imported>Texvc2LaTeXBot: Texvc Makros durch LaTeX Pendant ersetzt gemäß mw:Extension:Math/Roadmap

2018-12-26T23:20:44Z

Texvc Makros durch LaTeX Pendant ersetzt gemäß mw:Extension:Math/Roadmap

Neue Seite

Der mathematische Begriff '''normierte Algebra''' bezeichnet eine bestimmte algebraische Struktur, auf der zusätzlich eine verträgliche [[Norm (Mathematik)|Norm]] erklärt ist.

== Definition ==
Eine normierte Algebra ist ein Paar <math>(A,\|\cdot\|)</math> bestehend aus einer <math>\mathbb{K}</math>-[[Algebra über einem Körper|Algebra]] <math>A</math>, wobei <math>\mathbb{K}</math> für den [[Körper (Algebra)|Körper]] der reellen oder komplexen Zahlen steht, und einer auf <math>A</math> definierten [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>\|\cdot\|:A\rightarrow \R</math>, so dass folgendes gilt
<ref>F. F. Bonsall, J. Duncan: ''Complete Normed Algebras''. Springer-Verlag 1973, ISBN 3540063862, Kapitel I. Definition 10</ref>:

* <math>\|a\| = 0 \Leftrightarrow a=0</math> für alle <math>a\in A</math>
* <math>\|\lambda a\| = |\lambda|\cdot \|a\|</math> für alle <math>\lambda \in \mathbb{K}</math> und <math>a\in A</math> (Homogenität)
* <math>\|a+b\| \le \|a\| + \|b\|</math> für alle <math>a,b\in A</math> ([[Dreiecksungleichung]])
* <math>\|a\cdot b\| \le \|a\| \cdot \|b\|</math> für alle <math>a,b\in A</math>

Die ersten drei Normbedingungen machen <math>A</math> zu einem [[Normierter Raum|normierten]] <math>\mathbb{K}</math>- [[Vektorraum]]. Die letzte ''multiplikative'' Normbedingung ist die zur additiven Dreiecksungleichung analoge Bedingung für die Multiplikation, manche Autoren sprechen daher auch von der multiplikativen Dreiecksungleichung. Diese Bedingung sichert die Stetigkeit der Multiplikation, normierte Algebren sind daher [[Topologische Algebra|topologische Algebren]].

== Beispiele ==
* Die wichtigsten Beispiele normierter Algebren sind die [[Banachalgebra|Banachalgebren]], also diejenigen, die bezüglich ihrer Norm [[Vollständiger Raum|vollständig]] sind.
* Der Körper <math>\mathbb{K}</math> mit dem [[Betragsfunktion|Betrag]] als Norm ist eine normierte Algebra.
* Die Algebra <math>\mathbb{K}[X]</math> aller Polynome in einer Unbestimmten mit der durch <math>\textstyle \|p\| := \sup_{x\in [0,1]}|p(x)|</math> definierten Norm ist eine nicht-vollständige normierte Algebra.

== Eigenschaften ==
* Die Norm definiert eine [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] auf der normierten Algebra <math>A</math>, die sogenannte [[Normtopologie]]. Aus den Eigenschaften der Norm ergibt sich sofort, dass die algebraischen Operationen stetig sind: Ist <math>a_n\rightarrow a</math> und <math>b_n\rightarrow b</math> sowie <math>\lambda_n\rightarrow \lambda</math> mit <math>a_n,a,b_n,b\in A</math> und <math>\lambda_n,\lambda \in \mathbb{K}</math>, so folgt <math>\lambda_n a_n \rightarrow \lambda a</math>, <math>a_n + b_n \rightarrow a + b</math> und <math>a_n \cdot b_n \rightarrow a \cdot b</math> jeweils für <math>n\to\infty</math> bezüglich der Normtopologie auf <math>A</math>.
* Die algebraischen Operationen setzen sich eindeutig stetig auf die [[Vervollständigung (metrischer Raum)|Vervollständigung]] einer normierten Algebra fort; diese Vervollständigung ist dann eine Banachalgebra. Damit ist jede normierte Algebra [[Dichte Teilmenge|dicht]] in einer Banachalgebra enthalten.

