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2024-04-25T14:36:03Z

Kenngrößen: Tippfehler entfernt, Kleinkram

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Eine '''Nullmatrix''' ist in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] eine reelle oder komplexe [[Matrix (Mathematik)|Matrix]], deren Einträge alle gleich der Zahl [[Null]] sind. Allgemeiner heißt eine Matrix über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] oder [[Ring (Algebra)|Ring]] Nullmatrix, wenn alle Matrixelemente dem [[Neutrales Element|neutralen Element]] der Addition in dem Körper oder Ring entsprechen. Die Nullmatrix repräsentiert die [[Nullabbildung]] zwischen endlichdimensionalen [[Vektorraum|Vektorräumen]] und ist selbst das neutrale Element im Vektorraum oder Ring der Matrizen. Die wichtigsten Kenngrößen einer Nullmatrix, wie [[Determinante]], [[Spur (Mathematik)|Spur]] und [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]], sind jeweils Null. Die [[transponierte]], [[adjungierte]] oder [[Adjunkte|komplementäre]] Matrix einer Nullmatrix ist wieder eine Nullmatrix.

== Definition ==
Ist <math>R</math> ein Ring mit [[Nullelement]] <math>0</math>, dann ist die Nullmatrix <math>0_{mn}\in R^{m \times n}</math> definiert als

:<math>0_{mn} = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}</math>.

Die Einträge einer Nullmatrix sind demnach alle gleich dem Nullelement des Rings. Die Nullmatrix wird, sofern ihre Dimension keine Rolle spielt und keine Verwechslungsmöglichkeiten bestehen, einfach ebenfalls durch <math>0</math> oder <math>\mathbf 0</math> notiert. Eine Matrix ohne Inhalt, bei der also die Zahl der Zeilen oder der Spalten gleich null ist, wird „leere Matrix“ genannt.<ref>{{Literatur|Autor=Bosch|Titel=Lineare Algebra|Jahr=2006|Seiten=91}}</ref> Eine solche Matrix ist stets eine Nullmatrix und, falls quadratisch, zugleich [[Einheitsmatrix]].

== Beispiele ==
Ist <math>R</math> der [[Körper (Algebra)|Körper]] der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] und bezeichnet <math>0</math> die Zahl [[Null]], so sind Beispiele für Nullmatrizen:

:<math>
0_{0,0} = \begin{pmatrix}

\end{pmatrix}
,

0_{1,1} = \begin{pmatrix}
0
\end{pmatrix}
,

0_{2,2} = \begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
,

0_{3,4} = \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
</math>

== Eigenschaften ==

=== Neutralität ===

Zwischen zwei endlichdimensionalen [[Vektorraum|Vektorräumen]] über dem gleichen Körper repräsentiert die Nullmatrix die [[Nullabbildung]], also die [[lineare Abbildung]], die alle Vektoren auf den [[Nullvektor]] abbildet. Ist <math>0_m \in K^m</math> der Nullvektor des Zielraums, dann gilt für alle Vektoren <math>x \in K^n</math>

:<math>0_{mn} \cdot x = 0_m</math>.

Im [[Matrix (Mathematik)#Vektorräume von Matrizen|Vektorraum der Matrizen]] stellt die Nullmatrix selbst den Nullvektor bezüglich der [[Matrizenaddition]] dar, das heißt, es gilt für alle Matrizen <math>A \in K^{m \times n}</math>

:<math>0_{mn} + A = A + 0_{mn} = A</math>.

=== Absorbierendes Element ===

Im [[Matrizenring]] entspricht die Nullmatrix dem Nullelement und die [[Einheitsmatrix]] dem Einselement. Bezüglich der [[Matrizenmultiplikation]] wirkt die Nullmatrix als [[absorbierendes Element]], denn für alle Matrizen <math>A \in K^{n \times n}</math> gilt

:<math>0_{nn} \cdot A = A \cdot 0_{nn} = 0_{nn}</math>.

Eine <math>n\times n</math>-Nullmatrix besitzt demnach für <math>n>0</math> keine (multiplikative) [[Inverse]], denn das Produkt aus der Nullmatrix mit einer beliebigen Matrix kann nicht die Einheitsmatrix ergeben. Der Ring der quadratischen Matrizen ist auch nicht [[nullteilerfrei]], denn aus <math>A \cdot B = 0_{nn}</math> folgt nicht notwendigerweise <math>A=0_{nn}</math> oder <math>B=0_{nn}</math>.

=== Kenngrößen ===

Für die [[Determinante]] einer quadratischen Nullmatrix gilt
:<math>\operatorname{det}(0_{nn}) = \begin{cases} 1 & n=0 \\ 0 & n > 0.\end{cases}</math>

Für die [[Spur (Mathematik)|Spur]] einer quadratischen Nullmatrix gilt
:<math>\operatorname{spur}(0_{nn}) = 0</math>.

Für den [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] einer Nullmatrix über einem Körper gilt ebenfalls
:<math>\operatorname{rang}(0_{mn}) = 0</math>,

wobei Nullmatrizen die einzigen Matrizen mit Rang null sind. Das [[Charakteristisches Polynom|charakteristische Polynom]] einer quadratischen Nullmatrix über einem Körper hat die Form
:<math>\chi(\lambda) = \lambda^n</math>.

Damit ist der einzige [[Eigenwert]] <math>0</math> und der zugehörige Eigenraum der ganze Raum. Eine quadratische Nullmatrix über den reellen oder komplexen Zahlen ist sowohl [[Definitheit|positiv semidefinit]], als auch negativ semidefinit.

=== Abbildungen ===

Jede Nullmatrix kann als das [[Dyadisches Produkt|dyadische Produkt]] zweier Nullvektoren entsprechender Länge dargestellt werden, also

:<math>0_{mn} = 0_m \otimes 0_n</math>.

Die [[Transponierte|transponierte Matrix]], [[adjungierte Matrix]] oder [[Adjunkte|komplementäre Matrix]] einer Nullmatrix ist wieder eine Nullmatrix, bei der lediglich die Dimensionen vertauscht sind:

:<math>(0_{mn})^T = (0_{mn})^H = 0_{nm}</math>   und   <math>\operatorname{adj}(0_{nn}) = 0_{nn}</math>.

Das [[Matrixexponential]] einer reellen oder komplexen quadratischen Nullmatrix ist die Einheitsmatrix <math>I</math> gleicher Größe, kurz

:<math>e^0 = I</math>.

== Siehe auch ==
* [[Einsmatrix]]
* [[Nullring]]
* [[Nullvektorraum]]

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=[[Siegfried Bosch]]|Titel=Lineare Algebra|Auflage= 3.|Verlag=Springer|Ort = Berlin u. a.|Jahr=2006|ISBN=3-540-29884-3}}
* {{Literatur|Autor=[[Gilbert Strang]]|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Springer|Ort = Berlin u. a.|Jahr=2003|ISBN=3-540-43949-8}}

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* {{MathWorld|id=ZeroMatrix|title=Zero Matrix}}
* {{PlanetMath|id=ZeroMatrix|title=Zero matrix|author=Will Jennings, matte}}

[[Kategorie:Matrix]]

Nullmatrix - Versionsgeschichte

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