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[[Datei:Zero function qtl1.svg|miniatur|Die reelle Nullfunktion hat überall den Wert Null.]]

Die '''Nullfunktion''' ist in der [[Mathematik]], insbesondere der [[Analysis]], eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], deren [[Funktionswert]] unabhängig vom übergebenen Wert immer die Zahl [[Null]] ist. Allgemeiner ist die '''Nullabbildung''' oder der '''Nulloperator''' in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] eine Abbildung zwischen zwei [[Vektorraum|Vektorräumen]], die stets den [[Nullvektor]] des [[Zielmenge|Zielraums]] ergibt. Noch allgemeiner wird die Nullabbildung in der [[Algebra]] gefasst und dort ist sie eine Abbildung von einer beliebigen [[Menge (Mathematik)|Menge]] in eine Menge, auf der eine [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] mit [[Neutrales Element|neutralem Element]] definiert ist, die immer dieses neutrale Element ergibt. Die Nullfunktion hat viele Eigenschaften und wird in der Mathematik oft als Beispiel oder als Gegenbeispiel verwendet. Sie ist die [[trivial]]e [[Lösung (Mathematik)|Lösung]] einer Reihe mathematischer [[Problem]]e, wie zum Beispiel [[Lineare Gleichung#Homogenität|homogener]] [[lineare Differentialgleichung|linearer Differentialgleichungen]] und [[Integralgleichung]]en.

== Reelle Nullfunktion ==

=== Definition ===

In der reellen [[Analysis]] ist die Nullfunktion die reelle [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>\phi \colon \R \to \R</math>, die jedem Argument die Zahl [[Null]] zuordnet, das heißt, es gilt

:<math>\phi(x) = 0</math>

für alle <math>x \in \R</math>. Mit Hilfe des [[Gleichheitszeichen|Identitätssymbols]] wird die Nullfunktion auch durch

:<math>\phi \equiv 0</math>

notiert. Der [[Funktionsgraph|Graph]] der Nullfunktion ist die gesamte [[x-Achse]]. Gelegentlich wird der [[Definitionsmenge|Definitionsbereich]] der Nullfunktion auch auf eine [[Teilmenge]] <math>\Omega \subset \R</math> eingeschränkt.

=== Eigenschaften ===

==== Einordnung ====

Die Nullfunktion ist ein Spezialfall folgender Funktionenklassen:

* Sie ist eine spezielle [[konstante Funktion]] <math>f(x) = c</math>, und zwar gerade diejenige, deren Konstante <math>c=0</math> ist.
* Sie ist eine spezielle [[lineare Funktion]] <math>f(x) = mx + b</math>, und zwar diejenige, deren [[Steigung]] <math>m=0</math> und [[Ordinatenabschnitt]] <math>b=0</math> sind.
* Sie ist eine spezielle [[Polynom]]funktion <math>f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dotsb + a_1x + a_0</math>, nämlich das [[Nullpolynom]], bei dem alle Koeffizienten <math>a_i=0</math> sind. Der [[Grad (Polynom)|Grad]] des Nullpolynoms wird meist nicht als <math>0</math>, sondern als <math>-\infty</math> definiert.

==== Symmetrien ====

Die Nullfunktion ist als einzige Funktion gleichzeitig [[Gerade und ungerade Funktionen|gerade und ungerade]], das heißt, es gilt

:<math>\phi(x) = \phi(-x) = -\phi(x)</math>.

Weiter ist sie weder [[Positive und negative Zahlen|positiv noch negativ]], stattdessen ist sie sowohl nichtpositiv als auch nichtnegativ, also

:<math>\phi(x) \leq 0</math>   und   <math>\phi(x) \geq 0</math>.

Die [[Nullstelle]]n der Nullfunktion sind damit alle Zahlen der Definitionsmenge und ihre [[Nichtnullstellenmenge]] ist demnach [[Leere Menge|leer]]. Das Minimum und das Maximum der Nullfunktion sind ebenfalls Null:

:<math>\max_{x \in \R} \phi(x) = \min_{x \in \R} \phi(x) = 0</math>.

