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2025-01-16T15:32:47Z

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'''Normalteiler''' sind im [[Teilgebiet der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Gruppentheorie]] betrachtete spezielle [[Untergruppe]]n, sie heißen auch '''normale Untergruppen.'''

Ihre Bedeutung liegt vor allem darin, dass sie genau die [[Kern (Algebra)|Kerne]] von [[Gruppenhomomorphismus|Gruppenhomomorphismen]] sind. Diese [[Funktion (Mathematik)|Abbildungen]] zwischen Gruppen ermöglichen es, einzelne Aspekte der Struktur einer Gruppe zu isolieren, um sie an der [[Bild (Mathematik)|Bildgruppe]] in Reinform leichter studieren zu können.

Die Bezeichnung „…teiler“ bezieht sich darauf, dass sich aus einer Gruppe <math>G</math> und jedem ihrer Normalteiler <math>N</math> eine [[Faktorgruppe]] <math>G/N</math> bilden lässt. Diese Faktorgruppen sind [[Homomorphismus|homomorphe]] Bilder von <math>G</math>, und jedes homomorphe Bild von <math>G</math> ist zu einer solchen Faktorgruppe <math>G/N</math> [[Gruppenisomorphismus|isomorph]].

Der französische Mathematiker [[Évariste Galois]] erkannte im 19. Jahrhundert als erster die Wichtigkeit des Konzeptes „Normalteiler“ für die Untersuchung [[Gruppe (Mathematik)#Abelsche Gruppe|nicht-kommutativer Gruppen]]. In seiner Theorie zur Lösung algebraischer Gleichungen, der so genannten [[Galoistheorie]], ist die Existenz von Normalteilern einer Gruppe von [[Permutation]]en ([[Galoisgruppe]]) entscheidend für die Lösbarkeit der Gleichung durch [[Wurzel (Mathematik)|Radikale]].

== Satz und Definition ==
Es sei <math>N</math> eine Untergruppe der Gruppe <math>G</math>.
Ist <math>g</math> ein beliebiges Element von <math>G</math>, dann wird die Teilmenge
: <math>gN := \{gn \mid n\in N\} \subseteq G</math>
als ''linke [[Nebenklasse (Mathematik)|Nebenklasse]]'' <math>gN</math> von <math>N</math> nach dem Element <math>g</math> von <math>G</math> bezeichnet.
Genauso erklärt man die ''rechte Nebenklasse'' von <math>N</math> nach dem Element <math>g</math> als
: <math>Ng := \{ng \mid n\in N\} \subseteq G</math>.

Für eine Untergruppe <math>N \subseteq G</math> sind folgende acht Aussagen paarweise äquivalent:
# Für jedes <math>g \in G</math> gilt <math>gNg^{-1} = N</math>. (Man sagt auch: <math>N</math> ist ''invariant'' unter der [[Konjugation (Gruppentheorie)|Konjugation]] mit <math>g</math>.)
# Für jedes <math>g \in G</math> und jedes <math>n \in N</math> gilt <math>gng^{-1} \in N</math>, das heißt <math>\forall g\in G\colon gNg^{-1} \subseteq N</math>.
# Für jedes <math>g \in G</math> stimmt die linke mit der rechten Nebenklasse von <math>N</math> überein: <math>\forall g\in G\colon gN = Ng</math>.
# Jede Linksnebenklasse ist auch Rechtsnebenklasse.<ref name="nichtLeererDurchschnitt">Gibt es nämlich zu jedem <math>l\in G</math> ein <math>r_l\in G</math> mit <math>l N = N r_l</math>, dann ist <math>l \in l N = N r_l</math>. Also gibt es ein <math>n_l \in N </math> mit <math>l = n_l r_l </math>, und es ist <math>N l = N n_l r_l = N r_l = l N</math>.</ref>
# Jede Rechtsnebenklasse ist auch Linksnebenklasse.<ref name="nichtLeererDurchschnitt"/>
# Es gilt <math>G/N=N \backslash G</math>.<ref>Zur Notation <math>N \backslash G = \{Ng \mid g\in G\}</math> siehe [[Gruppentheorie#Nebenklassen]]. Das Zeichen "<math>=</math>" in "<math>G/N=N \backslash G</math>" bedeutet Mengengleichheit (und niemals Isomorphie). Dann ist die Aussage <math>G/N=N \backslash G</math> gleichwertig zu <math>G/N \subseteq N \backslash G</math> (4.!) geschnitten mit <math>G/N \supseteq N \backslash G</math> (5.!). Tatsächlich sind 4. und 5. aber schon einzeln äquivalent zur Normalteilereigenschaft.</ref>
# <math>N</math> ist eine Vereinigung von [[Konjugationsklasse]]n der Gruppe <math>G</math>.
# Es existiert ein [[Gruppenhomomorphismus]] aus <math>G</math>, dessen [[Kern (Algebra)|Kern]] <math>N</math> ist.

