imported>IndianaJones3: Wolfgang Walter (Chemiker) durch Wolfgang Walter (Mathematiker) ersetzt. Vorher war ein falscher Link, der zum Chemiker führte.

2023-01-15T23:13:08Z

Wolfgang Walter (Chemiker) durch Wolfgang Walter (Mathematiker) ersetzt. Vorher war ein falscher Link, der zum Chemiker führte.

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Das '''Nullfolgenkriterium''', auch '''Trivialkriterium''' oder '''Divergenzkriterium''', ist in der [[Mathematik]] ein [[Konvergenzkriterium]], nach dem eine [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] divergiert, wenn die [[Folge (Mathematik)|Folge]] ihrer Summanden keine [[Nullfolge]] ist. Das Nullfolgenkriterium bildet damit eine [[Notwendige und hinreichende Bedingung|notwendige, aber keine hinreichende Bedingung]] für die [[Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] einer Reihe.

== Kriterium ==
Das Nullfolgenkriterium lautet:

:''Bildet die [[Folge (Mathematik)|Folge]] der Summanden einer [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] keine Nullfolge, dann divergiert die Reihe.''

Gilt also für die Summanden <math>a_i</math> einer Reihe <math>\textstyle \sum\limits_{i=1}^\infty a_i</math>

:<math>\lim_{i \to \infty} a_i \neq 0</math>

oder existiert dieser [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] nicht, dann konvergiert die Reihe nicht. Im Gegensatz zu anderen [[Konvergenzkriterium|Konvergenzkriterien]] kann mit dem Nullfolgenkriterium lediglich bewiesen werden, dass eine Reihe divergiert, aber nicht entschieden werden, ob sie konvergiert. Beispielsweise konvergiert die [[harmonische Reihe]] nicht, obwohl ihre Summanden eine Nullfolge bilden.

== Beispiele ==
Die Reihe

:<math>\sum_{i=1}^\infty \frac{i}{i+1} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \ldots</math>

divergiert, denn

:<math>\lim_{i \to \infty} \frac{i}{i+1} = 1 \neq 0</math>.

Die [[alternierende Reihe]]

:<math>\sum_{i=1}^\infty (-1)^i = -1 + 1 - 1 \pm \ldots</math>

divergiert ebenfalls, denn der Grenzwert

:<math>\lim_{i \to \infty} (-1)^i</math>

existiert nicht.

== Beweis ==

Der Beweis des Nullfolgenkriteriums erfolgt typischerweise durch [[Kontraposition]], das heißt durch Umkehrung der Aussage

:''Konvergiert eine Reihe, dann bildet die Folge der Summanden eine Nullfolge.''

Eine Reihe konvergiert, wenn die Folge ihrer [[Partialsumme]]n <math>(s_n)_{n \in \N}</math> mit

:<math>s_n = \sum_{i=1}^n a_i</math>

konvergiert, das heißt, es existiert ein Grenzwert <math>s</math>, sodass

:<math>\lim_{n \to \infty} s_n = s</math>.

Durch Umstellung der Reihe und mit den [[Grenzwert (Folge)#Rechenregeln|Rechenregeln für Grenzwerte]] gilt dann

:<math>\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (s_n - s_{n-1}) = \lim_{n \to \infty} s_n - \lim_{n \to \infty} s_{n-1} = s - s = 0.</math>

Nachdem die Folge der Summanden für jede konvergente Reihe eine Nullfolge bilden muss, divergiert eine Reihe, wenn dies nicht der Fall ist.

== Alternativer Beweis über das Cauchy-Kriterium ==
Das Trivialkriterium kann auch über das [[Cauchy-Kriterium]] bewiesen werden. Nach diesem Kriterium konvergiert eine Reihe genau dann, wenn es für alle <math>\epsilon > 0</math> einen Mindestindex <math>N\in\N</math> gibt, so dass <math>\textstyle \left|\sum_{k=m}^n a_k \right|<\epsilon</math> für alle <math>n\ge m \ge N</math> ist. Wenn wir hier <math>n=m</math> setzen, folgt: Für alle <math>\epsilon > 0</math> gibt es ein <math>N\in\N</math>, so dass für alle <math>n\ge N</math> die Ungleichung <math>|a_n| < \epsilon</math> erfüllt ist. Dies ist aber exakt die Definition dafür, dass die Folge <math>\left(a_n\right)_{n\in\N}</math> eine Nullfolge ist.

== Siehe auch ==
* [[Satz von Olivier]], eine Verschärfung des Nullfolgenkriteriums

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=Oliver Deiser|Titel=Analysis 1, Band 1|Verlag=Springer|Jahr=2011|ISBN=3-642-22459-8}}
* [[Wolfgang Walter (Mathematiker)]]{{Literatur |Autor= |Titel=Analysis, Band 1 |Verlag=Springer |Jahr=2006 |ISBN=3-540-35078-0}}

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Trivialkriterium, Nullfolgenkriterium, Divergenzkriterium}}
* {{MathWorld|id=LimitTest|title=Limit Test|author=Todd Rowland}}

[[Kategorie:Konvergenzkriterium]]

Nullfolgenkriterium - Versionsgeschichte

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