Weiterhin ist die Nullfunktion, wie jede konstante Funktion, gleichzeitig [[Reelle monotone Funktion|monoton steigend und fallend]] (jedoch nicht streng) und, wie jede lineare Funktion, gleichzeitig [[Konvexe und konkave Funktionen|konvex und konkav]].

==== Ableitungen ====

Die Nullfunktion ist eine [[glatte Funktion]], also beliebig oft [[Stetige Funktion|stetig]] [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]], wobei jede ihrer [[Differentialrechnung|Ableitungen]] wieder die Nullfunktion selbst ist, das heißt

:<math>\phi^{(n)}(x) = \phi(x)</math>

für jedes <math>n \in \N</math>. Neben den Vielfachen der [[Exponentialfunktion]] ist die Nullfunktion die einzige Funktion mit dieser Eigenschaft. Die Nullfunktion selbst ist wiederum die Ableitung einer konstanten Funktion und allgemein die <math>(n+1)</math>-te Ableitung eines Polynoms vom Grad <math>n</math>.

==== Integral ====

Das [[Integralrechnung|Integral]] der Nullfunktion ergibt unabhängig von den Integrationsgrenzen immer Null, also

:<math>\int_a^b \phi(x)~dx = 0</math>.

für alle <math>a,b \in \R \cup \{ -\infty, \infty \}</math>. Die Nullfunktion ist damit die einzige Polynomfunktion, die über den gesamten reellen Zahlen integrierbar ist. [[Stammfunktion]] der Nullfunktion ist die Nullfunktion selbst und, da die [[Integrationskonstante]] frei wählbar ist, auch jede konstante Funktion.

==== Lösung von Gleichungen ====

Die Nullfunktion ist die triviale Lösung der vier [[Funktionalgleichung#Von Cauchy untersuchte Funktionalgleichungen|Cauchy-Funktionalgleichungen]]:<ref>{{Literatur|Autor=Barner, Flohr|Titel=Analysis I|Seiten=247}}</ref>

:<math>\begin{align}
f(x + y) & = f(x) + f(y) \\
f(x + y) & = f(x) \cdot f(y) \\
f(x \cdot y) & = f(x) + f(y) \\
f(x \cdot y) & = f(x) \cdot f(y) \\
\end{align}</math>

Weiter löst die Nullfunktion jede homogene [[Lineare gewöhnliche Differentialgleichung|lineare Differentialgleichung]] der Form

:<math>a_n(x) f^{(n)}(x) + a_{n-1}(x) f^{(n-1)} + \dotsb + a_1(x) f'(x) + a_0(x) f(x) = 0</math>

und jede homogene lineare [[Integralgleichung]] der Art

:<math>\lambda f(x) + \int_a^x K(x,y) f(y)~dy = 0</math>

mit [[Integralkern]] <math>K(x,y)</math> und Vorfaktor <math>\lambda</math>. Umgekehrt wird eine inhomogene lineare Differential- oder Integralgleichung nie durch die Nullfunktion gelöst.

== Nullabbildungen zwischen Vektorräumen ==

=== Definition ===

In der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] heißt eine Abbildung <math>\phi \colon V \to W</math> zwischen zwei [[Vektorraum|Vektorräumen]] <math>V</math> und <math>W</math> über dem gleichen [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> Nullabbildung oder Nulloperator, wenn für alle Vektoren <math>v \in V</math>

:<math>\phi(v) = 0_W</math>

gilt, wobei <math>0_W</math> der eindeutig bestimmte [[Nullvektor]] von <math>W</math> ist. Gelegentlich wird die Nullabbildung auch direkt durch <math>0</math> notiert, sofern aus dem Kontext klar ist, ob die Nullabbildung oder die Zahl Null gemeint ist. Auch hier kann der Definitionsbereich der Nullabbildung auf eine Teilmenge <math>U \subset V</math> eingeschränkt werden.