Erfüllt eine Untergruppe <math>N</math> eine und damit jede der oben genannten Eigenschaften, so nennt man die Untergruppe ''normal'' oder einen ''Normalteiler,'' die Begriffe ''Normalteiler'' und ''normale Untergruppe'' sind gleichbedeutend.
Die Notation <math>N \vartriangleleft G</math> bedeutet „<math>N</math> ist Normalteiler von <math>G</math>“. Manche Autoren verwenden dafür auch <math>N \trianglelefteq G</math> und reservieren die Bezeichnung <math>N \vartriangleleft G</math> für den Fall, dass <math>N \not= G</math>.

== Beispiele ==
* Jede Untergruppe einer [[Abelsche Gruppe|abelschen Gruppe]] ist Normalteiler der Gruppe und viele Aussagen über Normalteiler sind für abelsche Gruppen trivial.

* Jede Gruppe besitzt die sogenannten trivialen Normalteiler, nämlich die volle Gruppe selbst und die nur aus dem [[Neutrales Element|neutralen Element]] bestehende Eins-Untergruppe. Alle anderen Normalteiler heißen nicht-trivial. Es gibt Gruppen, die keine nicht-trivialen Normalteiler besitzen, diese heißen [[Einfache Gruppe (Mathematik)|einfach]]. Beispiele sind die [[Zyklische Gruppe|zyklischen Gruppen]] <math>\Z_p</math> mit einer [[Primzahl]] <math>p</math> oder als kleinstes nicht-kommutatives Beispiel die [[A5 (Gruppe)|alternierende Gruppe A5]]. Siehe „[[Endliche einfache Gruppe]]“ für weitere Beispiele.

* Das [[Zentrum (Algebra)|Zentrum]] und die [[Kommutatorgruppe]] einer Gruppe sind stets Normalteiler.

* In der [[S3 (Gruppe)|symmetrischen Gruppe S3]]<math> = \left\{e, d, d^2, s_1, s_2, s_3\right\}</math> ist die dreielementige Untergruppe <math>N=\{e, d, d^2\}</math> ein Normalteiler. Die drei zweielementigen Untergruppen <math>\{e, s_i\}</math> sind keine Normalteiler.

* In einer [[Topologische Gruppe|topologischen Gruppe]] ist die [[Zusammenhängender Raum|Zusammenhangskomponente]] des neutralen Elementes ein [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossener]] Normalteiler.

* Die Gruppe der [[Innerer Automorphismus|inneren Automorphismen]] einer Gruppe ist stets ein Normalteiler in der vollen [[Automorphismengruppe]].

== Bemerkungen ==
Die Normalteilerrelation ist nicht [[Transitive Relation|transitiv]], das heißt, aus <math>A \vartriangleleft B</math> und <math> B \vartriangleleft C </math> folgt im Allgemeinen nicht <math>A \vartriangleleft C</math>. Ein Beispiel für diese Tatsache ist die [[A4 (Gruppe)|alternierende Gruppe A4]], die einen zur [[Kleinsche Vierergruppe|kleinschen Vierergruppe]] <math>V</math> isomorphen Normalteiler hat. Jede darin enthaltene zweielementige Untergruppe ist Normalteiler in <math>V</math>, nicht aber in <math>A_4</math>.

