imported>Schojoha: /* Lemma von Urysohn */ Straffung der Formulierung.

2026-01-31T17:04:54Z

Lemma von Urysohn: Straffung der Formulierung.

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{{Hinweisbaustein|INHALT='''Hinweis''': Es gibt in der Standardliteratur keine einheitliche Auffassung hinsichtlich der Begriffe '''normaler Raum''' und '''T4-Raum'''; vielmehr herrscht Uneinheitlichkeit.<ref>{{Literatur |Autor=Stephen Willard |Titel=General Topology |Verlag=Addison-Wesley |Ort=Reading MA u. a. |Datum=1970 |Seiten=99 |Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Willard%2C%20Stephen&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=6&mx-pid=264581 MR0264581]}}</ref><ref>Schubert (S. 77) etwa nennt einen '''normalen Raum''' einen solchen, der im hier vorliegenden Artikel als '''T4-Raum''' bezeichnet wird.</ref> In diesem Artikel gilt die Auffassung, dass ein T4-Raum ein ''normaler [[Hausdorff-Raum]]'' ist, während ein normaler Raum nicht notwendig hausdorffsch zu sein hat.|POSITION=oben}}

[[Datei:Normal space.svg|mini|Graphische Darstellung eines normalen Raumes]]
Ein '''normaler Raum''' ist ein [[topologischer Raum]], in dem zwei beliebige [[disjunkt]]e [[abgeschlossene Menge]]n disjunkte [[Umgebung (Mathematik)|Umgebungen]] haben. Kürzer: Abgeschlossene Mengen <math>E,F</math> werden durch Umgebungen <math>U,V</math> getrennt.

Diese Eigenschaft ist zum Beispiel Grundlage des [[Lemma von Urysohn|Lemmas von Urysohn]] oder des [[Fortsetzungssatz von Tietze|Fortsetzungssatzes von Tietze]].
Der Begriff geht zurück auf [[Heinrich Tietze]] 1923,<ref>[[Heinrich Tietze]]: ''Beiträge zur allgemeinen Topologie I. Axiome für verschiedene Fassungen des Umgebungsbegriffs.'' In: ''Mathematische Annalen.'' 88, 1923, {{ISSN|0025-5831}}, S. 290–312.</ref> seine ganze Tragweite wurde von Urysohn bei seinen Arbeiten über die Fortsetzung von Funktionen erkannt.<ref>[[Nicolas Bourbaki|N. Bourbaki]]: ''Éléments d’histoire des mathématiques.'' Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-33938-0, S. 205.</ref>

Normalität zählt zu den [[Trennungsaxiom]]en; sie vererbt sich nicht notwendig auf alle Teilräume.

== Motivation ==

Ein gängiges Verfahren zur Untersuchung eines Objektes einer mathematischen Kategorie ist es, die Menge der strukturerhaltenden Funktionen in besonders gut verstandene Vertreter der Kategorie zu untersuchen. In vielen Fällen kann man auf diesem Weg auch Erkenntnisse über das zu untersuchende Objekt selbst gewinnen.
In der [[Lineare Algebra|Linearen Algebra]] untersucht man zum Beispiel die Menge der [[Lineare Abbildung|linearen Abbildungen]] von einem beliebigen [[Vektorraum]] in den Grundkörper und bezeichnet diese als den [[Dualraum]].
In der Topologie bieten sich als Modellräume die topologischen Räume <math>[0, 1]</math> und <math>\Complex</math> an.

Bezogen auf die Stetigkeit kann dieses Vorgehen aber nur sinnvoll sein, wenn man an den zu untersuchenden Raum noch zusätzliche Bedingungen stellt. Auf einem Raum mit der trivialen Topologie etwa ist jede stetige komplexwertige Funktion bereits konstant (das gilt sogar für jede stetige Funktion, deren Zielmenge ein [[Kolmogoroff-Raum]] ist).

