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2025-12-11T15:16:19Z

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Die im [[Teilgebiet der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Funktionalanalysis]] betrachteten '''nuklearen C*-Algebren''' bilden eine große Klasse von [[C*-Algebra|C*-Algebren]], die wichtige Teilklassen umfasst. Die nuklearen C*-Algebren sind im Zusammenhang mit Eindeutigkeitsfragen bezüglich [[Tensorprodukt]]en eingeführt worden; daher rührt auch der Name '''nuklear''', der in Anspielung auf die ''[[nuklearer Raum|nuklearen Räume]]'' aus der Theorie der [[Lokalkonvexer Raum|lokalkonvexen Räume]] gewählt wurde.

== Definition ==
Sind <math>A</math> und <math>B</math> zwei C*-Algebren, so kann man auf dem algebraischen Tensorprodukt <math>A\odot B</math> auf mehrere Arten eine C*-Norm <math>\alpha</math> definieren, das heißt eine [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\alpha</math>, so dass
* <math>(A\odot B,\alpha)</math> ist eine [[normierte Algebra]]
* <math>\alpha(s^*s) \,=\, \alpha(s)^2</math> für alle <math>s\in A\odot B</math>

gilt. Eine C*-Algebra <math>A</math> heißt nuklear, wenn es für jede C*-Algebra <math>B</math> genau eine solche C*-Norm auf <math>A\odot B</math> gibt.

Da es auf <math>A\odot B</math> stets eine minimale C*-Norm, nämlich die Norm des [[Räumliches Tensorprodukt|räumlichen Tensorproduktes]], und eine [[Maximales Tensorprodukt|maximale C*-Norm]] gibt, bedeutet die Nuklearität für eine C*-Algebra <math>A</math>, dass für jede C*-Algebra <math>B</math> die minimale und maximale C*-Norm auf <math>A\odot B</math> zusammenfallen. [[Masamichi Takesaki|M. Takesaki]] sprach in diesem Zusammenhang von C*-Algebren mit der ''Eigenschaft T''<ref>M. Takesaki: ''On the cross-norm of the direct product of C*-algebras'', Tohoku Mathematical Journal, Band 10 (1958), Seiten 111–122</ref>, die Bezeichnung ''nukleare C*-Algebra'' geht auf [[Christopher Lance|C. Lance]] zurück.

== Beispiele ==
* Kommutative C*-Algebren sind nuklear. Das eindeutig bestimmte Tensorprodukt fällt in diesem Fall mit dem [[Injektives Tensorprodukt|injektiven Tensorprodukt]] zusammen<ref>[[Richard Kadison|R.V. Kadison]], [[John Ringrose|J. R. Ringrose]]: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II'', 1983, ISBN 0-12-393302-1, Lemma 11.3.5</ref>.

* Allgemeiner sind alle [[Postliminale C*-Algebra|postliminalen C*-Algebren]] nuklear, wie bereits in der unten erwähnten Arbeit von Takesaki gezeigt wurde.

* Endlich-dimensionale C*-Algebren sind nuklear, denn diese sind endliche [[direkte Summe]]n von Matrix-Algebren <math>M_n</math> und es ist <math>M_n \otimes B \cong M_n(B)</math> für jede C*-Algebra <math>B</math> mit der im Artikel über das [[Räumliches Tensorprodukt|räumliche Tensorprodukt]] beschriebenen Norm auf <math>M_n(B)</math>.

* Die [[reduzierte Gruppen-C*-Algebra]] <math>C_r^*(G)</math> einer [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängenden]] oder [[Mittelbare Gruppe|mittelbaren Gruppe]] <math>G</math> ist nuklear. Für [[Diskrete Teilmenge|diskrete]] Gruppen gilt nach einem Satz von C. Lance auch die Umkehrung: Für eine diskrete Gruppe ist <math>C_r^*(G)</math> genau dann nuklear, wenn <math>G</math> mittelbar ist.<ref>C. Lance: ''On Nuclear C*-Algebras'', Journal of Functional Analysis, Band 12 (1973), Seiten 157–176, Theorem 4.2</ref>

* <math>C^*(F_2), C_r^*(F_2)</math> und <math>L(\ell^2)</math> sind Beispiele für C*-Algebren, die nicht nuklear sind, wobei <math>F_2</math> die von 2 Elementen erzeugte [[freie Gruppe]] und <math>\ell^2</math> der [[Folgenraum]] der quadratsummierbaren Folgen ist.