=== Beispiele ===

* die reelle Nullfunktion des vorangegangenen Abschnitts und allgemeiner reelle oder [[Komplexe Zahl|komplexe]] Funktionen ein oder mehrerer Variablen, deren Funktionswert die Zahl Null oder der Nullvektor ist
* jede Abbildung von einem beliebigen Vektorraum <math>V</math> in den [[Nullvektorraum]] <math>\{ 0 \}</math> und jede [[lineare Abbildung]] vom Nullvektorraum in einen beliebigen Vektorraum <math>W</math><ref>{{Literatur|Autor=Bosch|Titel=Lineare Algebra|Seiten=78}}</ref>
* eine quadratische Matrix, die in ihr [[charakteristisches Polynom]] eingesetzt wird, nach dem [[Satz von Cayley-Hamilton]]<ref>{{Literatur|Autor=Bosch|Titel=Lineare Algebra|Seiten=204}}</ref>
* die [[Determinantenfunktion]] auf der Menge der [[Singuläre Matrix|singulären]] quadratischen [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]]<ref>{{Literatur|Autor=Bosch|Titel=Lineare Algebra|Seiten=141}}</ref>

=== Eigenschaften ===

==== Linearität ====

Die Nullabbildung ist eine [[lineare Abbildung]], also ein Vektorraumhomomorphismus, das heißt, es gilt

:<math>\phi(av + bw) = a\phi(v) + b\phi(w)</math>

für alle <math>v,w \in V</math> und <math>a,b \in K</math>. Sie liegt also im [[Lineare Abbildung#Vektorraum der linearen Abbildungen|Vektorraum der linearen Abbildungen]] <math>L(V,W)</math> und ist dort selbst der Nullvektor.

Jede Nullabbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen wird bezüglich beliebiger Basen durch eine [[Nullmatrix]] der Größe <math>\dim W \times \dim V</math> dargestellt.<ref>{{Literatur|Autor=Bosch|Titel=Lineare Algebra|Seiten=93}}</ref> Ihr [[Kern (Algebra)|Kern]] ist ganz <math>V</math>, ihr [[Bild (Mathematik)|Bild]] <math>\{0_W\}</math> und somit ihr [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] immer <math>0</math>. Ist <math>V=W</math>, dann ist besitzt die Nullabbildung als einzigen [[Eigenwert]] die Zahl Null und der zugehörige Eigenraum ist ganz <math>V</math>.

==== Operatornorm ====

Sind <math>V</math> und <math>W</math> [[Normierter Raum|normierte Räume]] mit jeweiligen [[Norm (Mathematik)|Normen]] <math>\| \cdot \|_V</math> und <math>\| \cdot \|_W</math>, dann ist die [[Operatornorm]] der Nullabbildung

:<math>\| \phi \| = \sup_{\| v \|_V = 1} \| \phi(v) \|_W = \| 0_W \|_W = 0</math>.

Die Nullabbildung selbst stellt für <math>W = \R</math> eine [[Halbnorm]] dar.

==== Lösung von Gleichungen ====

Allgemein löst die Nullabbildung jede homogene lineare Operatorgleichung

:<math>{\mathcal L} u = 0</math>,

wobei <math>{\mathcal L} \in L(V,W)</math> ein [[linearer Operator]] ist, <math>u</math> die gesuchte Funktion und <math>0</math> die Nullfunktion ist. Umgekehrt wird eine inhomogene lineare Operatorgleichung, bei der also die rechte Seite ungleich der Nullfunktion ist, nie durch die Nullabbildung gelöst.