== Anwendungen ==
Die normierten Algebren haben bei weitem nicht die Bedeutung wie die Banachalgebren. Manche Konstruktionen in der Theorie der Banachalgebren führen allerdings zunächst auf normierte Algebren, die dann in einem anschließenden Konstruktionsschritt vervollständigt werden; als Beispiele seien die [[AF-C*-Algebra|AF-Algebren]] als Vervollständigung [[Induktiver Limes|induktiver Limiten]], das [[Maximales Tensorprodukt|maximale Tensorprodukt]] von [[C*-Algebra|C*-Algebren]] oder die Bildung der <math>L^1(G)</math>-Algebren in der [[Harmonische Analyse|harmonischen Analyse]] als Vervollständigung der entsprechenden Algebren [[Stetige Funktion mit kompaktem Träger|stetiger Funktionen mit kompaktem Träger]] genannt.

Viele Sätze aus der Theorie der Banachalgebren verlieren für normierte Algebren ihre Gültigkeit, was die Bedeutung der Vollständigkeit beleuchtet. In obigem Beispiel <math>\mathbb{K}[X]</math> ist die Punktauswertung <math>\mathbb{K}[X] \rightarrow \mathbb{K},\, p\mapsto p(2)</math> ein ''unstetiger'' [[Homomorphismus]]. Ist <math>p \in \mathbb{K}[X]</math> ein nicht-konstantes Polynom, so ist <math>\sigma_{\mathbb{K}[X]}(p)</math>, definiert als die Menge aller <math>\lambda \in \mathbb{K}</math>, so dass <math> \lambda 1 - p </math> nicht invertierbar ist, gleich ganz <math>\mathbb{K}</math>, insbesondere also nicht [[kompakter Raum|kompakt]]. Beide Phänomene können bei Banachalgebren nicht auftreten.

== Lokale Banachalgebren ==
Für manche Anwendungen kommt man mit einer abgeschwächten Vollständigkeitseigenschaft aus. Eine normierte Algebra <math>A</math> heißt ''lokale Banachalgebra'', wenn sie bezüglich des [[Holomorpher Funktionalkalkül|holomorphen Funktionalkalküls]] abgeschlossen ist.<ref>Bruce Blackadar: ''K-Theory for Operator Algebras'', Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Kapitel II, 3.1</ref> Genauer bedeutet dies: Sind <math>a\in A</math>, <math>\sigma(a)</math> das bezüglich der Vervollständigung <math>\overline{A}</math> gebildete [[Banachalgebra|Spektrum]] und <math>f</math> eine in einer [[Umgebung (Mathematik)|Umgebung]] von <math>\sigma(a)</math> definierte [[holomorphe Funktion]], mit <math>f(0)=0</math>, falls <math>A</math> kein Einselement hat, so liegt <math>f(a)</math> in <math>A</math>. Dabei ist <math>f(a)</math> nach dem holomorphen Funktionalkalkül in <math>\overline{A}</math> gebildet.

Ist beispielsweise <math>X</math> ein [[lokalkompakter Raum|lokalkompakter]] [[Hausdorffraum]], so ist die Algebra <math>C_c(X)</math> aller stetigen Funktionen <math>X\rightarrow \Complex</math> mit kompaktem Träger eine lokale Banachalgebra. Ist <math>X</math> nicht [[Kompakter Raum|kompakt]], so ist <math>C_c(X)</math> keine Banachalgebra.

Abweichend von dieser Definition werden in <ref>J. Cuntz, R. Meyer, J. Rosenberg: ''Topological and Bivariant K-Theory'', Birkhäuser Verlag (2007), ISBN 3-764-38398-4, Definition 2.11 und nachfolgender Text </ref> induktive Limiten von Banachalgebren als ''lokal'' definiert. Diese sind offenbar bezüglich des holomorphen Funktionalkalküls abgeschlossen, da dieser in den Stufen des induktiven Limes, die ja Banachalgebren sind, ausgeführt werden kann.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Algebra (Struktur)]]

Normierte Algebra - Versionsgeschichte

imported>Texvc2LaTeXBot: Texvc Makros durch LaTeX Pendant ersetzt gemäß mw:Extension:Math/Roadmap