Wenn man einen topologischen Raum dadurch verstehen will, dass man die stetigen Funktionen von ihm in einen der Modellräume untersucht, so sollte die Menge dieser Funktionen wenigstens [[Punktetrennende Menge|punktetrennend]] sein. Dies führt auf die Definition eines [[Vollständiger Hausdorff-Raum|vollständigen Hausdorff-Raums]]. Dieser wird gerade über die Existenz einer ausreichenden Menge von stetigen Funktionen definiert.

Wünschenswert wäre es natürlich, ein elementares topologisches Kriterium zu besitzen, das diese Existenz sichert.
Hier bieten sich Hausdorff-Räume an, die normal oder [[Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] sind. Ein Großteil der in der Mathematik untersuchten topologischen Räume fällt zumindest in eine der beiden Kategorien.
Das [[Lemma von Urysohn]] stellt für diese beiden Klassen von Räumen (unter anderem) sicher, dass sie vollständige Hausdorff-Räume sind.

Tatsächlich zeigt der allgemeinere [[Fortsetzungssatz von Tietze]], dass sich in solchen Räumen stetige Funktionen in einen der Modellräume, die nur auf einer abgeschlossenen (bei normalen Räumen) bzw. kompakten (bei lokalkompakten Räumen) Teilmenge definiert sind, zu stetigen Funktionen vom ganzen Raum in den Modellraum fortsetzen lassen. Im zweiten Fall kann dabei die Fortsetzung so gewählt werden, dass sie weiterhin kompakten [[Träger (Mathematik)|Träger]] besitzt.

== Definition ==
Zu beachten ist, dass die Definition in der Literatur uneinheitlich ist, hier wird für einen normalen Raum nicht die Eigenschaft hausdorffsch gefordert, für einen T4-Raum jedoch schon.

Sei <math>X</math> ein topologischer Raum. <math>X</math> heißt ''normal'', falls es zu je zwei abgeschlossenen Teilmengen <math>E</math>, <math>F</math> mit <math>E \cap F = \emptyset</math> Umgebungen <math>U_E \subset \mathfrak{U}(E)</math>, sowie <math>U_F \subset \mathfrak{U}(F)</math> von <math>E</math> und <math>F</math> gibt mit <math>U_E \cap U_F = \emptyset</math>.

Ein normaler Raum, der zusätzlich das [[Trennungsaxiom]] [[T2-Raum|T2]] erfüllt, also ein ''normaler Hausdorff-Raum'' ist, wird als T4-Raum bezeichnet. Das ist offenbar äquivalent dazu, ein ''normaler [[T1-Raum|T1-Raum]]'' zu sein, weil dann einpunktige Mengen abgeschlossen sind und damit durch die Normalität getrennt werden können.

Viele Autoren verwenden die Begriffe anders: Sie setzen für einen normalen Raum automatisch hausdorffsch voraus (d. h. T2-Raum) und verstehen unter T4-Räumen die in diesem Artikel unter "normal" beschriebene Raumklasse, es entfällt also die Forderung, dass T4-Räume hausdorffsch sind. Die meisten in den Anwendungen auftretenden normalen Räume sind T2-Räume.

== Beispiele ==

* Alle [[Parakompakter Hausdorff-Raum|parakompakten Hausdorff-Räume]], und damit die meisten in der Mathematik untersuchten Räume, sind normal, insbesondere [[Metrischer Raum|metrische Räume]] und [[Mannigfaltigkeit]]en.
* [[Pseudometrischer Raum|Pseudometrische Räume]] sind dagegen normal, ohne im Allgemeinen [[Hausdorff-Raum|Hausdorff-Räume]] zu sein.
* Der [[Topologischer Vektorraum|topologische Vektorraum]] aller Funktionen von ℝ nach ℝ mit der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] der [[Punktweise Konvergenz|punktweisen Konvergenz]] ist ''nicht'' normal. Das Produkt aus überabzählbar vielen nicht-kompakten metrischen Räumen ist niemals normal.