Eine Untergruppe ist genau dann Normalteiler in <math>G</math>, wenn ihr [[Normalisator]] ganz <math>G</math> ist. Eine Untergruppe ist immer Normalteiler in ihrem Normalisator.

Alle [[Charakteristische Untergruppe|charakteristischen Untergruppen]] einer Gruppe sind Normalteiler der Gruppe, weil die [[Konjugation (Gruppentheorie)|Konjugation]] von Gruppenelementen ein [[Automorphismus]] ist. Die Umkehrung trifft im Allgemeinen nicht zu, so sind zum Beispiel die zweielementigen Untergruppen der kleinschen Vierergruppe normal, aber nicht charakteristisch.

[[Urbild (Mathematik)|Urbilder]] eines Normalteilers unter einem Gruppenhomomorphismus sind wieder Normalteiler. Bilder von Normalteilern sind im Allgemeinen nicht normal, wie etwa die [[Inklusionsabbildung]] einer Untergruppe, die nicht Normalteiler ist, zeigt. Die Bilder eines Normalteilers unter surjektiven Gruppenhomomorphismen sind aber wieder Normalteiler.

Eine Untergruppe von [[Index (Gruppentheorie)|Index]] 2 ist immer ein Normalteiler.

Ist die Gruppe <math>G</math> endlich, gilt: Ist <math>U</math> eine Untergruppe und ist der Index von <math>U</math> gleich der kleinsten Primzahl, welche die [[Gruppentheorie#Ordnung einer Gruppe|Ordnung]] von <math>G</math> teilt, so ist <math>U</math> ein Normalteiler.

== Normalteiler, Gruppenhomomorphismen und Faktorgruppe ==
=== Faktorgruppe ===
Die [[Gruppentheorie#Nebenklassen|Nebenklassen]] eines Normalteilers <math>N</math> bilden mit dem [[Komplexprodukt]] eine Gruppe, die die [[Faktorgruppe]] <math>G/N</math> von <math>G</math> nach <math>N</math> heißt.

Die Faktorgruppe besteht also aus den Nebenklassen von <math>N</math>, das heißt <math>G/N=\{g\cdot N \mid g\in G\}</math>, und das Produkt zweier Nebenklassen ist als Komplexprodukt <math>(gN)\cdot (hN)= \{x\cdot y \mid x\in gN, y\in hN\}</math> definiert. Für einen Normalteiler <math>N</math> von <math>G</math> und beliebige Elemente <math>g,\, h</math> von <math>G</math> ist nämlich das Komplexprodukt zweier Nebenklassen wieder eine Nebenklasse, und zwar
<math>(gN)\cdot(hN)=(gh)N</math>.
Dies folgt aus der Gleichheit von Rechts- und Linksnebenklassen (s. o.):
<math>gN\cdot hN=g(Nh)N=g(hN)N=(gh)(NN)=(gh)N</math>.

Für eine Untergruppe, die kein Normalteiler ist, ist das Komplexprodukt zweier Links- (oder Rechts-) Nebenklassen im Allgemeinen keine Links- bzw. Rechtsnebenklasse.

=== Kanonischer Homomorphismus ===
Ist <math>N\trianglelefteq G</math> ein Normalteiler, so ist die Abbildung
: <math>\pi\colon G \to G/N, \quad g \mapsto g \cdot N </math>,
die jedes Gruppenelement <math>g\in G</math> auf die Nebenklasse <math>gN</math> abbildet, ein Gruppenhomomorphismus von <math>G</math> in die Faktorgruppe <math>G/N</math>. Der Homomorphismus <math>\pi</math> ist [[Surjektivität|surjektiv]] und der [[Kern (Algebra)|Kern]] ist gerade <math>N</math>. Man nennt diesen Gruppenhomomorphismus den ''kanonischen Homomorphismus'' <math>G\to G/N</math>.