== Nullabbildungen in ein Magma mit Eins ==

=== Definition ===

Ist <math>X</math> eine [[Menge (Mathematik)|Menge]] und <math>Y</math> ein [[Magma (Mathematik)|Magma]] mit Eins, das heißt eine Menge versehen mit einer zweistelligen [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfung]] <math>\ast</math> mit [[Neutrales Element|neutralem Element]] <math>0</math>, dann heißt eine Abbildung <math>\phi \colon X \to Y</math> Nullabbildung, wenn für alle <math>x \in X</math>

:<math>\phi(x) = 0</math>

gilt. Wichtige Beispiele für <math>(Y,\ast)</math> sind [[Monoid]]e, [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]], [[Ring (Algebra)|Ringe]], [[Modul (Mathematik)|Moduln]] und – wie im vorangegangenen Abschnitt – Vektorräume.

=== Beispiele ===

* die [[boolesche Funktion]] der [[Kontradiktion]] in einen [[Boolescher Ring|booleschen Ring]] bzw. eine [[boolesche Algebra]]
* die [[Polynomfunktion]] <math>x^q - x</math> in einem [[Polynomring]] über einem [[Endlicher Körper|endlichen Körper]] mit <math>q</math> Elementen<ref>{{Literatur|Autor=Karpfinger, Meyberg|Titel=Algebra: Gruppen – Ringe – Körper|Seiten=158}}</ref>
* die <math>k</math>-te Potenz einer [[Nilpotenz|nilpotenten]] Abbildung in einen Ring, wenn <math>k</math> größer oder gleich dem [[Nilpotenzindex]] der Abbildung ist<ref>{{Literatur|Autor=Karpfinger, Meyberg|Titel=Algebra: Gruppen – Ringe – Körper|Seiten=181}}</ref>
* das [[Maß (Mathematik)|Nullmaß]], das jeder Menge <math>A</math> den Wert <math>\mu(A) = 0</math> zuordnet

=== Eigenschaften ===
* Sind <math>X</math> und <math>Y</math> zwei Magmen, <math>Y</math> mit Eins, dann ist die Nullabbildung ein [[Magmenhomomorphismus]].
* Sind <math>X</math> und <math>Y</math> zwei Ringe, dann ist die Nullabbildung ein [[Ringhomomorphismus]]. Ist <math>X</math> ein [[einfacher Ring]] (beispielsweise ein Körper oder ein [[Schiefkörper]]), dann ist jeder Ringhomomorphismus entweder [[Injektivität|injektiv]] oder die Nullabbildung.<ref>{{Literatur|Autor=Karpfinger, Meyberg|Titel=Algebra: Gruppen – Ringe – Körper|Seiten=172}}</ref>
* Sind <math>X</math> und <math>Y</math> zwei Moduln, dann ist die Nullabbildung ein [[Modulhomomorphismus]].
* Sind <math>X</math> und <math>Y</math> zwei [[Algebra über einem kommutativen Ring|Algebren über einem Ring]], dann ist die Nullabbildung ein [[Algebrenhomomorphismus]].

== Siehe auch ==

* [[Annihilator (Mathematik)]]
* [[Nullring]]
* [[Nullteiler]]

== Literatur ==

* {{Literatur|Autor=Martin Barner, Friedrich Flohr|Titel=Analysis I|Verlag=de Gruyter|Jahr=2000|ISBN=3-110-16778-6}}
* {{Literatur|Autor=[[Siegfried Bosch]]|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Springer|Jahr=2009|ISBN=3-540-76437-2}}
* {{Literatur|Autor=Christian Karpfinger, Kurt Meyberg|Titel=Algebra: Gruppen – Ringe – Körper|Verlag=Springer|Jahr=2008|ISBN=3-827-42018-0}}
* {{Literatur|Autor=[[Gilbert Strang]]|Titel=Lineare Algebra|Verlag=Springer|Jahr=2003|ISBN=3-540-43949-8}}

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* {{MathWorld|id=ZeroMap|title=Zero Map}}
* {{PlanetMath|id=ZeroMap|title=Zero Map|author=matte, yark}}

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

Nullfunktion - Versionsgeschichte

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