== Eigenschaften ==
* Abgeschlossene [[Zweiseitiges Ideal|zweiseitige Ideal]] und [[Faktorraum|Quotienten]] nuklearer C*-Algebren sind wieder nuklear.

* Ist umgekehrt <math>0\rightarrow J \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow 0</math> eine kurze [[exakte Sequenz]] von C*-Algebren mit nuklearen <math>J</math> und <math>B</math>, so ist auch <math>A</math> nuklear.<ref>Gerald. J. Murphy: ''C*-Algebras and Operator Theory'', Academic Press Inc. (1990), ISBN 0-12-511360-9, Theorem 6.5.3</ref>

* Unter-C*-Algebren nuklearer C*-Algebren sind im Allgemeinen nicht wieder nuklear. Genau dann sind alle Unter-C*-Algebren einer nuklearen C*-Algebra wieder nuklear, wenn die C*-Algebra postliminal ist.<ref>B. Blackadar: ''Nonnuclear subalgebras of C*-algebras'', Journal of Operator Theory, Band 14 (1985), Seiten 347–350</ref>

* [[Induktiver Limes|Induktive Limiten]] von nuklearen C*-Algebren sind wieder nuklear, daher sind alle [[AF-C*-Algebra|AF-C*-Algebren]] nuklear<ref>R.V. Kadison, J. R. Ringrose: ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras II'', 1983, ISBN 0-12-393302-1, Satz 11.3.12</ref>.

* Ist <math>(A,G,\alpha)</math> ein [[C*-dynamisches System]] mit einer nuklearen C*-Algebra <math>A</math> und einer mittelbaren Gruppe <math>G</math>, so ist auch das verschränkte Produkt <math>A \ltimes_\alpha G</math> nuklear<ref>Bruce Blackadar: ''K-Theory for Operator Algebras'', Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 15.8.2</ref>. Insbesondere sind die [[Irrationale Rotationsalgebra|irrationalen Rotationsalgebren]] nuklear.

* Eine C*-Algebra <math>A</math> ist genau dann nuklear, wenn die Identität <math>\mathrm{id}_A</math> [[Punktweise Konvergenz|punktweiser]] [[Normtopologie|Normlimes]] [[Vollständig positiver Operator|vollständig positiver]], 1-beschränkter [[Operator endlichen Ranges|Operatoren endlichen Ranges]] ist, das heißt, es gibt ein [[Netz (Topologie)|Netz]] <math>(P_i)_{i\in I}</math> vollständig positiver Operatoren mit <math>\mathrm{dim}P_i(A)<\infty</math> und <math>\|P_i\| \le 1</math> für alle <math>i\in I</math> und <math>\textstyle \lim_{i\in I}\|P_i(a)-a\| = 0</math> für alle <math>a\in A</math>.<ref>B. Blackadar: ''K-Theory for Operator-Algebras'', Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 15.8.1</ref>

* Eine [[Von-Neumann-Algebra]] heißt ''hyperfinit'', wenn sie eine aufsteigende Folge endlich-dimensionaler *-Algebren enthält, deren Vereinigung bezüglich der [[Schwache Operatortopologie|schwachen Operatortopologie]] [[Dichte Teilmenge|dicht]] liegt. Eine C*-Algebra ist genau dann nuklear, wenn ihre [[einhüllende Von-Neumann-Algebra]] hyperfinit ist. Siehe<ref>Bruce Blackadar: ''K-Theory for Operator Algebras'', Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Theorem 15.8</ref><ref> Gert K. Pedersen: ''C*-Algebras and Their Automorphism Groups'', Academic Press Inc. (1979), ISBN 0-12-549450-5, 8.15.15</ref> für weitere äquivalente Charakterisierungen.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{SORTIERUNG:Nukleare CAlgebra}}

[[Kategorie:Algebra (Struktur)]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

[[it:C*-algebra#C*-algebra nucleare]]

Nukleare C*-Algebra - Versionsgeschichte

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