imported>-haznK: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:1|1|0 */

2024-11-04T16:20:09Z

growthexperiments-addlink-summary-summary:1|1|0

Neue Seite

In der [[Mathematik]] versteht man unter einer '''Nullfolge''' eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] (meist von [[reelle Zahlen|reellen Zahlen]]), die gegen 0 [[Grenzwert (Folge)|konvergiert]] (sich annähert). Jede konvergente Folge kann als die Summe aus einer konstanten Zahl (nämlich ihrem Grenzwert) und einer Nullfolge dargestellt werden.

Zum Beispiel ist die Folge <math>(2^{-n})_{n\in\N}</math> eine Nullfolge reeller Zahlen.

== Definition ==
Sei <math>\mathbb{K} \in \{\R,\Complex\}</math> der [[Körper (Algebra)|Körper]] der reellen oder komplexen Zahlen. Eine Folge <math>(a_n)_{n \in \N} \subset \mathbb{K}</math> heißt Nullfolge, falls
:<math>\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0</math>
gilt. Die Menge aller Nullfolgen bildet den [[Folgenraum#c0 und c|Folgenraum <math>c_0</math>]], der mit der [[Supremumsnorm]]  <math>\textstyle \left\|(a_n)_{n \in \N}\right\|_\infty := \sup_{n\in \N}|a_n|</math>  ein [[Banachraum]] wird.

== Beispiele ==
Beispiele für Nullfolgen <math>(a_n)_{n\in\N}</math> sind:
*<math> a_n \,=\, 0</math>,

*<math> a_n \,=\, \frac{1}{n}</math>,

*<math> a_n \,=\, \frac{1}{n^2}</math>,

*<math> a_n \,=\, (-1)^n\frac{1}{n}</math>,

*<math> a_n \,=\, (-0{,}5)^n</math>,

*<math> a_n \,=\, \sqrt[n]{5} - 1</math>.

== Verallgemeinerung ==

Sei <math>(G, +, d)</math> eine [[Metrisierbarer Raum|metrisierbare]] [[topologische Gruppe]], d. h. eine Gruppe, die mit einer [[metrischer Raum|Metrik]] so ausgestattet ist, dass die Gruppenverknüpfung und die Inversenbildung stetig sind (z. B. die additive Gruppe in einem [[Absoluter Betrag|bewerteten]] [[Körper (Algebra)|Körper]] oder [[normierter Raum|normierten Vektorraum]]).

Eine Folge in <math>G</math> heißt genau dann ''Nullfolge'', wenn sie gegen das [[Neutrales Element|neutrale Element]] konvergiert.

Die Eigenschaft einer Folge, Nullfolge zu sein, hängt natürlich von der Metrik ab: Die oben als Beispiel angegebene Folge <math>a_n = (-0{,}5)^n</math> ist in <math>\mathbb{Q}</math> eine Nullfolge bezüglich der üblichen Betragsmetrik, jedoch divergiert sie sogar bezüglich des [[p-adische Zahlen|2-adischen Betrages]] auf <math>\mathbb{Q}</math>.

Eine Folge in einem normierten Vektorraum ist genau dann eine Nullfolge bezüglich der durch die Norm induzierten Metrik, wenn die Folge der Normen eine Nullfolge in <math>\mathbb{R}</math> ist.

== Siehe auch ==
* [[Nullfolgenkriterium]]

== Quellen ==
* [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' Sechste, korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, Seite 8

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* [http://www.mathematik.net/nullfolgen/nu001.htm Nullfolgen auf www.mathematik.net]

[[Kategorie:Folgen und Reihen]]

Nullfolge - Versionsgeschichte

imported>-haznK: /* growthexperiments-addlink-summary-summary:1|1|0 */