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2026-02-17T06:04:39Z

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{{Dieser Artikel|beschreibt die mathematische Darstellung. Für weitere Bedeutungen siehe [[Normalform (Begriffsklärung)]].}}
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Eine '''Normalform''' (auch '''kanonische Form''') ist eine mathematische Darstellung mit bestimmten, von der Art der Normalform vorgegebenen Eigenschaften. Ist eine Normalform definiert, kann diese ausgehend von einer beliebigen Darstellung durch [[Äquivalenzrelation]] erreicht werden. Führen mehrere Darstellungen zur gleichen Normalform, sind sie äquivalent bezüglich der Art der Normalform und dadurch vergleichbar und geordnet. Viele Normalformen sind [[Eindeutigkeit|eindeutig]], zu jeder Darstellung existiert dann nur eine einzige Normalform.

Formal ist eine Normalform ein letztes Element in einer Kette von einer [[Wohlfundierte Relation|wohlfundierten Relation]]. Die Relation wird hierbei von den erlaubten Umformungen definiert. Die Fundiertheit der Relationen folgt aus der Endlichkeit der Anzahl von Manipulationen.

'''Beispiele'''
* Der [[Kürzen|gekürzte]] [[Bruchrechnung|Bruch]] einer [[rationale Zahl|rationalen Zahl]] setzt zwei gegebene Brüche in Relation bezüglich ihrer Zahlenwerte: <math>\tfrac{2}{4}</math> und <math>\tfrac{3}{6}</math> haben beide die Normalform <math>\tfrac{1}{2}</math> und damit den gleichen Zahlenwert.
* Die Stufenform (s. u.) setzt eine [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] <math>A</math> in Relation zu einer Matrix <math>B</math>, wenn <math>B</math> durch [[Gaußsches Eliminationsverfahren|Pivotisierung]] aus <math>A</math> hervorgeht.

== Liste von Normalformen ==
Wichtige Normalformen sind:

* in der Mathematik eine Darstellung eines Objektes, die bestimmte vorgegebene Eigenschaften hat und für alle Objekte dieses Typs eindeutig bestimmt werden kann. Insbesondere:
** die [[hessesche Normalform]] einer Geraden oder Ebene
** die Stufennormalform eines linearen Gleichungssystems, siehe [[Gaußsches Eliminationsverfahren]]
** die [[Normalform einer Matrix]], beispielsweise
*** die [[jordansche Normalform]] einer quadratischen Matrix
*** die [[Frobenius-Normalform]], auch ''rationale Normalform'' einer quadratischen Matrix
*** die [[Smith-Normalform]] einer Matrix mit Einträgen aus einem Hauptidealring
*** die Normalform einer orthogonalen Matrix, siehe [[Orthogonale Matrix #Diagonalisierbarkeit]]
** die Normalform einer Geraden, siehe [[Lineare Funktion]]
** die Normalform einer quadratischen Gleichung, siehe [[Quadratische Gleichung]]
** die Normalform einer Quadrik, siehe [[Quadrik #Normalformen]]
** ein vollständig [[gekürzter Bruch]] für eine [[rationale Zahl]]

* in der [[Spieltheorie]] eine Darstellungsform eines [[Spiel (Spieltheorie)|Spiels]], siehe [[Normalform eines Spiels]]
* in der [[Theoretische Informatik|theoretischen Informatik]] eine einfache Form einer kontextfreien Grammatik, siehe [[Chomsky-Hierarchie]]. Insbesondere
** die [[Chomsky-Normalform]]
** die [[Greibach-Normalform]]
** die Gentzen-Normalform, siehe [[Gentzenscher Hauptsatz]]

* in der [[Praktische Informatik|Praktischen Informatik]] bei [[relationale Datenbank|relationalen Datenbanken]] die [[Datenstruktur]], die durch schrittweises Entfernen von Redundanzen entsteht, siehe [[Normalisierung (Datenbank)]]

* in der Logik eine Darstellungsform einer [[Logische Formel|logischen Formel]], insbesondere
** die [[Shannon-Normalform]]
** die [[Negationsnormalform]]
** Formeln in [[Kanonische Normalform|kanonischer Normalform]], insbesondere als:
*** [[konjunktive Normalform]]
*** [[disjunktive Normalform]]
*** [[Ringsummennormalform]]

* in der Prädikatenlogik
** die [[bereinigte Normalform]]
** die [[Negationsnormalform]]
** die [[Pränexform|Pränex-Normalform]]
** die [[Skolemform]]
** die [[Klausel-Normalform]]

* bei [[Reduktionssystem|abstrakten Reduktionssystemen]] ein Objekt, das nicht weiter reduziert werden kann

* in der [[Digitaltechnik]] bei digitalen Filtern in Formalform die minimale Anzahl ihrer Elemente unter Berücksichtigung gewünschter Filtereigenschaften, siehe [[Digitales Filter]]

== Weblinks ==
{{Wiktionary|Normalform}}

[[Kategorie:Liste (Mathematik)]]
[[Kategorie:Normalform| ]]

Normalform - Versionsgeschichte

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