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2024-11-03T18:20:52Z

Anfang des Jahres entfernten Beleg (Spezial:Diff/237427964/240967080) aus Internetarchiv wieder hergestellt

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Die '''Normalform eines Spiels''', kurz '''Normalform''', bezeichnet in der [[Spieltheorie]] eine Darstellungsform von [[Spiel (Spieltheorie)|Spielen]], die sich im Wesentlichen auf die A-priori-[[Strategie (Spieltheorie)|Strategiemengen]] der einzelnen Spieler und eine [[Auszahlungsfunktion]] als Funktion der gewählten Strategiekombinationen beschränkt. Gerecht wird diese Darstellungsform am ehesten solchen Spielen, bei denen alle Spieler ihre Strategien gleichzeitig und ohne Kenntnis der Wahl der anderen Spieler festlegen.

Eine Alternative ist die [[Extensivform eines Spiels]], deren Stärke in der anschaulichen Darstellung zeitlicher oder logischer Abfolgen liegt.

Die Normalform für Spiele wurde erstmals von [[Émile Borel]] (1921) und [[John von Neumann]] (1928) beschrieben, die erkannten, dass im Prinzip jedes Strategiespiel in eine solche Form transformiert werden kann.

== Definition ==
Die Normalform eines Spiels ist ein [[Tupel]] <math>\Gamma = (N, \Sigma, u)</math> mit den folgenden Elementen:<ref>Wolfgang Leininger und Erwin Amann: [https://web.archive.org/web/20211114153328/https://www.wiwi2.tu-dortmund.de/wiwi/mik/Medienpool/de/materialien/spieltheorie_1/spiele1_ws07_08_skript.pdf ''Einführung in die Spieltheorie.''], S. 14 ff.</ref>
;Menge der Spieler: <math>N = \{1, 2, \ldots, n\}</math>
;Strategieraum:<math>\Sigma = \Sigma_1 \times \Sigma_2 \times \dotsb \times \Sigma_n</math>
:<math>\Sigma_i</math> bezeichnet die Strategiemenge des Spielers <math>i</math>, aus der er seine Züge wählen kann.
;Nutzenfunktion:<math>u\colon\Sigma \to \R^n</math>
:Dabei ist <math>u_i\colon\Sigma \to \R</math> die Nutzenfunktion des Spielers <math>i</math>. Abhängig von der eigenen Strategie und der Strategie der anderen Spieler hat der Spieler einen Nutzen oder eine Auszahlung von <math>u_i(\sigma_1,\ldots,\sigma_i,\ldots, \sigma_n)</math>.

=== Gemischte und reine Strategien ===
In den so genannten [[Reine Strategie|reinen Strategien]] wählen die Spieler genau ein <math>\sigma_i \in \Sigma_i</math>. Für manche Spiele ist es jedoch notwendig, den Spielern zusätzlich die Möglichkeit einzuräumen, zufällig die Strategien auszuwählen und zuvor lediglich die [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] über <math>\Sigma_i</math> anzugeben, mit denen die einzelnen <math>\sigma_{i,j}\in\Sigma_i</math> ausgewählt werden. Dabei bezeichnet <math>s_i</math> die Parameter dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung und <math>S_i</math> die [[Menge (Mathematik)|Menge]] der möglichen Parameterkombinationen.

Ist <math>\Sigma_i</math> [[Endliche Menge|endlich]] beziehungsweise [[Abzählbarkeit|abzählbar]], so ist <math>s_i</math> ein [[Vektor]], wobei <math>s_{i,j}</math> die Wahrscheinlichkeit angibt, dass die Strategie <math>\sigma_{i,j}</math> gewählt wird. Man spricht bei <math>s_i</math> von einer [[Gemischte Strategie|gemischten Strategie]].

Das Tupel <math>S(\Gamma) = (N, S, u)</math> ist die Normalform eines solchen Spiels in gemischten Strategien. Dabei gilt <math>S = S_1 \times S_2 \times \dotsb \times S_n</math>, und <math>u\colon S \to \R^n</math> ist der [[Erwartungswert|erwartete Nutzen]].

== Darstellung in Tabellenform ==
[[Datei:Spieltheorie10.jpg|mini|Bimatrix ([[Kampf der Geschlechter]])]]
Werden nur Spiele mit zwei Spielern, <math>N=\{1,2\}</math>, betrachtet und sind die Strategiemengen <math>\Sigma_1</math> und <math>\Sigma_2</math> endlich und überschaubar, kann man ein Spiel in Normalform auch als eine Tabelle, die ''Auszahlungsmatrix'' ([[Bimatrix]]), darstellen:

{| class="wikitable zebra centered"
|-
!Spieler 1\Spieler 2
!<math>\sigma_{2,1}</math>
!<math>\sigma_{2,2}</math>
|-
!<math>\sigma_{1,1}</math>
|(3,3)
|(1,2)
|-
!<math>\sigma_{1,2}</math>
|(2,1)
|(1,1)
|}

In diesem Fall bezeichnet die erste Zahl in der Klammer die Auszahlung des Spielers 1 und die zweite Zahl die Auszahlung des Spielers 2 bei der entsprechenden Strategienkombination. Wählt Spieler 1 beispielsweise Strategie <math>\sigma_{1,2}</math> und Spieler 2 <math>\sigma_{2,1}</math>, so erhält Spieler 1 eine Auszahlung in Höhe 2 und Spieler 2 eine Auszahlung in Höhe 1.

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Spieltheorie|Normalform]]
[[Kategorie:Normalform]]

Normalform eines Spiels - Versionsgeschichte

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