=== Kerne als Normalteiler ===
Der Kern <math>\operatorname{ker}(\varphi)</math> eines beliebigen Gruppenhomomorphismus <math>\varphi</math> ist stets ein Normalteiler der abgebildeten Gruppe.
Zur Verdeutlichung der Definitionen wird der Beweis hier ausgeführt. Sei
{|
|-
|style="width: 24em;" |
: <math>\varphi \colon G \to H</math>
|| ein Gruppenhomomorphismus und
|-
|
: <math>\operatorname{ker}(\varphi) := \{n \in G \mid \varphi(n) = e_H \}</math>
|| dessen Kern (mit <math> e_H </math> als dem neutralen Element von <math> H </math>).
|}
Dann ist für alle <math>g \in G</math> und <math>n \in \operatorname{ker}(\varphi)</math>
: <math>\varphi(g \, n \, g^{-1}) = \varphi(g) \; \varphi(n) \; \varphi(g^{-1}) = \varphi(g) \, e_H \, \varphi(g^{-1}) = \varphi(g) \, \varphi(g^{-1}) = \varphi(g \; g^{-1}) = \varphi(e_G) = e_H,</math>
also <math>g \, n \, g^{-1} \in \operatorname{ker}(\varphi)</math> und damit <math>\operatorname{ker}(\varphi)</math> ein Normalteiler in <math>G</math> nach Definition 2.

Zusammen mit den Überlegungen zum kanonischen Homomorphismus zeigen diese Überlegungen, dass die Normalteiler genau die Kerne von Gruppenhomomorphismen sind. Bei einer Gruppe entsprechen also [[Kongruenzrelation]]en genau den Normalteilern.
Zu diesem Themenkreis siehe auch ''„[[Homomorphiesatz]]“.''

== Normalteiler- und Untergruppenverband ==
Die Normalteiler einer Gruppe <math>G</math> bilden ein [[Mengensystem]], das sogar ein [[Hüllensystem]] ist. Dieses Hüllensystem ist ein [[vollständiger Verband]], der ''Normalteilerverband.'' Hier bedeutet dies konkret:
# Die Schnittmenge von Normalteilern von <math>G</math> ist ein Normalteiler,
# Zu jeder Teilmenge <math>T</math> von <math>G</math> existiert ein eindeutig bestimmter kleinster Normalteiler <math>\mathcal{N}(T)</math>, der diese Menge enthält (Diese Operation <math>\mathcal N</math> ist hier die Hüllenoperation). Spezialfälle: Der [[Triviale Gruppe|triviale Normalteiler]] <math>\{e\}</math>, der nur das neutrale Element <math>e</math> der Gruppe enthält, ist <math>\mathcal{N}(\emptyset)</math>, <math>\mathcal{N}(G)=G</math> selbst ist Normalteiler. Hieraus folgt die Vollständigkeit des Verbandes.

Wie das [[Modulares Gesetz von Dedekind|modulare Gesetz von Dedekind]] zeigt, ist der Normalteilerverband ein [[Modularer Verband|modularer Unterverband]] des Untergruppenverbandes. Letzterer ist im Allgemeinen nicht modular, siehe dazu „[[Modulare Gruppe (M-Gruppe)]]“.

