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2023-12-18T09:35:30Z

Vorlagen-fix (Hrsg)

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Der '''Normalisator''' ist ein Begriff aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Gruppentheorie]].

== Definition ==

Es seien <math>G</math> eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] und <math>U</math> eine nichtleere Teilmenge von <math>G</math>. Der ''Normalisator'' von <math>U</math> in <math>G</math> ist definiert als
:<math>N_G(U):= \left\{g \in G \mid gUg^{-1}= U \right\}</math>.
Dabei ist <math>gUg^{-1} = \left\{gug^{-1} \mid u \in U\right\}</math>, entsprechend der Definition des [[Komplexprodukt]]es.<ref name="meyberg186" /><ref name="robinson" />

Mit anderen Worten: Der Normalisator <math>N_G(U)</math> besteht aus denjenigen <math>g\in G</math>, für die gilt, dass <math>U</math> unter [[Konjugation (Gruppentheorie)|Konjugation]] mit <math>g</math> invariant ist. (Man sagt, dass diese Elemente <math>U</math> ''normalisieren.'')

Man beachte, dass lediglich gefordert wird, dass <math>U</math> als Ganzes festbleibt, im Allgemeinen gilt also für einzelne Elemente <math>u\in U</math> und <math>g\in N_G(U)</math> durchaus <math>gug^{-1}\ne u</math>; es gilt aber stets <math>gug^{-1}\in U</math>.

== Eigenschaften ==

* Der Normalisator ist eine Untergruppe von <math>G</math>.<ref name="meyberg187" />
* Der [[Index (Gruppentheorie)|Index]] des Normalisators <math>N_G(U)</math> liefert die Anzahl der unterschiedlichen Konjugierten <math>gUg^{-1}</math> der Menge <math>U</math>, d. h. <math>|\{ gUg^{-1} \mid g \in G \}| =[G : N_G(U) ]</math>.
* Eine Untergruppe <math>U</math> ist stets [[Normalteiler]] in ihrem Normalisator <math>N_G(U)</math>.<ref name="meyberg187" /> Genauer: <math>N_G(U)</math> ist die bezüglich [[Teilmenge|Inklusion]] größte [[Untergruppe]] von <math>G</math>, in der <math>U</math> Normalteiler ist.
* Eine Untergruppe ist genau dann Normalteiler in <math>G</math>, wenn ihr Normalisator ganz <math>G</math> ist.<ref name="meyberg187" />
* Man kann den Normalisator auch wie folgt einführen:<br />Sei <math>G</math> eine Gruppe. Man lasse <math>G</math> auf der [[Potenzmenge]] von <math>G</math> durch [[Konjugation (Gruppentheorie)|Konjugation]] [[Gruppenoperation|operieren]]. Dann ist der [[Gruppenoperation#Stabilisator|Stabilisator]] dieser Operation für eine gegebene Teilmenge von <math>G</math> gerade der Normalisator dieser Teilmenge.

== Beispiel ==

Es sei <math>G</math> die [[allgemeine lineare Gruppe|Gruppe der invertierbaren <math>n\times n</math>-Matrizen]] (mit reellen Einträgen) für eine natürliche Zahl <math>n</math>. Weiter sei <math>U</math> die Untergruppe der [[Diagonalmatrix|Diagonalmatrizen]]. Dann ist der Normalisator von <math>U</math> in <math>G</math> die Gruppe der Matrizen, bei denen in jeder Zeile und in jeder Spalte genau ein Eintrag ungleich null ist. Der [[Faktorgruppe|Quotient]] <math>N_G(U)/U</math> ist [[isomorph]] zur [[Symmetrische Gruppe|symmetrischen Gruppe]] <math>S_n</math>.<ref name="Procesi" />

== Verwandte Begriffe ==

Fordert man, dass <math>U</math> ''elementweise'' invariant unter der Konjugation mit Gruppenelementen ist, erhält man den stärkeren Begriff des [[Zentralisator]]s <math>Z_G(U)</math>. Der Zentralisator ist ein Normalteiler im jeweiligen Normalisator.<ref name="robinson" />

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="meyberg186">
{{Literatur
|Autor=Kurt Meyberg
|Titel=Algebra Teil 1
|Verlag=Karl Hanser Verlag
|Datum=1980
|ISBN=3-446-13079-9
|Seiten=52
|Fundstelle=Definition 1.8.6
|Sprache=de}}
</ref>
<ref name="meyberg187">
{{Literatur
|Autor=Kurt Meyberg
|Titel=Algebra Teil 1
|Verlag=Karl Hanser Verlag
|Datum=1980
|ISBN=3-446-13079-9
|Seiten=53
|Fundstelle=Satz 1.8.7
|Sprache=de}}
</ref>
<ref name="robinson">
{{Literatur
|Autor=Derek J. S. Robinson
|Titel=A Course in the Theory of Groups
|Verlag=Springer
|Datum=1996
|ISBN=1-4612-6443-X
|Seiten=38
|Sprache=en}}
</ref>
<ref name="Procesi">
{{Literatur
|Autor=Claudio Procesi
|Titel=Lie Groups
|TitelErg=An Approach through Invariants and Representations
|Verlag=Springer
|Datum=2007
|ISBN=978-0-387-26040-2
|Seiten=218
|Fundstelle=Kap. 4.8 Representations of Linearly Reductive Groups
|Sprache=en}}
</ref>
</references>

[[Kategorie:Gruppentheorie]]

Normalisator - Versionsgeschichte

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