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2025-09-25T15:57:44Z

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Im [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Algebra]] heißt ein [[Integritätsbereich]] <math>A</math> '''normal''', wenn er [[Ganzer Abschluss|ganzabgeschlossen]] in seinem [[Quotientenkörper]] ist. Das heißt: Ist <math>\alpha \in \mathrm{Quot}(A)</math> und <math>\alpha</math> ganz über <math>A</math>, so ist bereits <math>\alpha \in A</math>. Allgemein heißt ein beliebiger kommutativer Ring ''normal'', wenn alle seine [[lokaler Ring|lokalen Ringe]] normale Integritätsbereiche sind. Für Integritätsbereiche stimmen die beiden Definitionen überein.

''Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe [[Kommutative Algebra]].''

== Eigenschaften ==
* Jeder [[faktorieller Ring|faktorielle Ring]] ist normal.
* Jeder [[regulärer Ring|reguläre Ring]] ist normal.
* [[Lokalisierung (Algebra)|Lokalisierungen]] normaler Ringe sind wieder normal.
Wird vorausgesetzt, dass der Ring [[Noetherscher Ring|noethersch]] ist, so gilt:
* Ein normaler Ring ist ein endliches Produkt normaler Integritätsbereiche.
* Ein normaler Integritätsbereich ist der Schnitt seiner [[Lokalisierung (Algebra)|Lokalisierungen]] an [[Primideal]]en der [[Dimension (kommutative Algebra)|Höhe]] 1:
:: <math>A=\bigcap_{\operatorname{ht}\mathfrak p=1}A_\mathfrak p.</math>
* Die Lokalisierungen an Primidealen der Höhe 1 sind [[diskreter Bewertungsring|diskrete Bewertungsringe]].

== Beispiele ==
* Der Ring <math>\mathbb{Z}</math> der ganzen Zahlen ist normal.
* Der Ring <math>\mathbb{Z}[\mathrm{i}] = \{a + b\mathrm{i} \mid a, b \in \mathbb{Z}\}</math> mit <math>\mathrm{i}^2 = -1</math> der [[Gaußsche Zahl|ganzen Gaußschen Zahlen]] ist ebenfalls normal.
* Der Ring <math>A := \mathbb{Z}[d\mathrm{i}]</math> für <math>d>1</math> ist ''nicht'' normal, weil <math>\mathrm{i}</math> im Quotientenkörper von <math>A</math> liegt und ganz über <math>A</math> ist, aber nicht in <math>A</math> liegt.

== Serresches Normalitätskriterium ==
Ein noetherscher Ring ist genau dann normal, wenn die Bedingungen R1 und S2 erfüllt sind.

Die Regularitätsbedingung R''k'' für eine ganze Zahl <math>k\geq0</math> besagt, dass die Lokalisierungen an Primidealen der Höhe <math>\leq k</math> [[regulärer lokaler Ring|regulär]] sind. R1 bedeutet für einen noetherschen Integritätsbereich lediglich, dass die Lokalisierungen an Primidealen der Höhe 1 [[diskreter Bewertungsring|diskrete Bewertungsringe]] sind; für beliebige noethersche Ringe ist noch [[Reduziertheit]], d. h. die Abwesenheit nichttrivialer [[Nilpotenz|nilpotenter Elemente]], erforderlich.

Die Serre-Bedingung S''k'' für eine natürliche Zahl <math>k\geq1</math> besagt, dass die [[Tiefe (Kommutative Algebra)|Tiefe]] jedes lokalen Ringes größer oder gleich dem Minimum aus seiner [[Dimension (kommutative Algebra)|Dimension]] und <math>k</math> ist, in Formeln
: <math>\operatorname{tf}A_\mathfrak p\geq\min\{k,\dim A_\mathfrak p\}.</math>

Die Kombination aus R1 und S2 kann auch wie folgt zusammengefasst werden:
* Für Primideale der Höhe <math>\leq1</math> ist der lokale Ring regulär, d. h. ein Körper oder ein diskreter Bewertungsring.
* Für Primideale der Höhe <math>\geq2</math> ist die Tiefe des lokalen Ringes mindestens 2.

Insbesondere gilt also: Ein eindimensionaler noetherscher Integritätsbereich ist genau dann normal, wenn die Lokalisierungen an den maximalen Idealen diskrete Bewertungsringe sind. Derartige Ringe heißen [[Dedekindring]]e.

== Anwendungen ==
In der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] wird ein [[Schema (algebraische Geometrie)|Schema]] <math> X </math> als ''[[Normales Schema|normal]]'' bezeichnet, wenn alle lokalen Ringe <math>\mathcal{O}_{X,x}</math> normal sind.

Ist <math> X </math> ein beliebiges integres Schema und <math> K(X) </math> der zugehörige Funktionenkörper, dann kann ein weiteres Schema <math> X^{norm} \rightarrow X </math>, die ''Normalisierung'' von <math> X </math>, wie folgt konstruiert werden: Ist <math> U \subset X </math> eine offene, affine Teilmenge, also das Spektrums eines Rings <math> R </math>, dann bilde den ganzen Abschluss <math> \tilde{R} </math> von <math> R </math> in <math> K(X) </math>. Die Spektren der Ringe <math> \tilde{R} </math> lassen sich zu einem Schema <math> X^{norm} </math> verkleben. Der Morphismus <math> X^{norm} \rightarrow X </math> wird dabei induziert von den Inklusionen <math> R \rightarrow \tilde{R} </math>. Die so erhaltene Normalisierung hat die Eigenschaft, regulär in Kodimension 1 zu sein. Ist <math> X </math> also eine Kurve, so besitzt <math> X^{norm} </math> keine Singularitäten. (Unter milden Bedingungen ist <math> X^{norm} \rightarrow X</math> eine Auflösung der Singularitäten im Sinne der algebraischen Geometrie.)

== Quellen ==
* David Eisenbud, ''Commutative algebra with a view toward algebraic geometry''. Springer-Verlag, New York 1995. ISBN 0-387-94269-6
* Hideyuki Matsumura, ''Commutative ring theory''. Cambridge University Press, Cambridge 1989. ISBN 0-521-36764-6
* [[Alexander Grothendieck|A. Grothendieck]], [[Jean Dieudonné|J. Dieudonné]]: [[Éléments de géométrie algébrique]]. ''Publications mathématiques de l'IHÉS'' 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32 (1960–1967)

[[Kategorie:Kommutative Algebra]]
[[Kategorie:Algebraische Geometrie]]

Normalität (kommutative Algebra) - Versionsgeschichte

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