=== Komplementäre Normalteiler und inneres direktes Produkt {{Anker|direktes_Produkt}} ===
Im Allgemeinen gibt es im Normalteilerverband keine Komplementärobjekte. Hat ein Normalteiler <math>N_1</math> jedoch ein Komplementärobjekt <math>N_2</math>, das heißt, gilt für die Normalteiler <math>N_1\cap N_2=\{e\}</math> und <math>\mathcal{N}(N_1\cup N_2)=G</math>, dann ist die Gruppe <math>G</math> als (inneres) [[direktes Produkt]] dieser Normalteiler darstellbar: <math>G\cong N_1\times N_2</math>, das heißt, jedes Gruppenelement <math>g\in G</math> hat eine eindeutige Darstellung als Produkt <math>g=n_1\cdot n_2</math> von Elementen <math>n_1\in N_1</math> und <math>n_2\in N_2</math>. Umgekehrt ist jeder Faktor <math>H_j</math> eines (äußeren) direkten Produktes <math>G=H_1\times H_2 \cdots \times H_n</math> (isomorph zu einem) Normalteiler der Produktgruppe <math>G</math> und das Produkt aus den übrigen Faktoren ist isomorph zu einem dazu komplementären Normalteiler.

Eine Verallgemeinerung dieser Aussage: Für zwei Normalteiler, die eine triviale Schnittmenge haben, d. h. <math>N_1\cap N_2=\{e\}</math>, gilt:
* Ihre Elemente kommutieren untereinander, ohne dass natürlich einer der beiden Normalteiler kommutativ sein müsste:
:: <math>n_1\cdot n_2 = n_2\cdot n_1\quad \text{falls}\; n_1\in N_1,\, n_2\in N_2</math>
* Ihr Supremum im Verband der Normalteiler stimmt mit ihrem Komplexprodukt überein, das wiederum zu ihrem (äußeren) direkten Produkt isomorph ist:
:: <math>\mathcal{N}(N_1\cup N_2)=N_1\cdot N_2\cong N_1\times N_2</math>

Beide Aussagen treffen im Allgemeinen für Untergruppen, die keine Normalteiler sind, nicht zu. Zum Beispiel schneiden sich in der [[Freie Gruppe|freien Gruppe]] über zwei Elementen <math>F=\langle a,b \rangle</math> die beiden unendlichen zyklischen Untergruppen <math>A=\langle a \rangle</math> und <math>B=\langle b \rangle</math> in der Einsgruppe. Die Gruppe <math>A\times B</math> (äußeres direktes Produkt) ist aber zu keiner Untergruppe von <math>F</math> isomorph. Das Komplexprodukt <math>A\cdot B</math> ist keine Untergruppe von <math>F</math>, da z. B. <math>ab\in A\cdot B</math> ist, aber <math>(ab)^2=abab\not\in A\cdot B</math>.

=== Inneres semidirektes Produkt {{Anker|Inneres_semidirektes_Produkt}} ===
Ist nur <math>N</math> ein Normalteiler und <math>H</math> eine nicht notwendig normale Untergruppe der Gruppe <math>G</math> und schneiden sich die beiden in der Einsgruppe, gilt also <math>N\cap H =\{e\}</math>, dann gilt:
* Das Komplexprodukt <math>U=N\cdot H</math> ist eine (nicht notwendig normale) Untergruppe von <math>G</math>.
* Jedes Element <math>u\in U</math> ist als Produkt <math>u=n\cdot h</math> von Elementen <math>n\in N</math> und <math>h\in H</math> eindeutig darstellbar.
* Natürlich ist der Normalteiler <math>N</math> von <math>G</math> stets normal in <math>U</math>. Die Untergruppe <math>H<U</math> ist genau dann normal in <math>U</math>, wenn die Elemente von <math>N</math> und <math>H</math> untereinander kommutieren (s. o.).

