sich nur um eine solche vernachlässigbare Menge von einem Element der <math>\sigma</math>-Algebra unterscheiden, ebenfalls ein Maß zugeordnet, spricht man von der [[Vollständiges Maß|Vervollständigung]] des Maßes, wie sie etwa in der Definition des [[Lebesgue-Maß]]es verwendet wird.

Von einer Eigenschaft, die für alle Elemente des Maßraums außerhalb einer <math>\mu</math>-Nullmenge gilt, sagt man, dass sie ''<math>\mu</math>-[[fast überall]]'' gilt. Ist <math>\mu</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]], so sagt man auch „<math>\mu</math>-[[fast sicher]]“ anstelle von „<math>\mu</math>-fast überall“.

== Beispiele ==
Sei <math>(X,\mathcal{B},\mu)</math> ein Maßraum.
* Die leere Menge <math>\emptyset</math> bildet eine <math>\mu</math>-Nullmenge.
* Sei <math>(A_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> eine Folge von <math>\mu</math>-Nullmengen, dann ist auch deren (abzählbare) Vereinigung eine <math>\mu</math>-Nullmenge, d. h., es gilt
::<math>\mu\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}} A_n\right)=0.</math>

=== Lebesgue-Maß ===
Für das [[Lebesgue-Maß]] <math>\lambda</math> auf <math>\R</math> bzw. <math>\lambda_n</math> auf <math>\R^n</math> gilt:
* Eine Teilmenge <math>N</math> von <math>\R^n</math> ist genau dann eine ''Lebesgue-Nullmenge'', wenn zu jedem <math>\varepsilon > 0</math> eine Folge <math>\left(I_i\right)_{i\in\N}</math> von achsenparallelen <math>n</math>-dimensionalen [[Hyperwürfel|Würfeln]] oder [[Hyperrechteck|Quadern]] existiert mit <math>N\subset\bigcup\limits_{i\in\N}I_i</math> und <math>\sum\limits_{i\in\N}\lambda_n\left(I_i\right) < \varepsilon</math>.<ref name="broecker_jaenich">{{Literatur |Autor=[[Theodor Bröcker]], [[Klaus Jänich]] |Titel=Einführung in die Differentialtopologie |Reihe=Heidelberger Taschenbücher |BandReihe=143 |Verlag=Springer Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg / u. a. |Datum=1990 |ISBN=3-540-06461-3 |Kapitel=§ 6. ''Der Satz von Sard'', Definitionen 6.1 und 6.3 |Seiten=58–59 |Kommentar=Korrigierter Nachdruck. Mit „differenzierbar“ ist hier immer <math>C^{\infty}</math> gemeint.}}</ref><ref name="amann_escher_lbsg">{{Literatur |Autor=Herbert Amann, [[Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]] |Titel=Analysis III |Auflage=2. |Verlag=Birkhäuser Verlag |Ort=Basel |Datum=2008 |ISBN=978-3-7643-8883-6 |Kapitel=Kapitel IX. ''Elemente der Maßtheorie'', 5. ''Das Lebesguesche Maß'', Theorem 5.1(v) |Seiten=41}}</ref>
* Jede abzählbare Teilmenge des <math>\R^n</math> ist eine Nullmenge. Insbesondere ist die Menge der [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] <math>\mathbb{Q}</math> in der Menge der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\R</math> eine Nullmenge.
* Jeder echte [[Untervektorraum]], insbesondere jede [[Hyperebene]], des <math>\R^n</math> ist eine Nullmenge. Dasselbe gilt für [[Affiner Unterraum|affine Unterräume]] und [[Untermannigfaltigkeit]]en, deren Dimension kleiner als <math>n</math> ist.
* Die [[Cantor-Menge]] ist eine überabzählbare Nullmenge in der Menge der reellen Zahlen.

== Verallgemeinerungen ==
=== Inhalte auf Halbringen ===
Man kann Nullmengen auch allgemeiner für Elemente eines [[Halbring (Mengensystem)|Halbringes]] <math>\mathcal H</math> definieren. Eine Menge <math>A</math> aus <math>\mathcal H</math> heißt Nullmenge, wenn für den [[Maßtheorie#Inhalt|Inhalt]] <math>\mu</math> gilt <math>\mu(A)=0</math>. Diese Verallgemeinerung beinhaltet sowohl die obige Definition, da jede <math>\sigma</math>-Algebra auch ein Halbring ist und jedes Maß auch ein Inhalt ist, als auch den Fall für [[Mengenring|Ringe]] und [[Prämaß]]e.

=== Differenzierbare Mannigfaltigkeiten ===
Für [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]]en gibt es im Allgemeinen keine sinnvolle Verallgemeinerung des Lebesgue-Maßes. Dennoch kann der Begriff der Lebesgue-Nullmengen sinnvoll auf differenzierbare Mannigfaltigkeiten übertragen werden: Sei <math>M</math> eine <math>n</math>-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und <math>C\subset M</math>, dann heißt <math>C</math> eine ''Lebesgue-Nullmenge'', wenn für jede [[Atlas (Mathematik)|Karte]] <math>h \colon U\rightarrow V</math> mit <math>V \subset \R^n</math> die Menge <math>h\left(C \cap U\right)</math> eine Lebesgue-Nullmenge in <math>\R^n</math> ist.<ref name="broecker_jaenich" />

Mit dieser Definition lässt sich der [[Satz von Sard]] auf differenzierbare Mannigfaltigkeiten übertragen. Im Fall von [[Pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit|pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten]] sind diese Lebesgue-Nullmengen identisch mit den Nullmengen bezüglich des [[Riemann-Lebesguesches Volumenmaß|Riemann-Lebesgueschen Volumenmaßes]].<ref name="amann_escher_mfkt">{{Literatur |Autor=Herbert Amann, [[Joachim Escher (Mathematiker)|Joachim Escher]] |Titel=Analysis III |Auflage=2. |Verlag=Birkhäuser Verlag |Ort=Basel |Datum=2008 |ISBN=978-3-7643-8883-6 |Kapitel=Kapitel XII. ''Integration auf Mannigfaltigkeiten'', 1. ''Volumenmaße'', Satz 1.6 |Seiten=409}}</ref>

== Eigenschaften ==
*Sei <math>N</math> eine <math>\mu</math>-Nullmenge, dann gilt für die [[Indikatorfunktion|charakteristische Funktion]] <math>1_N=0</math> <math>\mu</math>-[[fast überall]].

== Literatur ==
* [[Jürgen Elstrodt]]: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21390-2.
* [[Heinz Bauer (Mathematiker)|Heinz Bauer]]: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 2., überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1992, ISBN 3-11-013626-0.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Maßtheorie]]

Nullmenge - Versionsgeschichte

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