== Eigenschaften ==

=== Vererbungseigenschaften ===
* Ein abgeschlossener [[Teilraumtopologie|Unterraum]] eines normalen Raumes ist wieder ein normaler Raum. Allgemeiner gilt dies sogar noch, wenn der Unterraum eines normalen Raumes eine Vereinigung abzählbar vieler abgeschlossener Mengen ist.<ref name="bartsch">René Bartsch: ''Allgemeine Topologie.'' Walter de Gruyter GmbH & Co KG, 2015, ISBN 978-3-11-040618-4, S. 124, Lemma 4.4.13.</ref>
* Beliebige Unterräume eines normalen Raumes sind im Allgemeinen nicht normal, wie man etwa an einem beliebigen [[Vollständig regulärer Raum|vollständig regulären Raum]], der nicht normal ist, etwa der [[Sorgenfrey-Ebene]] oder dem [[Niemytzki-Raum]], eingebettet in seine [[Stone-Čech-Kompaktifizierung]] sieht, denn letztere ist als kompakter Hausdorff-Raum normal.
* [[Produkttopologie|Produkte]] normaler Räume sind im Allgemeinen nicht normal, wie das Beispiel der [[Sorgenfrey-Ebene]] als Produkt der normalen [[Sorgenfrey-Gerade]] zeigt. Das erste Beispiel eines normalen Raumes, dessen Produkt mit einem metrischen Raum nicht wieder normal ist, ist die [[Michael-Gerade]].

=== Fortsetzung stetiger Funktionen ===
{{Hauptartikel|Fortsetzungssatz von Tietze}}

Ein topologischer Raum ist genau dann ein normaler Raum, wenn jede auf einer [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen Teilmenge]] [[Stetige Funktion|stetige]], [[reellwertige Funktion]] zu einer auf dem ganzen Raum stetigen, reellwertigen Funktion [[Stetige Fortsetzung|fortgesetzt]] werden kann.

=== Lemma von Urysohn ===
{{Hauptartikel|Lemma von Urysohn}}

Ein topologischer Raum <math>X</math> ist genau dann ein normaler Raum, wenn es zu je zwei disjunkten, abgeschlossenen Mengen <math>A,B\subseteq X</math> eine [[Urysohn-Funktion]] gibt.

=== Abgeschlossene Umgebungen ===
Eine einfache Umformulierung der Definitionen liefert:

Ein topologischer Raum <math>X</math> ist genau dann normal, wenn es zu jeder Umgebung <math>U</math> einer abgeschlossenen Menge <math>A</math> eine offene Menge <math>O</math> gibt, für die gilt:
:<math>A \subset O \subset \bar O \subset U.</math>
Das bedeutet, dass für jede abgeschlossene Menge die abgeschlossenen Umgebungen eine [[Umgebungsbasis]] bilden.

=== Zerlegung der Eins ===
Ein normaler Raum ermöglicht eine [[Zerlegung der Eins]] für jede lokal endliche offene Überdeckung.

=== Überdeckungen ===
Ein T1-Raum ist genau dann normal, wenn jede [[Überdeckung (Mathematik)|offene, lokalendliche Überdeckung]] <math>(U_i)_{i\in I}</math> eine [[Überdeckung (Mathematik)|Schrumpfung]] besitzt, das heißt, es gibt eine offene Überdeckung <math>(V_i)_{i\in I}</math> mit <math>\overline{V_i} \subset U_i</math> für alle <math>i\in I</math>.<ref>[[Karl Peter Grotemeyer]]: ''Topologie'', Bibliographisches Institut Mannheim (1969), ISBN 3-411-00836-9, Satz 43.</ref>

== Spezialisierungen ==
Der Begriff des normalen Raumes kann auf mehrere Weisen verschärft werden:

* Ein normaler Raum <math>X</math> heißt [[Vollständig normaler Raum|vollständig normal]], wenn es zu je zwei Mengen <math>A,B\subset X</math> mit <math>A\cap\overline{B}=\emptyset=\overline{A}\cap B</math> disjunkte offene Mengen <math>U</math> und <math>V</math> gibt mit <math>A\subset U</math> und <math>B\subset V</math>. Hier liegt also eine stärkere Trennungseigenschaft vor. In solchen Räumen sind alle Unterräume, nicht nur die abgeschlossenen, normal. Die [[Tichonow-Planke]] ist ein nicht-normaler Unterraum eines [[Kompakter Raum|Kompaktums]], letzteres ist daher normal, aber nicht vollständig normal.
* Ein normaler Raum heißt [[Perfekt normaler Raum|perfekt normal]], wenn es zu je zwei disjunkten abgeschlossenen Mengen <math>A,B\subset X</math> eine stetige Funktion <math>f\colon X\rightarrow [0,1]</math> gibt mit <math>A=f^{-1}(\{0\})</math> und <math>B=f^{-1}(\{1\})</math>. In solchen Räumen gilt also eine stärkere Version des Urysohnschen Lemmas. Die [[Einpunktkompaktifizierung]] der Tichonow-Planke ist nicht perfekt normal, da der unendlich ferne Punkt keine [[G-delta-Menge|<math>G_\delta</math>-Menge]] ist und daher nicht Nullstellengebilde einer stetigen, reellwertigen Funktion sein kann.
* Ein normaler Raum heißt [[Total normaler Raum|total normal]], falls es zu jeder offenen Menge <math>U\subset X</math> eine [[offene Überdeckung]] <math>\mathcal{U}=(U_i)_{i\in I}</math> gibt, so dass:
** Jedes <math>U_i</math> ist eine [[F-sigma-Menge|<math>F_\sigma</math>-Menge]], das heißt eine abzählbare Vereinigung abgeschlossener Mengen; und
** <math>\mathcal{U}</math> ist [[Lokal endliche Überdeckung|lokalendlich]] auf <math>U</math>, d. h., zu jedem <math>x\in U</math> gibt es eine Umgebung <math>V\subset U</math>, die mit nur endlich vielen der <math>U_i</math> einen nichtleeren Schnitt hat.
: Solche Räume spielen in der [[Dimensionstheorie]] eine Rolle. Perfekt normale Räume sind total normal.
* Ein normaler Raum heißt [[Binormaler Raum|'''binormal''']], falls er zusätzlich abzählbar parakompakt ist, das heißt, falls jede [[höchstens abzählbar]]e [[offene Überdeckung]] eine [[Überdeckung (Mathematik)#Überdeckungseigenschaften|lokalendliche]] [[Überdeckung (Mathematik)#Verfeinerung|Verfeinerung]] besitzt.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Boto von Querenburg]]
|Titel=Mengentheoretische Topologie
|Reihe=Springer-Lehrbuch
|Auflage=3. neu bearbeitete und erweiterte
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=Berlin (u. a.)
|Datum=2001
|ISBN=3-540-67790-9}}
* {{Literatur
|Autor=[[Egbert Harzheim]], Helmut Ratschek
|Titel=Einführung in die Allgemeine Topologie
|Reihe=Die Mathematik. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften
|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft
|Ort=Darmstadt
|Datum=1978
|ISBN=3-534-06355-4}} [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Harzheim%2C%20Egbert&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=25&mx-pid=380697 MR0380697]
* {{Literatur
|Autor=[[Horst Schubert (Mathematiker)|Horst Schubert]]
|Titel=Topologie
|Reihe=Mathematische Leitfäden
|Auflage=4.
|Verlag=B. G. Teubner Verlag
|Ort=Stuttgart
|Datum=1975
|ISBN=3-519-12200-6
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Schubert%2C%20Horst&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=423277 MR0423277]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Stephen Willard]]
|Titel=General Topology
|Verlag=Addison-Wesley
|Ort=Reading MA (u. a.)
|Datum=1970
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Willard%2C%20Stephen&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=6&mx-pid=264581 MR0264581]}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Topologie}}

[[Kategorie:Trennbarkeit]]
[[Kategorie:Topologischer Raum]]

Normaler Raum - Versionsgeschichte

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