In der beschriebenen Situation (<math>N\vartriangleleft G,\; H<G,\; N\cap H =\{e\}</math>) bezeichnet man das Komplexprodukt <math>U=N\cdot H</math> als (inneres) [[semidirektes Produkt]] der Untergruppen <math>N</math> und <math>H</math>. Das ''äußere'' semidirekte Produkt besteht, wie in dem genannten Artikel ausgeführt, aus dem kartesischen Produkt zweier Gruppen (hier <math>N</math> und <math>H</math>) zusammen mit einem Homomorphismus <math>\theta\colon H\to \operatorname{Aut}(N)</math> von <math>H</math> in die Gruppe der Automorphismen von <math>N</math>. Das äußere semidirekte Produkt wird dann häufig als <math>A=N\rtimes_\theta H</math> geschrieben. Von den technischen Details interessiert in unserem Zusammenhang nur, dass durch <math>\theta</math> die Rechenregel (Relation)
: <math>\left(e_N,h\right)\cdot\left(n,e_H\right)=\left(\theta(h)(n),h\right)</math>
auf dem kartesischen Produkt <math>N\times H</math> eingeführt wird. Die Schreibweise <math>\theta(h)(n)</math> bedeutet hier, der Automorphismus <math>\theta(h)</math> wird auf <math>n</math> angewandt, es gilt hier wie im Folgenden immer <math>n\in N, h\in H</math>. Diese Rechenregel ermöglicht es, alle Produkte (durch Durchschieben der Elemente von <math>H</math> nach rechts) auf die Standardform <math>(n, e_H)\cdot (e_N, h)</math> zu bringen. In unserem Fall eines inneren Produkts entspricht dem die Rechenregel
: <math> h\cdot n = h\cdot n\cdot\left(h^{-1}\cdot h\right)= \left(h\cdot n \cdot h^{-1}\right)\cdot h =\theta(h)(n)\cdot h</math>,
das heißt, <math>H</math> operiert auf <math>N</math> durch Konjugation, <math>\theta(h)\in \operatorname{Aut}(N)</math> ist der durch diese Konjugation definierte Automorphismus des Normalteilers <math>N</math>. Im Sinne dieser Überlegungen ist das Komplexprodukt <math>U</math> (hier ein inneres semidirektes Produkt) isomorph zu dem äußeren semidirekten Produkt <math>A=N\rtimes_\theta H</math>.

Jedes direkte Produkt ist auch ein spezielles semidirektes, <math>U</math> wie hier beschrieben ist genau dann das (innere) direkte Produkt von <math>N</math> und <math>H</math>, wenn eine der folgenden, paarweise äquivalenten, Bedingungen zutrifft:
* <math>H\vartriangleleft U</math> (auch <math>H</math> ist ein Normalteiler des Produkts).
* <math>\forall n\in N \, \forall h\in H\colon \; nh=hn</math> (Elemente der beiden Faktorgruppen können in Produkten untereinander vertauscht werden, ohne dass sich der Wert des Produkts ändert).
* <math>\forall h\in H\colon \; \theta(h)=\operatorname{Id}_N</math> (Konjugation mit Elementen aus <math>H</math> lässt <math>N</math> punktweise fest).

== Siehe auch ==
* [[Reihe (Gruppentheorie)]], gewisse Ketten von Normalteilern
* [[Auflösbare Gruppe]]n und [[nilpotente Gruppe]]n, Gruppen mit speziellen Reihen
* [[Vollinvariante Untergruppe]]   <math>\Rightarrow</math>   [[charakteristische Untergruppe]]   <math>\Rightarrow</math>   Normalteiler   <math>\Rightarrow</math>   [[Subnormalteiler]]   <math>\Rightarrow</math>   [[Untergruppe]]

== Literatur ==
* Thomas W. Hungerford: ''Algebra. Chapter 5: Normality, Quotient Groups, and Homomorphisms.'' Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-90518-9.
* {{EoM |Autor=O. A. Ivanova |Titel=Normal subgroup |Url=http://eom.springer.de/N/n067690.htm}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references/>

== Weblinks ==
{{Wiktionary}}
* ''[https://mathepedia.de/Normalteiler.html Normalteiler]'' auf Mathepedia
* {{MathWorld |id=NormalSubgroup |title=Normal Subgroup}}
* Robert Ash: ''[https://webs.ucm.es/BUCM/mat/doc8358.pdf Group Fundamentals.]'' (PDF; 2,8 MB). In: ''Abstract Algebra. The Basic Graduate Year'' (englisch).

[[Kategorie:Gruppentheorie]]
[[Kategorie:Untergruppe]]

Normalteiler - Versionsgeschichte

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